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第页1
5, 1, 5, 9, 3, 9, 4, 8, 2, 2, 7, 9, 6, 5, 3, 4, 8, 4, 9, 5, 3, 1, 2, 5, 0, 1, 3, 9, 4, 0, 5, 5, 6, 3, 7, 2, 6, 9, 8, 1, 0, 9, 9, 9, 2, 4, 6, 8, 6, 8, 1, 4, 7, 4, 8, 5, 8, 7, 1, 7, 9, 6, 2, 5, 2, 2, 7, 4, 4, 9, 7, 1, 7, 6, 1, 9, 5, 7, 7, 2, 2, 7, 6, 1, 1, 9, 4, 3, 1, 3, 1, 6, 2, 6, 5, 8, 8, 9, 8, 3, 0, 3, 6
评论
关于常数kappa(n)的一般定义,见Steven Finch 2009年第7页,关于这种特殊情况,见第11页。
链接
史蒂文·芬奇,四次和八次字符模n,arXiv:0907.4894[math.NT],2009年,第7-11页。
配方奶粉
等于exp(-gamma/2)*log((1+sqrt(5))/2)*sqrtA340839型.
例子
0.51593948227965348495312501394...
乘积的十进制展开式{素数p==1(mod 5)}p^2/(p^2-1)。
+10 15
1, 0, 1, 0, 9, 1, 5, 1, 6, 0, 6, 0, 1, 0, 1, 9, 5, 2, 2, 6, 0, 4, 9, 5, 6, 5, 8, 4, 2, 8, 9, 5, 1, 4, 9, 2, 0, 9, 8, 4, 5, 3, 8, 6, 2, 7, 5, 8, 1, 7, 3, 8, 5, 2, 3, 7, 3, 2, 0, 2, 4, 2, 0, 0, 8, 9, 2, 5, 1, 6, 1, 3, 7, 4, 2, 4, 5, 6, 7, 2, 6, 3, 7, 0, 9, 3, 9, 6, 1, 9, 7, 6, 9, 4, 5, 5, 8, 9, 2, 1, 8
评论
这个常数被称为欧拉积2==1模5(参见马塔尔定义5公式(38))或等效的zeta 2==1模5。
链接
Salma Ettahri、Olivier Ramaré和Léon Surel,一些欧拉积的快速多精度计算,arXiv:1908.06808[math.NT],2019年第20页(100位精度数据)。
例子
1.01091516060101952260495658428951492...
数学
S[m_,n_,S_]:=(t=1;总和=0;difs=1;当[Abs[difs]>10^(-数字-5)||difs==0,difs=(MoebiusMu[t]/t)*Log[If[S*t==1,DirichletL[m,n,S*t],总和[Zeta[S*t,j/m]*Dirichlet字符[m,n,j]^t,{j,1,m}]/m^(S*t)]];总和=总和+difs;t++];总额);
P[m_,n_,s_]:=1/EulerPhi[m]*和[Conjugate[DirichletCharacter[m,r,n]]*s[m,r,s],{r,1,EulerPhi[m]}]+和[If[GCD[P,m]>1&&Mod[P,m]==n,1/P^s,0],{P,1,m}];
Z[m_,n_,s]:=(w=1;sumz=0;difz=1;当[Abs[difz]>10^(-数字-5)时,difz=P[m,n,s*w]/w;sumz=sumz+difz;w++];实验[sumz]);
$MaxExtraPrecision=1000;数字=121;真实数字[Chop[N[Z[5,1,2],数字]],10,数字-1][[1](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2021年1月15日,耗时20分钟*)
1, 2, 2, 5, 2, 3, 8, 4, 3, 8, 5, 3, 9, 0, 8, 4, 5, 8, 0, 0, 5, 7, 6, 0, 9, 7, 7, 4, 7, 4, 9, 2, 2, 0, 5, 2, 7, 5, 4, 0, 5, 9, 5, 5, 0, 9, 3, 9, 1, 6, 4, 9, 9, 3, 8, 7, 6, 7, 3, 3, 3, 6, 4, 4, 3, 0, 2, 6, 7, 3, 1, 4, 2, 9, 6, 4, 4, 1, 7, 6, 1, 9, 2, 7, 3, 8, 4, 1, 6, 1, 9, 5, 6, 2, 7, 3, 6, 5, 2, 9, 5, 6, 6, 7, 5, 6, 7, 9, 6, 2, 7, 9, 0, 4, 2, 5, 9, 6, 3, 2, 4, 0, 2, 1, 1, 0, 0, 4, 8, 0, 7, 6, 8, 7, 9, 3, 3, 7, 6, 5, 5, 0, 4, 6, 7, 8, 7, 4, 2, 6, 0, 3, 2, 5, 0, 1, 1, 5, 3
评论
数据取自Alessandro Languasco和Alessandro-Zaccagini,2007年。
参考文献
Steven R.Finch,《数学常数》,剑桥大学出版社,2003年,第2.2节Meissel Mertens常数(第94-95页)
配方奶粉
A=C(5,1)=1.22523843885390845800576097749220527540595509391649938767。。。
B=C(5,2)=0.5469758411263480238301287430814037751996324100819295153。。。
C=C(5,3)=0.80595104044826786405737680278430932088114939010897934。。。
D=C(5,4)=1.299364547914977988160840014964265909502574970408329662016。。。
A*B*C*D=0.70182435445860646228…=(5/4)*exp(-gamma),其中gamma是Euler-Marcheroni常数A001620号.
Languasco和Zaccagini的文章中的公式,2010年,第9页:
A=((13*sqrt(5)*Pi^2*exp(-gamma))/(150*log((1+sqert(5))/2))*A340628型/A340808型)^(1/4).
例子
1.225238438539084580057609774749220527540595509391649938767...
交叉参考
囊性纤维变性。A077761型,A083343美元,A091589号,A138312号,A161529号,A230767型,A238114号,A271971型,A340127型,A340794飞机,A340866飞机.
乘积{素数p==2(mod 5)}1/(1-1/p^4)的十进制展开式。
+10 4
1, 0, 6, 7, 1, 2, 4, 7, 6, 1, 5, 0, 2, 2, 3, 4, 2, 5, 5, 6, 3, 4, 5, 8, 2, 1, 6, 3, 1, 3, 6, 1, 3, 7, 0, 7, 3, 8, 8, 5, 0, 9, 1, 7, 1, 6, 5, 2, 8, 0, 0, 6, 0, 5, 1, 5, 0, 0, 7, 6, 4, 0, 9, 9, 8, 6, 9, 2, 7, 7, 9, 4, 0, 9, 9, 7, 7, 3, 5, 5, 9, 6, 5, 1, 7, 8, 7, 3, 1, 0, 2, 7, 8, 7, 3, 5, 2, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 6, 4
例子
1.067124761502234255634582163136137073885091716528006051500764099869277...
乘积{素数p==3(mod 5)}1/(1-1/p^4)的十进制展开式。
+10 4
1, 0, 1, 2, 5, 3, 9, 5, 7, 1, 6, 4, 4, 9, 3, 5, 9, 0, 3, 5, 2, 2, 1, 0, 0, 2, 7, 2, 6, 9, 1, 1, 5, 2, 1, 4, 0, 4, 7, 8, 3, 6, 2, 8, 0, 2, 7, 8, 7, 7, 4, 9, 8, 5, 4, 8, 0, 0, 1, 3, 4, 7, 7, 2, 6, 9, 5, 3, 0, 3, 0, 6, 5, 9, 6, 3, 8, 1, 0, 3, 3, 1, 7, 5, 3, 7, 2, 3, 4, 0, 9, 4, 3, 2, 1, 6, 9, 8, 4, 4, 3, 4, 1, 5, 7
例子
1.012539571644935903522100272691152140478362802787749854800134772695303...
常数K5=29*log(2+sqrt(5))*(乘积{素数p==1(mod 5)}(1-4*(2*p-1)/(p*(p+1)^2))/(15*Pi^2)的十进制展开式。
+10 2
2, 6, 2, 6, 5, 2, 1, 8, 8, 7, 2, 0, 5, 3, 6, 7, 6, 6, 6, 7, 5, 9, 6, 2, 0, 1, 1, 4, 7, 2, 0, 8, 8, 3, 4, 6, 5, 3, 0, 2, 0, 4, 3, 9, 3, 0, 6, 4, 7, 4, 4, 7, 3, 9, 1, 0, 6, 8, 2, 5, 5, 1, 0, 5, 8, 7, 0, 9, 2, 6, 6, 8, 3, 8, 6, 9, 0, 2, 2, 7, 4, 1, 7, 9, 4, 1, 9, 3, 8, 3, 6, 5, 5, 2, 3, 5, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 8, 9, 1
评论
Finch和Sebah,2009年,第7页(见链接)将此常数称为K_5。K_5与Mertens常数C(5,1)有关(参见A340839型). 有关更多参考,请参阅中的链接A340711型Finch和Sebah给出了以下定义:
考虑m阶本原Dirichlet字符mod n的渐近枚举。让b_m(n)表示此类字符的计数。存在一个常数0<K_m<oo,使得Sum_{n<=n}b_m(n)~K_m*n*log(n)^(d(m)-2)为n->oo,其中d(m)是m的除数。
配方奶粉
等于(29/25)*(乘积{素数p}(1-1/p)^2*(1+gcd(p-1,5)/(p-1)))[Finch和Sebah,2009年,第10页]。
例子
0.262652188720536766675962011472088346530204393064744739106825510587...
数学
$MaxExtraPrecision=1000;数字=121;f[p]:=(1-4*(2*p-1)/(p*(p+1)^2));
coefs=Rest[CoefficientList[Series[Log[f[1/x]],{x,0,1000}],x]];
S[m_,n_,S_]:=(t=1;总和=0;difs=1;当[Abs[difs]>10^(-数字-5)||difs==0,difs=(MoebiusMu[t]/t)*Log[If[S*t==1,DirichletL[m,n,S*t],总和[Zeta[S*t,j/m]*Dirichlet字符[m,n,j]^t,{j,1,m}]/m^(S*t)]];总和=总和+difs;t++];总额);
P[m_,n_,s_]:=1/EulerPhi[m]*和[Conjugate[DirichletCharacter[m,r,n]]*s[m,r,s],{r,1,EulerPhi[m]}]+和[If[GCD[P,m]>1&&Mod[P,m]==n,1/P^s,0],{P,1,m}];
m=2;集水坑=0;difp=1;当[Abs[difp]>10^(-数字-5)||difp==0时,difp=coefs[[m]]*P[5,1,m];集水坑=集水坑+difp;打印临时[m];m++];
实际数字[Chop[N[29*Log[2+Sqrt[5]]/(15*Pi^2)*Exp[simp],digits]],10,digit-1][1](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2021年1月25日,耗时50多分钟*)
5, 4, 6, 9, 7, 5, 8, 4, 5, 4, 1, 1, 2, 6, 3, 4, 8, 0, 2, 3, 8, 3, 0, 1, 2, 8, 7, 4, 3, 0, 8, 1, 4, 0, 3, 7, 7, 5, 1, 9, 9, 6, 3, 2, 4, 1, 0, 0, 8, 1, 9, 2, 9, 5, 1, 5, 3, 1, 2, 7, 1, 8, 7, 1, 9, 1, 7, 5, 1, 8, 1, 1, 0, 8, 5, 7, 1, 5, 1, 6, 6, 8, 3, 3, 5, 8, 4, 0, 6, 3, 7, 2, 3, 8, 3, 5, 4, 8, 2, 3
评论
前100位数字来自Alessandro Languasco和Alessandro-Zaccagini,2007年,第4页。
配方奶粉
A=C(5,1)=1.225238438853908458005760977492205…参见A340839型.
B=C(5.2)=0.5469758454112634802383012874308140…这个常数。
C=C(5,3)=0.805951040448267864057376802784309…参见A336798美元.
D=C(5,4)=1.2993645479149779881608400149642659…参见A340866飞机.
A*B*C*D=0.70182435445860646228…=(5/4)*exp(-gamma),其中gamma是Euler-Marcheroni常数A001620号.
B=A*D*对数((1+sqrt(5))/2)^2/(C*Pi*A340213型^2).
(结束)
例子
0.546975845411263480238301287430814...
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