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A007664号

Reve难题：根据Frame-Stewart算法，用4个钉子和n个圆盘解决河内之塔难题所需的移动次数。
（原M2449）

+10
13

0, 1, 3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 161, 193, 225, 257, 289, 321, 385, 449, 513, 577, 641, 705, 769, 897, 1025, 1153, 1281, 1409, 1537, 1665, 1793, 2049, 2305, 2561, 2817, 3073, 3329, 3585, 3841, 4097, 4609, 5121, 5633

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

Frame-Stewart算法将首先将k个磁盘移动到中间挂接所需的移动次数a（n）最小化（需要a（k）个移动），然后将剩余的n-k个磁盘移到目标挂接，而不接触k个最小的磁盘（需要2^（n-k）-1个移动）并最终将k个较小的磁盘移动到目标。

这导致给定的递归公式a（n）=min{…}。因此，第一个差异的顺序是137688英镑= (1,2,2,4,4,4,...) = 2^A003056号（n），进而给出a（n）的显式公式，作为137688英镑.

“多年来，许多其他人都重新发现了这种算法[忽略了一些参考文献]；其中许多人未能推导出参数i的正确值，大多数人错误地认为他们实际上已经证明了最佳性，几乎没有人对Frame和Stewart的工作有任何新的贡献”。[斯托克迈耶]

当n=2，3，4，6，8，11，15，15+4=19，19+5=24，24+6=30，30+7=37，37+8=45-马克斯·阿列克塞耶夫，2008年2月6日

Frame-Stewart算法确实给出了最佳解决方案，即四桩情况下的最小可能移动次数[Bousch，2014]-安德烈·扎博洛茨基2017年9月18日

参考文献

A.Brousseau，《有更多木桩的河内塔》，J.娱乐数学。，8 (1975-1976), 169-176.

Paul Cull和E.F.Ecklund，《关于河内的塔和河内问题的广义塔》。第十三届东南组合学、图论和计算会议论文集（佛罗里达州博卡拉顿，1982年）。恭喜。数字。35 (1982), 229-238. MR0725883（85a:68059）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

D.伍德，梵天塔和河内重游，J.娱乐数学。，14 (1981), 17-24.

链接

Gheorghe Coserea，n=0..10012时的n，a（n）表（M.F.Hasler的前1001个术语）

S.Alejandre，河内塔楼传说.

J.-P.Allouche，关于河内环形塔的注释，理论。计算。科学。，123 (1994), 3-7.

T.Bousch，河内之旅，公牛。贝尔格。数学。Soc.Simon Stevin 21（2014）895-912。

A.Brousseau，有更多木桩的河内塔《休闲数学》8.3（1975-6），169-176。（带注释的扫描副本）

A.M.Hinz，四桩河内塔的迭代算法《计算》，1989年6月，第42卷，第2-3期，第133-140页。

A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学,Birkhä用户2013

B.休斯顿和H.Masum，河内四柱塔探索.[纸张]

B.休斯顿和H.Masum，河内四柱塔探索.[网站]

S.Klavzar等人。，Hanoi图和一些经典数.

S.Klavzar和U.Milutinovic，Frame-Stewart数的简单显式公式.

S.Klavzar、U.Milutinovic和C.Petr，Hanoi问题中多段塔的Frame-Stewart算法，离散应用。数学。120, 1-3 (2002), 141 - 157.

多伦多大学的Mathnet，河内问题的推广.

理查德·科尔夫（Richard E.Korf）和阿里尔·费尔纳（Ariel Felner），启发式搜索的最新进展：以河内问题的四杆塔为例IJCAI 2007:2324-2329。

B.M.Stewart，高级问题3918阿默尔。数学。月刊，46（1939），363。

B.M.Stewart和J.S.Frame，问题3918的解决方案阿默尔。数学。月刊，48（1941），217-219。

P.Stockmeyer，河内难题四柱塔的变奏《国会数值102》（1994年），第3-12页。[有大量参考书目]

埃里克·魏斯坦的数学世界，河內之塔.

珍妮斯·埃罗夫尼克，Hanoi图塔的自相似性及Frame-Stewart猜想的证明，arXiv:1601.04298[math.CO]，2016年。

与河内塔楼相关的序列索引条目

配方奶粉

a（n）=最小值{2a（k）+2^（n-k）-1；k<n}，总是奇数-M.F.哈斯勒，2008年2月6日

a（n）=和{i=0..n-1}2^A003056号（i） -丹尼尔·帕里斯2003年5月9日

a（n）=1+（n+A003056号（n） -1个-A003056号（n）*(A003056号（n） +1）/2）*2^A003056号（n） ●●●●-丹尼尔·帕里斯2001年2月6日

a（n）=1+（n-1-A003056号（n）*(A003056号（n） -1）/2）*2^A003056号（n） ●●●●-丹尼尔·帕里斯2007年7月7日

MAPLE公司

A007664号：=proc（n）选项记忆；最小值（seq（2*A007664号（k） +2^（n-k）-1，k=0...n-1））结束；A007664号(0):=0; #M.F.哈斯勒，2008年2月6日

A007664号：=n->1+（n-1-A003056号（n）*(A003056号（n） -1）/2）*2^A003056号（n）；A003056号：=n->圆形（sqrt（2*n+2））-1#M.F.哈斯勒，2008年2月6日

数学

a[n_]：=a[n]=最小值[表[2*a[k]+2^（n-k）-1，{k，0，n-1}]]；a[0]=0；表[a[n]，{n，0，48}](*Jean-François Alcover公司，2011年12月6日，之后M.F.哈斯勒*)

连接[{0}，累加[2^扁平[Table[PadRight[{}，n+1，n]，{n，0，12}]](*哈维·P·戴尔2021年7月3日*）

黄体脂酮素

（PARI）A007664号（n） =（n-1-（n=A003056号（n））*（n-1）/2）*2^n+1

A003056号（n） =（平方码（2*n+2）-.5）\1\\M.F.哈斯勒，2008年2月6日

（PARI）打印_7664（n，s=0，t=1，c=1，d=1）=而（n-->=0，打印1（s+=t，“，”）；c——下一个；c=d++；t≤1）

（PARI）A007664号（n，c=1，d=1，t=1）=和（i=c，n，i>c&（t<<=1）&c+=d++；t）\\M.F.哈斯勒，2008年2月6日

（哈斯克尔）

a007664=总和。地图（a000079.a003056）。enumFromTo 0。减去1

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年2月17日

（Python）

从数学导入isqrt

定义A007664号（n）：返回（1<<（r:=（k:=isqrt（m:=n+1<<1））+int（m>=k*（k+1）+1）-1））*（n-1-（r*（r-1）>>1））+1#柴华武2022年10月17日

交叉参考

囊性纤维变性。A007665号,A182058号,A003056号,A000225号（模拟3个桩），137688英镑（第一个区别）。

关键词

非n,美好的

作者

N.J.A.斯隆,米拉·伯恩斯坦和罗伯特·威尔逊v

扩展

编辑、更正和扩展人M.F.哈斯勒，2008年2月6日

进一步编辑N.J.A.斯隆2008年2月8日

通过引用更新了上限马克斯·阿列克塞耶夫2008年11月23日

状态

经核准的

A007665号

有5个木桩的河内塔。
（原名M2414）

+10
5

1, 3, 5, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79, 87, 95, 103, 111, 127, 143, 159, 175, 191, 207, 223, 239, 255, 271, 287, 303, 319, 335, 351, 383, 415, 447, 479, 511, 543, 575, 607, 639, 671, 703, 735, 767, 799

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

参考文献

A.Brousseau，《有更多木桩的河内塔》，J.娱乐数学。，8 (1975-1976), 169-176.

保罗·卡尔（Paul Cull）；Ecklund，E.F.关于河内塔和广义河内塔问题。第十三届东南组合学、图论和计算会议论文集（佛罗里达州博卡拉顿，1982年）。恭喜。数字。35 (1982), 229--238. MR0725883（85a:68059）-N.J.A.斯隆2012年4月8日

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

D.伍德，梵天塔和河内重游，J.娱乐数学。，14 (1981), 17-24.

链接

n=1..49时的n，a（n）表。

S.Alejandre，河内塔楼传说

J.-P.Allouche，关于河内环形塔的注释，理论。计算。科学。，123 (1994), 3-7.

A.Brousseau，有更多木桩的河内塔《休闲数学》8.3（1975-6），169-176。（带注释的扫描副本）

埃里克·魏斯坦的数学世界，河內之塔

与河内塔楼相关的序列索引条目

配方奶粉

a（n）=-1+（1+A056556号（n）*(A056556号（n） -1）/2+n-A056556号（n）*(A056556号（n） +1）*(A056556号（n） +2）/6）*2^A056556号（n） ●●●●-丹尼尔·帕里斯2001年2月6日

数学

术语=100；

A056556号=表[表[m，{（m+1）（m+2）/2}]，{m，0，（6项）^（1/3）//天花板}]//平铺；

a[n_]：=带有[{t=A056556号[n+1]}，-1+（1+t（t-1）/2+n-t（t+1）（t+2）/6）*2^t]；

数组[a，terms](*Jean-François Alcover公司2019年2月28日*）

黄体脂酮素

（PARI）m=1；n=1；而（n<maxn，对于（c=1，（m+1）*（m+2）/2，打印1（-1+（1+m*（m-1）/2+n-m*（m+1；n++）；m++）\\K.Spage公司2009年10月23日

交叉参考

囊性纤维变性。A007664号.A182058号,A056556号.

关键词

非n

作者

N.J.A.斯隆,米拉·伯恩斯坦,罗伯特·威尔逊v

状态

经核准的

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