显示找到的13个结果中的1-10个。
O.g.f.:求和{n>=0}n^n*(n+1)^(n-1)*exp(-n*(n+1)*x)*x^n/n!。
+10 61
1, 1, 4, 38, 576, 12052, 322848, 10564304, 408903680, 18288706544, 928575662400, 52780935007968, 3321208845997056, 229232635832433664, 17221699990084108288, 1399139700462119135232, 122235936429355565580288, 11428226675376971405577984, 1138551595285580854471388160
评论
比较g.f.和LambertW恒等式:
1=Sum_{n>=0}(n+1)^(n-1)*exp(-(n+1)*x)*x^n/n!。
更一般地,如果我们为固定整数m、t和s>=0定义a(n),则通过:
(0)和{n>=0}m*n^(s*n)*(n*t+m)^(n-1)*exp(-n^s*(n*1+m)*x)*x^n/n!=和{n>=0}a(n)*x^n
那么系数a(n)是积分的,可以表示为:
(1) a(n)=1/n!*求和{k=0..n}m*(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*k^(s*n)*(k*t+m)^。
(2) a(n)=1/n!*[x^n]求和{k>=0}m*k^(s*k)*(k*t+m)^(k-1)*x^k/(1+k^s*(k*t+m。
(3) a(n)=1/t^((s-1)*n)*[x^(s*n)]1+m*x*(1+m**)^(n-1)/产品{k=1..n}(1-k*t*x)。
(4) a(n)=1/t^((s-1)*n)*[x^(s*n)]1+m*x*(1-m*x)^(s*n)/产品{k=1..n}(1-(k*t+m)*x)。
配方奶粉
a(n)=1/n!*和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*k^n*(k+1)^。
a(n)=1/n!*[x^n]和{k>=0}k^k*(k+1)^(k-1)*x^k/(1+k*(k+1)*x)^。
a(n)=[x^n]1+x*(1+x)^(n-1)/产品{k=1..n}(1-k*x)。
a(n)=[x^n]1+x*(1-x)^(n-1)/产品{k=1..n}(1-(k+1)*x)。
a(n)=Sum_{k=0..n-1}二项式(n-1,k)*Stirling2(2*n-k-1,n)对于n>0,其中Stirling 2(n,k)=A008277号(n,k)-保罗·D·汉纳2012年11月13日
例子
外径:A(x)=1+x+4*x^2+38*x^3+576*x^4+12052*x^5+322848*x^6+。。。
哪里
A(x)=1+1^1*2^0*x*经验(-1*2*x)+2^2*3^1*exp(-2*3*x)*x^2/2!+3^3*4^2*经验(-3*4*x)*x^3/3!+4^4*5^3*exp(-4*5*x)*x^4/4!+5^5*6^4*经验(-5*6*x)*x^5/5!+。。。
简化为具有整数系数的x的幂级数。
数学
a[n]:=1/n*和[(-1)^(n-k)*二项式[n,k]*k^n*(k+1)^,(n-1),{k,0,n}];a[0]=1;表[a[n],{n,0,18}](*Jean-François Alcover公司2013年3月6日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,m^m*(m+1)^(m-1)*x^m*exp(-m*(m+1*x+x*O(x^n))/m!),n)}
(PARI){a(n)=(1/n!)*polcoeff(和(k=0,n,k^k*(k+1)^(k-1)*x^k/(1+k*(k+1)*x+x*O(x^n))^
(PARI){a(n)=1/n!*和(k=0,n,(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*k^n*(k+1)^
(PARI){a(n)=polceoff(1+x*(1+x)^(n-1)/prod(k=0,n,1-k*x+x*O(x^n)),n)}
(PARI){a(n)=polceoff(1+x*(1-x)^n/prod(k=0,n,1-(k+1)*x+x*O(x^n)),n)}
对于(n=0,30,打印1(a(n),“,”)
(PARI){斯特林2(n,k)=n!*polceoff(((exp(x+x*O(x^n))-1)^k)/k!,n)}
{a(n)=如果(n==0,1,和(k=0,n-1,二项式(n-1,k)*Stirling2(2*n-k-1,n))}\\保罗·D·汉纳2012年11月13日
/*一般情况下的PARI计划(START)*/
(PARI){a(n,m=1,t=1,s=1)=polceoff(和(k=0,n,m*k^(s*k)*(t*k+m)^(k-1)*exp
(PARI){a(n,m=1,t=1,s=1)=(1/n!)*polcoeff(和(k=0,n,m*k^(s*k)*(t*k+m)^(k-1)*x^k/(1+k^s*(txk+m
(PARI){a(n,m=1,t=1,s=1)=1/n!*和(k=0,n,m*(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*k^(s*n)*(t*k+m)^
(PARI){a(n,m=1,t=1,s=1)=(1/t^((s-1)*n))*polcoeff(1+m*x*(1+m*x)^(n-1)/prod(k=0,n,1-t*k*x+x*O(x^(s*n)
(PARI){a(n,m=1,t=1,s=1)=(1/t^((s-1)*n))*polcoeff(1+m*x*(1-m*x)^(s*n)/prod(k=0,n,1-(t*k+m)*x+x*O(x^(s*n)
/*(结束)*/
1, 1, 4, 28, 288, 3936, 67328, 1385728, 33372160, 921118720, 28677169152, 994360565760, 38007586684928, 1587878686621696, 71990467473965056, 3520403893852831744, 184707311409882464256, 10350444842488122310656, 616975843658373414256640, 38981881007475178476666880
链接
南特尔·贝杰伦、劳拉·科尔梅纳雷霍、舒晓丽、约翰·马查切克、罗宾·苏尔兹格鲁伯、迈克·扎布罗基、阿德里亚诺·加西亚、马里诺·罗梅罗、唐奎和诺兰·瓦拉赫,超调和与Delta猜想的表示理论模型,2019年1月24日公开问题会议摘要,表示理论与(q,t)-组合数学的联系(19w5131),加拿大不列颠哥伦比亚省班夫。
配方奶粉
a(n)=(1/2)*Sum_{k=0..n+1}C(n+1,k)*k^n/(n+1)。
a(n)=[x^n/n!]exp((n+1)*x)*cosh(x)^(n+1)/(n+1)。
例如,A(x)满足:
(1) A(x*exp(-x)/cosh(x))=exp(x)*cosh(x)。
(2) A(x)=(1/x)*系列_反转(x*exp(-x)/cosh(x))。
(3) A(x)=(1+exp(2*x*A(x)))/2。
(5) A(x)=Sum_{n>=0}(n+1)^(n-1)*cosh((n+1)*x)*x^n/n-保罗·D·汉纳2012年10月24日
(6) A(x)=1+和{n>=1}n^n*sinh(n*x)/(n*x)*x^n/n-保罗·D·汉纳2012年11月20日
设A(x)^m=Sum_{n>=0}A(n,m)*x^n/n!然后
a(n,m)=和{k=0..n+m}C(n+m,k)*k^n*m/(n+m)/2^m。
例如:(x-LambertW(-x*exp(x))/(2*x)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年12月4日
a(n)~n*sqrt(LambertW(exp(-1))+1)/(2*sqrt-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年12月4日
例子
例如:A(x)=1+x+4*x^2/2!+28*x^3/3!+288*x^4/4!+3936*x^5/5!+。。。
x^n/n!的系数!以G(x)=(1+exp(2*x))/2的初始幂开始:
G^1:[(1),1,2,4,8,16,32,64,128,…];
G^2:[1,(2),6,20,72,272,1056,4160,…];
G^3:[1,3,(12),54,264,1368,7392,41184,…];
G^4:[1,4,20,(112),680,4384,29600,207232,…];
G^5:[1,5,30,200,(1440),11000,88080,732800,…];
G^6:[1,6,42,3242688,(23616),2173922080224,…];
G^7:[1,7,56,490,4592,45472,(471296),5076400,…];
G^8:[1,8,72,704,7344,80768,928512,(11085824),…]。。。
其中括号中的系数构成该序列的初始项:
[1/1, 2/2, 12/3, 112/4, 1440/5, 23616/6, 471296/7, 11085824/8, ...].
数学
联接[{1},表[Sum[二项式[n+1,k]k^n/(n+1),{k,0,n+1}]/2,{n,20}]](*哈维·P·戴尔2012年2月4日*)
系数列表[系列[(x-LambertW[-x*E^x])/(2*x),{x,0,20}],x]*范围[0,20]!(*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年12月4日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=n*polceoff(1/x*serreverse(x*exp(-x+x^2*O(x^n))/cosh(x+x*2*O
(PARI)a(n)=局部(X=X+X*O(X^n));不*polceoff(exp((n+1)*X)*cosh(X)^(n+1
(PARI)a(n)=总和(k=0,n+1,二项式(n+1,k)*k^n/(n+1)/2)
(PARI)/*a(n,m)的公式,其中a(x)^m=Sum_{n>=0}a(n,m)*x^n/n!:*/
{a(n,m=1)=和(k=0,n+m,二项式(n+m、k)*k^n*m/(n+m)/2^m)}
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(a=和(k=0,n,(k+1)^(k-1)*cosh((k+1,*x+x*O(x^n))*x^k/k!);n!*polcoeff(a,n)}
对于(n=0,20,打印1(a(n),“,”)\\保罗·D·汉纳2012年10月24日
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(a=1+和(k=1,n,k^k*sinh(k*x+x^2*O(x^n))/(k*x)*x^k/k!);n!*polceoff(a,n)}
对于(n=0,20,打印1(a(n),“,”)\\保罗·D·汉纳2012年11月20日
2, 7, 8, 4, 6, 4, 5, 4, 2, 7, 6, 1, 0, 7, 3, 7, 9, 5, 1, 0, 9, 3, 5, 8, 7, 3, 9, 0, 2, 2, 9, 8, 0, 1, 5, 5, 4, 3, 9, 4, 7, 7, 4, 8, 8, 6, 1, 9, 7, 4, 5, 7, 6, 5, 4, 5, 3, 1, 7, 8, 1, 0, 5, 5, 3, 5, 0, 2, 9, 3, 7, 5, 4, 5, 9, 9, 4, 9, 8, 9, 8, 1, 9, 2, 0, 4, 9, 8, 4, 2, 8, 1, 1, 2, 9, 9, 4, 2, 8
评论
请参见A202322型有关相关序列的指南。Mathematica程序包含一个图形。
参考文献
Heine Halberstam和Hans Egon-Richert,《筛分方法》,多佛出版社(2011年)。见定理2.1。
链接
H.J.H.Tuenter,关于广义泊松分布,arXiv:math/0606238[math.ST],2006年。发布版本于关于广义泊松分布《Neerlandica统计》,54(3):374-3762000年11月。
例子
x=0.2784645427610737951093587390229801554394774886。。。
数学
u=E;v=0;
f[x_]:=u*x+v;g[x_]:=E^-x
绘图[{f[x],g[x]},{x,0,1},{AxesOrigin->{0,0}}]
r=x/。查找根[f[x]==g[x],{x,.27,.28},工作精度->110]
RealDigits[LambertW[实验[-1]],10,120][[1](*哈维·P·戴尔2019年12月24日*)
例如,A(x)满足A(x/(exp(x)*cosh(x)))=exp(3*x)*cosh(3*x)。
+10 11
1, 3, 24, 252, 3360, 55008, 1074816, 24499968, 639744000, 18856765440, 619897847808, 22502300590080, 894419152404480, 38651030120693760, 1804765006764441600, 90574514900736933888, 4862862027933962207232, 278158492957848901779456, 16889663645642083220324352
评论
更一般地,如果A(x/(exp(t*x)*cosh(t*x)))=exp(m*x)*cosh(m*x),
则A(x)=和{n>=0}m*(n*t+m)^(n-1)*cosh((n*t+m)*x)*x^n/n!。
配方奶粉
例如:A(x)=Sum_{n>=0}3*(n+3)^(n-1)*cosh((n+3)*x)*x^n/n!。
例如:A(x)=1/2+1/2*exp(3*x-3*LambertW(-x*exp(x)))。
a(n)=3/2*Sum_{k=0..n}(k+3)^(n-1)*n>0的二项式(n,k)。
通用公式:1/2+3/2*Sum_{k>=0}(k+3)^(k-1)*x^k/(1-(k+3)*x)^。(结束)
例子
例如:A(x)=1+3*x+24*x^2/2!+252*x^3/3!+3360*x^4/4!+55008*x^5/5!+。。。
哪里
A(x)=余弦(3*x)+3*4^0*余弦(4*x)*x+3*5^1*余弦3*6^2*cosh(6*x)*x^3/3!+3*7^3*cosh(7*x)*x^4/4!+3*8^4*cosh(8*x)*x^5/5!+。。。
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n),R=serreverse(X/(exp(X)*cosh(X)))
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n));Egf=和(k=0,n,3*(k+3)^(k-1)*cosh((k+3)*X)*X^k/k!);n!*polcoeff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
交叉参考
囊性纤维变性。A201595型,A218300型,A218302型,A218303型,A218304型,A218305型,A218306型,A218307型,A218308型,A218309型,A218310型.
例如,A(x)满足A(x/(exp(x)*cosh(x)))=exp(4*x)*cosh(4*x)。
+10 11
1, 4, 40, 496, 7488, 134784, 2836736, 68635648, 1881948160, 57777184768, 1965962575872, 73503311167488, 2997314388623360, 132455836580577280, 6308164435588415488, 322185156718017642496, 17571327124936467677184, 1019377026461494381903872
评论
更一般地,如果A(x/(exp(t*x)*cosh(t*x)))=exp(m*x)*cosh(m*x),
则A(x)=和{n>=0}m*(n*t+m)^(n-1)*cosh((n*t+m)*x)*x^n/n!。
配方奶粉
例如:A(x)=Sum_{n>=0}4*(n+4)^(n-1)*cosh((n+4)*x)*x^n/n!。
例如:A(x)=1/2+1/2*exp(4*x-4*LambertW(-x*exp(x)))。
当n>0时,a(n)=2*Sum_{k=0..n}(k+4)^(n-1)*二项式(n,k)。
通用公式:1/2+2*Sum_{k>=0}(k+4)^(k-1)*x^k/。(结束)
例子
例如:A(x)=1+4*x+40*x^2/2!+496*x^3/3!+7488*x^4/4!+。。。
哪里
A(x)=cosh(4*x)+4*5^0*cosh(5*x)*x+4*6^1*cosh(6*x)*x^2/2!+4*7^2*cosh(7*x)*x^3/3!+4*8^3*cosh(8*x)*x^4/4!+4*9^4*cosh(9*x)*x^5/5!+。。。
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n),R=serreverse(X/(exp(X)*cosh(X)))
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n));Egf=和(k=0,n,4*(k+4)^(k-1)*cosh((k+4)*X)*X^k/k!);n!*polcoeff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
交叉参考
囊性纤维变性。A201595型,A218300型,A218301型,A218303型,A218304型,A218305型,A218306型,A218307型,A218308型,A218309型,A218310型.
例如,A(x)满足A(x/(exp(2*x)*cosh(2*x)))=exp(x)*cosh(x)。
+10 11
1, 1, 6, 76, 1480, 39056, 1303904, 52716224, 2504292480, 136741146880, 8439125550592, 580959483530240, 44138582550333440, 3668643339883089920, 331143571990522060800, 32258185015683531587584, 3373221864252806213435392, 376881845889001869159759872
评论
更一般地,如果A(x/(exp(t*x)*cosh(t*x)))=exp(m*x)*cosh(m*x),
则A(x)=和{n>=0}m*(n*t+m)^(n-1)*cosh((n*t+m)*x)*x^n/n!。
配方奶粉
例如:A(x)=Sum_{n>=0}(2*n+1)^(n-1)*cosh((2*n+1)*x)*x^n/n!。
a(n)~c*2^n*n^(n-1)/-瓦茨拉夫·科特索维奇,2014年7月13日,2019年6月10日更新
例如:A(x)=1/2+1/2*exp(x-1/2*LambertW(-2*x*exp(2*x)))。
对于n>0,a(n)=1/2*和{k=0..n}(2*k+1)^(n-1)*二项式(n,k)。
通用公式:1/2+1/2*Sum_{k>=0}(2*k+1)^(k-1)*x^k/(1-(2*k+1)*x)^。(结束)
例子
例如:A(x)=1+x+6*x^2/2!+76*x^3/3!+1480*x^4/4!+39056*x^5/5!+。。。
哪里
A(x)=余弦(x)+3^0*余弦(3*x)*x+5^1*余弦7^2*cosh(7*x)*x^3/3!+9^3*cosh(9*x)*x^4/4!+11^4*cosh(11*x)*x^5/5!+。。。
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n),R=serreverse(X/(exp(2*X)*cosh(2*X)))
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n));Egf=和(k=0,n,(2*k+1)^(k-1)*cosh((2*k+1)*X)*X^k/k!);n!*polcoeff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
交叉参考
囊性纤维变性。A201595型,A218300型,A218301型,A218302型,A218304型,A218305型,A218306型,A218307型,A218308型,A218309型,A218310型.
例如,A(x)满足A(x/(exp(2*x)*cosh(2*x)))=exp(3*x)*cosh(3*x)。
+10 10
1, 3, 30, 468, 10248, 291888, 10282464, 432631104, 21195292800, 1186054914816, 74676568432128, 5226914768016384, 402722750814750720, 33876716756962652160, 3089713688099323502592, 303723970839738425622528, 32015024916407062538256384
评论
更一般地,如果A(x/(exp(t*x)*cosh(t*x)))=exp(m*x)*cosh(m*x),
则A(x)=和{n>=0}m*(n*t+m)^(n-1)*cosh((n*t+m)*x)*x^n/n!。
配方奶粉
例如:A(x)=Sum_{n>=0}3*(2*n+3)^(n-1)*cosh((2*n+3)*x)*x^n/n!。
例如:A(x)=1/2+1/2*exp(3*x-3/2*LambertW(-2*x*exp(2*x)))。
a(n)=3/2*Sum_{k=0..n}(2*k+3)^(n-1)*n>0的二项式(n,k)。
通用公式:1/2+3/2*Sum_{k>=0}(2*k+3)^(k-1)*x^k/(1-(2*k+3)*x)^。(结束)
例子
例如:A(x)=1+3*x+30*x^2/2!+468*x^3/3!+10248*x^4/4!+291888*x^5/5!+。。。
哪里
A(x)=余弦(3*x)+3*5^0*余弦(5*x)*x+3*7^1*余弦3*9^2*cosh(9*x)*x^3/3!+3*11^3*cosh(11*x)*x^4/4!+3*13^4*cosh(13*x)*x^5/5!+。。。
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n),R=serreverse(X/(exp(2*X)*cosh(2*X)))
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n));Egf=和(k=0,n,3*(2*k+3)^(k-1)*cosh((2*k+3)*X)*X^k/k!);n!*polcoff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
交叉参考
囊性纤维变性。A201595型,A218300型,A218301型,A218302型,A218303型,A218305型,A218306型,A218307型,A218308型,A218309型,A218310型.
例如,A(x)满足A(x/(exp(3*x)*cosh(3*x)))=exp(x)*cosh(x)。
+10 10
1, 1, 8, 148, 4256, 166816, 8297600, 500730112, 35547379712, 2902899914752, 268094176428032, 27629598827044864, 3143573312615481344, 391375817676973932544, 52926434374336385122304, 7725597721066205089890304, 1210677595048894480252928000
评论
更一般地,如果A(x/(exp(t*x)*cosh(t*x)))=exp(m*x)*cosh(m*x),
则A(x)=和{n>=0}m*(n*t+m)^(n-1)*cosh((n*t+m)*x)*x^n/n!。
配方奶粉
例如:A(x)=Sum_{n>=0}(3*n+1)^(n-1)*cosh((3*n+1)*x)*x^n/n!。
例如:A(x)=1/2+1/2*exp(x-1/3*LambertW(-3*x*exp(3*x)))。
对于n>0,a(n)=1/2*和{k=0..n}(3*k+1)^(n-1)*二项式(n,k)。
G.f.:1/2+1/2*Sum_{k>=0}(3*k+1)^(k-1)*x^k/(1-(3*k+1)*x)^(k+1)。(结束)
例子
例如:A(x)=1+x+8*x^2!+148*x^3/3!+4256*x^4/4!+166816*x^5/5!+。。。
哪里
A(x)=余弦(x)+4^0*余弦(4*x)*x+7^1*余弦10^2*cosh(10*x)*x^3/3!+13^3*cosh(13*x)*x^4/4!+16^4*cosh(16*x)*x^5/5!+。。。
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n),R=serreverse(X/(exp(3*X)*cosh(3*X)));Egf=exp(R)*coph(R);n!*polcoff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n));Egf=和(k=0,n,(3*k+1)^(k-1)*cosh((3*k+1)*X)*X^k/k!);n!*polcoeff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
交叉参考
囊性纤维变性。A201595型,A218300型,A218301型,A218302型,A218303型,A218304型,A218306型,A218307型,A218308型,A218309型,A218310型.
例如,A(x)满足A(x/(exp(3*x)*cosh(3*x)))=exp(2*x)*cosh(2*x)。
+10 10
1, 2, 20, 392, 11648, 466112, 23517824, 1434077696, 102618951680, 8432793964544, 782753794531328, 81007725700038656, 9249066952457584640, 1154952975718091325440, 156588371428134115868672, 22908199202756436344963072, 3597006040171205977538822144
评论
更一般地,如果A(x/(exp(t*x)*cosh(t*x)))=exp(m*x)*cosh(m*x),则A(x)=和{n>=0}m*(n*t+m)^(n-1)*cosch((n*t+m)*x)x^n/n!。
配方奶粉
例如:A(x)=Sum_{n>=0}2*(3*n+2)^(n-1)*cosh((3*n+2)*x)*x^n/n!。
例如:A(x)=1/2+1/2*exp(2*x-2/3*LambertW(-3*x*exp(3*x)))。
a(n)=Sum_{k=0..n}(3*k+2)^(n-1)*二项式(n,k)对于n>0。
通用公式:1/2+Sum_{k>=0}(3*k+2)^(k-1)*x^k/(1-(3*k+2)*x)^。(结束)
例子
例如:A(x)=1+2*x+20*x^2/2!+392*x^3/3!+11648*x^4/4!+466112*x^5/5!+。。。
哪里
A(x)=余弦(2*x)+2*5^0*余弦(5*x)*x+2*8^1*余弦2*11^2*cosh(11*x)*x^3/3!+2*14^3*cosh(14*x)*x^4/4!+2*17^4*cosh(17*x)*x^5/5!+。。。
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n),R=serreverse(X/(exp(3*X)*cosh(3*X)))
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n));Egf=和(k=0,n,2*(3*k+2)^(k-1)*cosh((3*k+2)*X)*X^k/k!);n!*polcoff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
交叉参考
囊性纤维变性。A201595型,A218300型,A218301型,A218302型,A218303型,A218304型,A218305型,A218307型,A218308型,A218309型,A218310型.
例如,A(x)满足A(x/(exp(4*x)*cosh(4*x)))=exp(x)*cosh(x)。
+10 10
1, 1, 10, 244, 9288, 483216, 31949216, 2564959552, 242374510720, 26355555496192, 3241906046249472, 445085008158569472, 67469834196870809600, 11192986206960277688320, 2017105871358529382883328, 392394481517424330142203904, 81955683182673295403291541504
评论
更一般地,如果A(x/(exp(t*x)*cosh(t*x)))=exp(m*x)*cosh(m*x),
则A(x)=和{n>=0}m*(n*t+m)^(n-1)*cosh((n*t+m)*x)*x^n/n!。
配方奶粉
例如:A(x)=和{n>=0}(4*n+1)^(n-1)*cosh((4*n+1)*x)*x^n/n!。
例如:A(x)=1/2+1/2*exp(x-1/4*LambertW(-4*x*exp,4*x))。
对于n>0,a(n)=1/2*和{k=0..n}(4*k+1)^(n-1)*二项式(n,k)。
通用公式:1/2+1/2*Sum_{k>=0}(4*k+1)^(k-1)*x^k/(1-(4*k+1)*x)^。(结束)
例子
例如:A(x)=1+x+10*x^2/2!+244*x^3/3!+9288*x^4/4!+483216*x^5/5!+。。。
哪里
A(x)=余弦(x)+5^0*余弦(5*x)*x+9^1*余弦13^2*cosh(13*x)*x^3/3!+17^3*cosh(17*x)*x^4/4!+21^4*cosh(21*x)*x^5/5!+。。。
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n),R=serreverse(X/(exp(4*X)*cosh(4*X)));Egf=exp(R)*coph(R);n!*polcoff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
(PARI)/*从LambertW恒等式导出的公式:*/
{a(n)=局部(Egf=1,X=X+X*O(X^n));Egf=和(k=0,n,(4*k+1)^(k-1)*cosh((4*k+1)*X)*X^k/k!);n!*polcoeff(Egf,n)}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
交叉参考
囊性纤维变性。A201595型,A218300型,A218301型,A218302型,A218303型,A218304型,A218305型,A218306型,A218308型,A218309型,A218310型.
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