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a（n）是一组大小为n的带标签的根树的数量，其中每个节点最多有3个邻居，这些邻居距离根比节点本身更远。
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4
0, 1, 2, 9, 64, 620, 7620, 113610, 1992480, 40194000, 916927200, 23341071600, 655922836800, 20169411662400, 673645440468000, 24285190867938000, 939899116892736000, 38870133445791648000, 1710655202853140544000, 79826043011286892320000, 3936948118406837614080000, 204621522793150838094720000
评论
a（n）是无序根标记树的数量，使得每个节点的超度数<=3-杰弗里·克雷策2013年3月22日
函数上的前像约束是一组非负整数，因此任何元素的逆像的大小都是该集合中的值之一。通过将每个非根节点发送到其靠近根的邻居并将根发送给自身，将标记的根树作为集合{1,2，…，n}上的内函数进行查看。因此，a（n）是一组大小为n且正好有一个循环点的内函数的数目，因此每个前像最多有3个项-本杰明·奥托，2019年4月8日
从Takacs（1993）的第3-4页中，我们看到n是标记根树中的节点数，这样每个节点的超度数都小于等于3，并且（如G.Critzer所述），a（n）是这样的无序根标记树的数量（有n个节点）-Petros Hadjicostas公司2019年6月9日
链接
B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
L.Takacs，有根树木和森林的计数，数学。《科学家》18（1993），1-10，特别是等式（14），r=3。
配方奶粉
例如：（对于移位序列a（0）=0，a（1）=1，…）A（x）满足A（x）=1+x*A（x）+（1/2）*x^2*A（x。
a（n）=3*n*求和{j=0..n+1}二项式（n+1，j）*求和{i=j.n+j}二项式（j，i-j）*2^（4*j-2*n-i-2）*6^（n+i+1）*二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年11月21日
a（n）~sqrt（s/（1+r*s））*n^n/（r^（n+1）*exp（n）），其中r=0.37589405207806352…是方程-8+21*r+2*r^3=0的根，s=2.86947048655283754…是方程-12+36*s-57*s^2+16*s^3=0.的根-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月8日
a（n）=（n-1）！*[x^（n-1）]e_3（x）^n，其中e_k（x）是截断指数1+x+x^2/2！+…+x^k/k！。上面的Otto链接产生显式常数ck，rk，因此列是渐近的c3*n^（-3/2）*r3^-n-本杰明·奥托2019年4月8日
数学
nn=18；f[x_]：=总和[a[n]x^n/n！，{n，0，nn}]；s=SolveAlways[0==级数[f[x]-x（1+f[x]+f[x]^2/2+f[x]^3/3！），{x，0，nn}]，x]；表[a[n]，{n，0，nn}]/.s(*杰弗里·克雷策，2013年3月22日*）
表[3*n！*总和[二项式[n+1，j]*总和[二项式[j，i-j]*2^（4*j-2*n-i-2）*6^（n+i+1）*二项式[n-j+1，3*j-n-i-2]，{i，j，n+j}]/6^（3*j），{j，0，n+1}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇之后弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年1月8日*）
f[r_，n_][x_]：=和[x^k/k！，{k，0，r}]^n；
a[n_]：=如果[n==1，1，导数[n-1][f[3，n]][0]]；
黄体脂酮素
（最大值）a（n）：=3*n*求和（二项式（n+1，j）*求和（二项式（j，i-j）*2^（4*j-2*n-i-2）*6^（n+i+1）*二项（n-j+1，3*j-n-i-2），i，j，n+j）/6^（3*j），j，0，（n+1））/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年11月21日*/
（Python）
#打印序列中的第一个num_entries条目
导入数学，sympy；x=符号（'x'）
k=3；数量=64
P=范围（k+1）；eP=总和（P]中d的[x**d/math.阶乘（d））；r=[0,1]；curr_pow=eP
对于范围（1，num_entries-1）中的术语：
curr_pow=（curr_pow*eP）.expand（）
r.append（curr_pow.coeff（x**term）*math.factorial（term））
a（n）是大小为n的集合上标记的有根树的数量，其中每个节点最多有4个邻居，这些邻居比节点本身离根更远。
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4
0, 1, 2, 9, 64, 625, 7770, 117390, 2088520, 42771960, 991090800, 25635767850, 732235165200, 22890759391500, 777398836414200, 28501053507927000, 1121908690738836000, 47194400446765572000, 2112854517933207048000, 100302903229033765260000, 5032863920347902999360000
评论
a（n）是无序根标记树的数量，使得每个节点的超度数<=4-杰弗里·克雷策2013年3月23日
从Takacs（1993）的第3-4页中，我们看到n是标记根树中的节点数，这样每个节点的超度数都小于等于3，并且（正如G.Critzer所指出的那样），a（n）是这样的无序根标记树的数量（有n个节点）。显然，这个序列的作者和其他贡献者排除了根节点，因此这里的偏移量是0（而不是1）-Petros Hadjicostas公司2019年6月9日
链接
B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
L.Takacs，有根树木和森林的计数，数学。《科学家》18（1993），1-10，特别是等式（14），r=4。
配方奶粉
例如：A（x）满足：A（x）=1+x*A（x。
a（n）=n*求和{r=0..n+1}二项式（n+1，r）*求和{m=0..r}二项式（r，m）*求和和{j=0..m}二项式（j，-r+n-m-j）*2^（2*r-2*n+m+2*j）*二项（m，j）*3^（-j）。（结束）
a（n）=（n-1）！*[x^（n-1）]e_4（x）^n，其中e_k（x）是截断指数1+x+x^2/2！+…+x^k/k！。上面的Otto链接产生显式常数c_k，r_k，因此列是渐近的c_4*n^（-3/2）*r_4^-n-本杰明·奥托2019年4月11日
数学
nn=18；f[x_]：=总和[a[n]x^n/n！，{n，0，nn}]；s=SolveAlways[0==序列[f[x]-x（1+f[x]+f[x]^2/2+f[x]^3/3！+f[x-]^4/4！），{x，0，nn}]，x]；表[a[n]，{n，0，nn}]/.s(*杰弗里·克雷策2013年3月23日*）
f[r_，n_][x_]：=和[x^k/k！，{k，0，r}]^n；
a[n_]：=如果[n==1，1，导数[n-1][f[4，n]][0]]；
黄体脂酮素
（最大值）
a（n）：=（n！*和（二项式（n+1，r）*和（二项式（r，m）*和）（二项（j，-r+n-m-j）*2^（2*r-2*n+m+2*j）*二项（m，j）*（3）^（-j），j，0，m），m，0，r），r，0，n+1））/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年11月22日*/
（Python）
#打印序列中的第一个num_entries条目
导入数学，sympy；x=符号（'x'）
k=4；num_entries=64
P=范围（k+1）；eP=总和（P]中d的[x**d/math.阶乘（d））；r=[0，1]；curr_pow=eP
对于范围（1，num_entries-1）中的术语：
curr_pow=（curr_pow*eP）.expand（）
r.append（curr_pow.coeff（x**term）*math.factorial（term））
a（n）是一组大小为n的带标签的根树的数量，其中每个节点最多有6个邻居，这些邻居距离根比节点本身更远。
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1
0, 1, 2, 9, 64, 625, 7776, 117649, 2097144, 43046136, 999970020, 25936053990, 742947675624, 23295384644532, 793591829158128, 29187143427692250, 1152639088016576160, 48646833059722978080, 2185150741063924810176, 104085328898784937079376, 5240461483486301616704160
评论
函数上的前像约束是一组非负整数，因此任何元素的逆像的大小都是该集合中的值之一。通过将每个非根节点发送到其靠近根的邻居并将根发送给自身，将标记的根树作为集合{1,2，…，n}上的内函数进行查看。因此，a（n）是一组大小为n且正好有一个循环点的内函数的数目，因此每个前像最多有6个项。
链接
B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
配方奶粉
a（n）=（n-1）！*[x^（n-1）]e_6（x）^n，其中e_k（x）是截断的指数1+x+x^2！+…+x^k/k！。上述链接产生显式常数ck，rk，因此列是渐近的c6*n^（-3/2）*r6^-n。
黄体脂酮素
（Python）
#打印序列中的第一个num_entries条目
导入数学，sympy；x=符号（'x'）
k=6；num_entries=64
P=范围（k+1）；eP=总和（P]中d的[x**d/math.阶乘（d））；r=[0,1]；curr_pow=eP
对于范围（1，num_entries-1）中的术语：
…curr_pow=（curr_pow*eP）.expand（）
…r.append（curr_pow.coeff（x**term）*math.factorial（term））
打印（r）
交叉参考
第k列=第6列，共列A325201型; 请参阅该条目中与其他预图像约束结构相关的序列。
a（n）是一组大小为n的带标签的根树的数量，其中每个节点最多有7个邻居，这些邻居距离根比节点本身更远。
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1
0, 1, 2, 9, 64, 625, 7776, 117649, 2097152, 43046712, 999999180, 25937373990, 743005653984, 23297946618804, 793707788417544, 29192570114517810, 1152902963147295360, 48660197610533102880, 2185856466420637543104, 104124189019562479248624, 5242691958381764070687360
评论
函数上的前像约束是一组非负整数，因此任何元素的逆像的大小都是该集合中的值之一。通过将每个非根节点发送到其靠近根的邻居并将根发送给自身，将标记的根树作为集合{1,2，…，n}上的内函数进行查看。因此，a（n）是一组大小为n且正好有一个循环点的内函数的数目，因此每个前像最多有7个项。
链接
B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
配方奶粉
a（n）=（n-1）！*[x^（n-1）]e_7（x）^n，其中e_k（x）是截断指数1+x+x^2/2！+…+x^k/k！。上述链接产生显式常数ck，rk，因此列是渐近的c7*n^（-3/2）*r7^-n。
黄体脂酮素
（Python）
#打印序列中的第一个num_entries条目
导入数学，sympy；x=符号（'x'）
k＝7；num_entries=64
P=范围（k+1）；eP=总和（P]中d的[x**d/math.阶乘（d））；r=[0,1]；curr_pow=eP
对于范围（1，num_entries-1）中的术语：
…curr_pow=（curr_pow*eP）.expand（）
…r.append（curr_pow.coeff（x**term）*math.factorial（term））
打印（r）
交叉参考
第k列=第7列，共列A325201型; 请参阅与其他preimage约束构造相关的序列条目。
a（n）是一组大小为n的带标签的根树的数量，其中每个节点最多有8个邻居，这些邻居距离根比节点本身更远。
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1
0, 1, 2, 9, 64, 625, 7776, 117649, 2097152, 43046721, 999999990, 25937423490, 743008289364, 23298080054964, 793714478374818, 29192909282466930, 1152920554828545360, 48661137306426044400, 2185908358103092063584, 104127157513055758393026, 5242868049702388548952080
评论
函数上的前像约束是一组非负整数，因此任何元素的逆像的大小都是该集合中的值之一。通过将每个非根节点发送到其靠近根的邻居并将根发送给自身，将标记的根树作为集合{1,2，…，n}上的内函数进行查看。因此，a（n）是一组大小为n且正好有一个循环点的内函数的数目，因此每个前像最多有8个项。
链接
B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
配方奶粉
a（n）=（n-1）！*[x^（n-1）]e_8（x）^n，其中e_k（x）是截断指数1+x+x^2/2！+…+x^k/k！。上述链接产生显式常数ck，rk，因此列是渐近的c8*n^（-3/2）*r8^-n。
黄体脂酮素
（Python）
#打印序列中的第一个num_entries条目
导入数学，sympy；x=符号（'x'）
k=8；数量=64
P=范围（k+1）；eP=总和（P]中d的[x**d/math.阶乘（d））；r=[0,1]；curr_pow=eP
对于范围（1，num_entries-1）中的术语：
…curr_pow=（curr_pow*eP）.expand（）
…r.append（curr_pow.coeff（x**term）*math.factorial（term））
打印（r）
交叉参考
第k列=第8列，共列A325201型; 请参阅与其他preimage约束构造相关的序列条目。
a（n）是一组大小为n的带标签的根树的数量，其中每个节点最多有9个邻居，这些邻居距离根比节点本身更远。
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1
0, 1, 2, 9, 64, 625, 7776, 117649, 2097152, 43046721, 1000000000, 25937424590, 743008369224, 23298084997044, 793714764270428, 29192925433321650, 1152921466989795360, 48661189511753527280, 2185911410555033096364, 104127340753401006230046, 5242879377215160617336400
评论
函数上的前像约束是一组非负整数，因此任何元素的逆像的大小都是该集合中的值之一。通过将每个非根节点发送到其靠近根的邻居并将根发送给自身，将标记的根树作为集合{1,2，…，n}上的内函数进行查看。因此，a（n）是一组大小为n且正好有一个循环点的内函数的数目，因此每个前像最多有9个项。
链接
B.奥托，预镜像约束下的聚合，arXiv:1903.00542[math.CO]，2019，推论5.3和7.8。
配方奶粉
a（n）=（n-1）！*[x^（n-1）]e_9（x）^n，其中e_k（x）是截断的指数1+x+x^2！+…+x^k/k！。上述链接产生显式常数ck，rk，因此列是渐近的c9*n^（-3/2）*r9^-n。
数学
e[k_][x_]：=总和[x^j/j！，{j，0，k}]；
a[0]=0；a[n]：=（n-1）！系数[e[9][x]^n，x，n-1]；
黄体脂酮素
（Python）#打印序列中的第一个num_entries条目
导入数学，sympy；x=符号（'x'）
k=9；num_entries=64
P=范围（k+1）；eP=总和（P]中d的[x**d/math.阶乘（d））；r=[0,1]；curr_pow=eP
对于范围（1，num_entries-1）中的术语：
…curr_pow=（curr_pow*eP）.expand（）
…r.append（curr_pow.coeff（x**term）*math.factorial（term））
打印（r）
交叉参考
第k=9列，共9列A325201型; 请参阅与其他preimage约束构造相关的序列条目。
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