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1, 5, 29, 193, 1457, 12341, 116125, 1203329, 13627073, 167525317, 2222710781, 31665408545, 482196718129, 7817359305653, 134443910166077, 2444991262876321, 46883166605035265, 945426638499719429, 20002372214708227933, 443036881445294292737, 10252840082607606694961
评论
递归关系:当n>=2时,a(0)=1,a(1)=5,a(n)=(n+4)*a(n-1)-(n-1。设p_3(n)=n^3+2*n-1=n^(3)-3*n^*(n+k-1)。多项式p_3(n)是Poisson-Charlier多项式c_k(x;a)在k=3,x=-n和a=-1时的一个例子。
序列b(n):=n*p3(n+1)=A001565号(n) 满足与a(n)相同的递归,但初始条件b(0)=2,b(1)=11。这导致有限连分式展开a(n)/b(n)=1/(2+1/(5-1/(6-2/(7-…-(n-1)/(n+4))))。
Lim_{n->infinity}a(n)/b(n)=e/6=1/(2+1/(5-1/(6-2/(7-…-n/((n+5)-…))))。
a(n)=-b(n)*Sum_{k=0..n}1/(k!*p_3(k)*p_3(k+1))-因为rhs在相同的初始条件下满足上述递归。因此e=-6*Sum_{k>=0}1/(k!*p_3(k)*p_3(k+1))。
{a(n)}是一个差分可除序列,也就是说,对于所有n和m(假设n不等于m),差分a(n,a(m)可以被n-m整除。请参见A000522号以获得差可分序列的进一步性质。(结束)
配方奶粉
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*(k+3)/6
a(n)=表层([4,-n],[],-1)-彼得·卢什尼2014年9月20日
D-有限,递归a(n)+(-n-4)*a(n-1)+(n-1-R.J.马塔尔2022年8月1日
MAPLE公司
a:=n->上层([4,-n],[],-1);seq(圆形(evalf(a(n),100)),n=0..18)#彼得·卢什尼2014年9月20日
数学
表[n!*系列系数[E^(x)/(1-x)^4,{x,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2012年10月14日*)
黄体脂酮素
(PARI)x='x+O('x^66);Vec(塞拉普拉斯(exp(x)/(1-x)^4))\\乔格·阿恩特2013年5月11日
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