搜索: 编号:a006752
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A006752号
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| 加泰罗尼亚常数1-1/9+1/25-1/49+1/81-。。。 (原名M4593)
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+0 231
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9, 1, 5, 9, 6, 5, 5, 9, 4, 1, 7, 7, 2, 1, 9, 0, 1, 5, 0, 5, 4, 6, 0, 3, 5, 1, 4, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 1, 1, 0, 7, 7, 4, 1, 4, 9, 3, 7, 4, 2, 8, 1, 6, 7, 2, 1, 3, 4, 2, 6, 6, 4, 9, 8, 1, 1, 9, 6, 2, 1, 7, 6, 3, 0, 1, 9, 7, 7, 6, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 4, 7, 9, 3, 5, 6, 5, 1, 2, 9, 2, 6, 1, 1, 5, 1, 0, 6, 2, 4, 8, 5, 7, 4
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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通常用G表示。
第k个附加项为2*3**(2+k-2)*2^k*(2^k-1)*Bern(k)/(2*k!*(J^(k+2-1)))。Bern(k)是一个Bernoulli数,J是4n+1形式的一个大数。参见Spanier和Oldham中的方程式3:3:7-哈里·史密斯2009年5月7日
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参考文献
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Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第57、554页。
史蒂文·芬奇,《数学常数》,《数学及其应用百科全书》,第94卷,剑桥大学出版社,第53-59页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Jerome Spanier和Keith B.Oldham,《函数地图集》,1987年,方程式3:3:7。
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链接
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Milton Abramowitz和Irene A.Stegun,编辑,加泰罗尼亚常数《数学函数手册》,1972年12月,第807页,第23.2.21节,n=2。
David H.Bailey、Jonathan M.Borwein、Andrew Mattingly和Glenn Wightwick,Pi^2和加泰罗尼亚常数以前不可及数字的计算,通知AMS,60(2013年第7号),844-854。
萨斯·查万(Sarth Chavan)和克里斯托夫·维格纳特(Christophe Vignat),加泰罗尼亚常数的三重积分表示,arXiv:2105.11771[math.NT],2021。
David Naccache和Ofer Yifrach-Stav,关于加泰罗尼亚常数连分式,arXiv:2210.15669[cs.SC],2022年。
Kh.Hessami Pilehrood和Tatiana Hessami-Pilehroud,β值的系列加速度公式,离散。数学。西奥。公司。科学。12 (2) (2010) 223-236.
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配方奶粉
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G=积分{x=0..1}反正切(x)/x dx。
G=积分{x=0..1}3*反正切(x*(1-x)/(2-x))/x dx.-发布到数论列表詹姆斯·麦克劳林2007年9月27日
G=(zeta(2,1/4)-zeta(2.3/4))/16-格里·马滕斯2011年5月27日[使用Hurwitz zeta函数zeta。]
G=(1/2)*Sum_{n>=0}(-1)^n*((3*n+2)*8^n)/((2*n+1)^3*C(2*n,n)^3)(来自利马2012参考)。
G=(-1/64)*Sum_{n>=1}(-1)^n*(2^(8*n)*(40*n^2-24*n+3))/(n^3*(2*n-1)*C(2*n,n)*C(4*n,2*n)^2)(来自Lupas 2000参考文献)。
G=(1/2)*积分{x=0..Pi/2}对数(cot(x)+csc(x))dx-让-弗朗索瓦·奥尔科弗,2013年4月11日[参见Adamchik链接]
G=-积分_{x=0..1}(log x)/(1+x^2)dx=Integral_{x>=1}(对数x)/-克拉克·金伯利2016年11月4日
G=(Zeta(2,1/4)-Pi^2)/8=(Psi(1,1/4)-Pi^2)/8,带有Hurwitz Zeta函数和三角函数Psi(1,z)。有关名称中给定序列的部分和,请参见A294970型/A294971型. -沃尔夫迪特·朗2017年11月15日
等于Im(Li_{2}(i))-彼得·卢什尼2019年10月4日
等于-积分{x=0..Pi/4}对数(tan(x))dx-阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月29日
等于(1/2)*Integral_{x=0..1}K(x)dx=-1/2+Integral__{x=0..1}E(x)d\x,其中K(K)和E(K)分别是作为椭圆模K的函数的第一类和第二类完全椭圆积分-格列布·科洛斯科夫2021年6月25日
G=1/2+4*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*n/(4*n^2-1)^2=-13/18+-1)^2*(4*n^2-9)^2x(4*n ^2-25)^2)。
G=3/2-16*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*n/(4*n^2-1)^3=401/6-(2^13)*((4*n^2-1)^3*(4*n ^2-9)^3x(4*n ^2-25)^3)。(结束)
等于beta(2),其中beta是Dirichlet beta函数。
等于乘积{p素数>=3}(1-(-1)^((p-1)/2)/p^2)^。(结束)
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例子
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0.91596559417721901505460351493238411077414937428167213426649811962176301977...
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枫木
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数学
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nmax=1000;第一个[RealDigits[Catalan,10,nmax]](*斯图亚特·克莱里2008年12月17日*)
积分[ArcTan[x]/x,{x,0,1}](*N.J.A.斯隆2013年5月3日*)
N[Im[PolyLog[2,I]],100](*彼得·卢什尼2019年10月4日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){数字=20000;默认值(实际精度,数字+80);s=1.0;n=5*数字;j=4*n+1;si=-1.0;对于(i=3,j-2,s+=si/i^2;si=-si;i++;);s+=0.5/j^2;ttk=4.0;d=4.0*j^3;xk=2.0;xkp=xk;对于(k=2100000000,term=(ttk-1)*ttk*xkp;xk++;xkp*=xk*=xk;xk++;xkp*=xk;);项*=bernreal(k)/d;sn=s+项;如果(sn==s,中断);s=sn;ttk*=4.0;d*=(k+1)*(k+2)*j^2;k++;);x=10*s;表示(n=0,数字,d=楼层(x);x=(x-d)*10;写(“b006752.txt”,n,“”,d);}/*贝塔系数(2)=1-1/3^2+1/5^2-…-1/(J-2)^2+1/(2*J^2)+2*Bern(0)/(2*J^3)-2*3*4*Bern(2)/J^5+,
(PARI)默认值(realprecision,1000+2);/*1000个术语*/
s=sumalt(n=0,(-1)^n/(2*n+1)^2);
v=Vec(Str(s));/*==["0", ".", "9", "1", "5", "9", "6", ...*/
向量(v-2,n,eval(v[n+2]))
(岩浆)R:=RealField(100);加泰罗尼亚语(R)//G.C.格鲁贝尔2018年8月21日
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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拉里·里维斯(larryr(AT)acm.org)提供的更多术语,2002年5月28日
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经核准的
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