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0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 4, 3, 3, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 4, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 6, 5, 5, 6, 6, 8, 6, 6, 6, 4, 7, 6, 5, 7, 9, 6, 6, 8, 5, 4, 7, 9, 7, 8, 6, 6, 7, 3, 5, 7, 9, 8, 9, 9, 6, 6, 5, 6, 7, 6, 8, 5, 4, 4, 4, 4, 8, 10, 10, 10, 7, 6, 6, 8, 7, 6, 10, 6, 6
例子
a（4）=1，因为4=2+2，2*（2+1）-素数（2）=3素数。
a（5）=1，因为5=2+3，其中2*（2+1）-素数（2）=3，3*（3+1）-素（3）=7都是素数。
数学
p[n_]：=素数Q[n（n+1）-素数[n]]
a[n_]：=总和[如果[p[k]&&p[n-k]，1，0]，{k，1，n/2}]
表[a[n]，{n，1100}]
0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 4, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 2, 3, 5, 3, 3, 3, 2, 4, 6, 2, 4, 3, 2, 4, 4, 4, 2, 6, 4, 4, 6, 2, 5, 2, 3, 7, 5, 4, 4, 6, 1, 2, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 5, 1, 4, 7, 5, 5, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 8, 4, 6, 4, 4, 4, 1, 2, 4, 7, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 2, 6, 6, 4, 6, 8, 1, 4, 5, 5, 4, 7, 6
例子
a（13）=1，因为13=3+10，其中3*4-素数（3）=7素数，10=4*5/2是正三角形数。
a（52）=1，因为52=37+15，37*38-素数（37）=1249素数，15=5*6/2是一个正三角形数。
a（61）=1，因为61=6+55，其中6*7-素数（6）=29素数，55=10*11/2是正三角形数。
a（313）=1，因为313=37+276，其中37*38-素数（37）=1249素数，276=23*24/2是正三角形数。
数学
PQ[n_]：=素数Q[n（n+1）-素数[n]]
TQ[n_]：=整数Q[Sqrt[8n+1]]
a[n_]：=总和[If[PQ[k]&&TQ[n-k]，1，0]，{k，1，n-1}]
表[a[n]，{n，1100}]
0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 2, 4, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 3, 4, 4, 3, 5, 3, 1, 5, 5, 3, 5, 2, 4, 4, 3, 5, 4, 4, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 3, 6, 6, 6, 5, 2, 3, 4, 3, 5, 5, 4, 5, 6, 4, 3, 6, 4, 3, 6, 4, 4, 5, 3, 5, 3, 5, 6, 6, 5, 3, 6, 4, 2, 4, 1, 4, 5, 4, 5, 7, 5, 4, 6, 9, 5, 6, 4, 2, 6, 6, 2, 6
评论
猜想：对于所有n>3，a（n）>0，而仅对于n=4,30,83，a（n）=1。
例子
a（4）=1，因为4=2+2有2，素数（2）-2+1=2和2*3-素数（二）=3都是素数。
a（30）=1，因为30=3+27有3，素数（3）-3+1=3和27*28-素数（27）=756-103=653都是素数。
a（83）=1，因为83=13+70带有13，素数（13）-13+1=29和70*71-素数（70）=4970-349=4621都是素数。
数学
p[n_]：=素数Q[素数[n]-n+1]
q[n_]：=素数q[n（n+1）-素数[n]]
a[n_]：=和[If[p[Prime[k]]&&q[n-Prime[k]，1，0]，{k，1，PrimePi[n-1]}]
表[a[n]，{n，1100}]
2, 3, 5, 11, 19, 29, 37, 41, 53, 61, 71, 89, 131, 137, 149, 157, 233, 263, 271, 281, 293, 331, 337, 359, 389, 431, 433, 439, 457, 487, 499, 571, 617, 631, 659, 701, 739, 751, 761, 809, 859, 877, 907, 911, 1009, 1019, 1031, 1033, 1087, 1093
例子
2是一个项，因为2*3-素数（2）=3是素数。
3是一个项，因为3*4-prime（3）=7是prime。
5是一个项，因为5*6-素数（5）=19是素数。
数学
PQ[n_]：=素数Q[n（n+1）-素数[n]]
n=0；Do[If[PQ[Prime[k]]，n=n+1；打印[n，“”，质数[k]]，{k，1，1000}]
用k>0和m>0写出n=k+m，使得p=prime（k）+phi（m）和p*（p+1）-prime（p）都是质数的方法的数量，其中phi（.）是Euler的totiten函数。
+10
5
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 4, 3, 2, 6, 3, 4, 4, 5, 5, 3, 4, 2, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 7, 1, 6, 4, 8, 6, 6, 7, 4, 5, 10, 5, 3, 4, 6, 7, 6, 6, 9, 6, 3, 7, 7, 10, 5, 9, 7, 7, 6, 5, 8, 9, 4, 6, 9, 8, 5, 8, 5, 8, 8, 5, 6, 7, 9, 10, 8, 8, 8, 11, 10, 11, 7, 8, 13, 9, 6, 12, 10, 5, 9, 7, 8, 14, 8
评论
猜测：对于所有n>7，a（n）>0。
这意味着有无穷多个素数p和p*（p+1）-素数（p）素数。
例子
a（14）=1，因为14=4+10，素数（4）+φ（10）=11和11*12-素数（11）=101都是素数。
a（15）=1，因为15=6+9，素数（6）+phi（9）=19和19*20-素数（19）=313都是素数。
a（37）=1，因为37=23+14，其中素数（23）+φ（14）=89和89*90-素数（89）=7549都是素数。
数学
PQ[n_]：=素数Q[n]&&素数Q[n（n+1）-素数[n]]
f[n_，k_]：=素数[k]+EulerPhi[n-k]
a[n_]：=总和[If[PQ[f[n，k]]，1，0]，{k，1，n-1}]
表[a[n]，{n，1100}]
奇数素数p与（p^2-1）/4-素数（（p-1）/2）和（p^2-1）/4+素数（p+1）/2）都是素数。
+10
5
7, 11, 19, 23, 41, 73, 83, 109, 197, 211, 229, 271, 379, 461, 541, 631, 641, 659, 859, 991, 1031, 1049, 1051, 1093, 1103, 1217, 1429, 1451, 1879, 2063, 2131, 2287, 2341, 2411, 3019, 3257, 3461, 3659, 3673, 3691, 3709, 3917, 3967, 4409, 4463, 4519, 5279, 5303, 5471, 5477
例子
a（1）=7，因为（3^2-1）/4-素数（（3-1）/2）都不是1，也不是（5^2-1，/4+素数（5-1，/2）=9都是素数，但（7^2-1。）/4-素（（7-1）/2。
数学
q[n_]：=q[n]=素数q[n（n+1）-素数[n]]&&素数q[n（n+1）+素数[n]]
n=0；Do[If[q[（素数[k]-1）/2]，n=n+1；打印[n，“”，素数[k]]]，｛k，21000｝]
a（n）=|{0<k<n-2:2*m+1，m*（m+1）-素数（m）和m*（m+1）+素数（m）都是素数，m=phi（k）+phi（n-k）/2}|，其中phi（.）是欧拉的总函数。
+10
4
0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 3, 6, 4, 7, 4, 3, 6, 5, 6, 4, 7, 4, 7, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 3, 6, 3, 4, 2, 2, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 6, 4, 2, 4, 2, 4, 3, 3, 6, 4, 2, 6, 8, 6, 10, 4, 6, 7, 4, 6, 6, 8, 6, 6, 2, 9, 5, 9, 10, 12, 4, 10, 6, 10, 6, 9, 5, 11, 10, 7, 10, 10, 6, 9, 11, 7, 8, 8, 13, 6, 5, 5, 6, 9
评论
猜想：（i）a（n）>0表示所有n>5，而a（n）=1仅表示n=191。
（ii）如果n>8不等于32，则存在一个正整数k<n-2，使得2*m+1，m*（m+1）-素数（m）和m*（m+1）+素数（m）都是素数，其中m=sigma（k）+phi（n-k）/2，sigma。
（iii）如果n>444，则存在一个正整数k<n，使得2*m+1、m^2-素数（m）和m^2+素数（m）都是素数，其中m=sigma（k）+phi（n-k）。
显然，这个猜想的（i）部分暗示了有无穷多个奇数素数p=2*m+1，其中m*（m+1）-素数（m）=（p^2-1）/4-素数。
例子
a（6）=2，因为φ（1）+φ（5）/2=φ（3）+φ。
a（191）=1，因为φ（153）+φ（38）/2=105，其中2*105+1=211，105*106-素数（105）=11130-571=10559，以及105*106+素数（10.5）=11130+571=11701，所有素数。
数学
q[n_]：=PrimeQ[2n+1]和&PrimeQ[n（n+1）-Prime[n]]和&PrimeQ[n（n+1）+Prime[n]]
f[n_，k_]：=EulerPhi[k]+EulerPhi[n-k]/2
a[n_]：=总和[如果[q[f[n，k]]，1，0]，{k，1，n-3}]
表[a[n]，{n，1100}]
奇素数p与（p^2-1）/4-素数（（p-1）/2）和（p^2-1）/4-素数（（p+1）/2）都是素数。
+10
三
7, 11, 19, 29, 41, 43, 53, 59, 89, 109, 139, 179, 181, 229, 379, 401, 421, 431, 541, 587, 659, 811, 991, 1069, 1103, 1117, 1231, 1259, 1459, 1471, 1619, 1709, 1831, 1951, 2179, 2791, 2797, 2833, 2851, 3001, 3391, 3571, 3617, 3631, 3637, 3671, 3793, 3863, 3929, 3967
例子
a（1）=7，因为（3^2-1）/4-素数（（3-1）/2）都不是0，也不是（5^2-2）/4素数（5+1）/2）=1都是素数，但（7^2-1，/4-素数（（7-1）/2。
数学
q[n_]：=素数q[n（n+1）-素数[n]]&&素数q[n（n/1）-素数[n+1]]
n=0；Do[If[q[（素数[k]-1）/2]，n=n+1；打印[n，“”，质数[k]]，{k，2，1000}]
选择[素数[范围[2，600]]、AllTrue[（#^2-1）/4-{素数[（#-1）/2]、素数[[（#+1）/2]}、素数Q]&]（*需要Mathematica版本10或更高版本*）(*哈维·P·戴尔2020年11月5日*）
a（n）=|{0<k<n-2:2*m+1，m*（m-1）-prime（m）和m*（m+1）-prim（m）都是素数，m=phi（k）+phi（n-k）/2}|，其中phi（.）是Euler的totilent函数。
+10
三
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 3, 2, 4, 2, 6, 5, 6, 7, 4, 8, 7, 8, 8, 11, 7, 12, 9, 9, 12, 5, 14, 10, 9, 9, 9, 9, 7, 8, 11, 9, 8, 7, 14, 8, 6, 9, 5, 5, 9, 11, 3, 9, 6, 13, 8, 8, 6, 7, 6, 5, 4, 3, 1, 5, 5, 5, 6, 5, 7, 7, 4, 7, 11, 8, 3, 5, 3, 10, 4, 4, 3, 9, 2, 4, 4, 5, 8, 12, 13, 4, 9, 5, 11, 5, 12, 7, 4, 4
评论
猜想：对于所有n>11，a（n）>0。
这意味着有无穷多个奇数素数p=2*m+1，q=m*（m-1）-素数（m）和r=m*。注意r-q=2*m。
例子
a（10）=1，因为phi（5）+phi（5）/2=6，2*6+1=13，5*6-素数（6）=30-13=17和6*7-素数（6）=42-13=29都是素数。
数学
PQ[n_]：=n>0&&PrimeQ[n]
p[n]：=素数Q[2n+1]&&PQ[n（n-1）-素数[n]]&&PQ[n
f[n_，k_]：=EulerPhi[k]+EulerPhi[n-k]/2
a[n_]：=和[If[p[f[n，k]]，1，0]，{k，1，n-3}]
表[a[n]，{n，1100}]
a（n）=|{0<k<n-2:2*m+1，m*（m+1）-素数（m）和m*（m+1）-素数（m+1。
+10
2
0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2, 6, 3, 7, 4, 2, 7, 3, 5, 4, 4, 6, 6, 6, 4, 4, 7, 8, 9, 6, 6, 11, 8, 10, 6, 6, 12, 8, 13, 6, 12, 8, 13, 10, 7, 14, 10, 11, 11, 11, 16, 14, 13, 9, 15, 11, 23, 14, 12, 11, 12, 10, 14, 8, 15, 9, 14, 13, 11, 12, 9, 19, 9, 14, 11, 16, 8, 14, 5, 13, 8, 13, 9, 13, 10, 15, 10, 11, 12, 17, 8, 13, 10, 11, 7, 18
评论
猜想：对于所有n>5，a（n）>0。
这意味着有无穷多个奇数素数p=2*m+1，其中m*（m+1）-素数（m）和m*。
例子
a（8）=2，因为φ（4）+φ（4”）/2=3，其中2*3+1=7，3*4-素数（3）=7和3*4-素数（4）=5都是素数，φ（5）+φ。
数学
q[n_]：=素数q[2n+1]&&素数q[n（n+1）-素数[n]]&&素q[n
f[n_，k_]：=EulerPhi[k]+EulerPhi[n-k]/2
a[n_]：=总和[如果[q[f[n，k]]，1，0]，{k，1，n-3}]
表[a[n]，{n，1100}]
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