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a（n）=（（3*n+1）*2^n-（-1）^n）/9。
+10
27
0, 1, 3, 9, 23, 57, 135, 313, 711, 1593, 3527, 7737, 16839, 36409, 78279, 167481, 356807, 757305, 1601991, 3378745, 7107015, 14913081, 31224263, 65244729, 136081863, 283348537, 589066695, 1222872633, 2535223751, 5249404473, 10856722887, 22429273657, 46290203079
评论
n-2成分中n部分上升（下降）的数量。
这个序列与Collatz问题有关。我们考虑数组T（i，j），其中第i行给出了i的奇偶轨迹，例如，对于i=6，无限轨迹是6->3->10->5->16->8->4->2->1->4->4->1->4。。。T（6，j）=[0,1,0,0,1,0,10,0,0，0,1,0，1，…，1,0,0.1，…]。现在，我们考虑每个数组T（i，j）的数字1的和，其中
a（1）=T（i，j）的数字“1”之和，i=1..2^1和j=1；
a（2）=T（i，j）的数字“1”之和，i=1..2^2，j=1..2；
a（3）=T（i，j）的数字“1”之和，i=1..2^3，j=1..3；
数字“0”等于A113861号（n） =n*2^n-a（n），因为n和2^n是每个数组的维数。
一个重要的结果是比率r=A113861号（n）/A045883号（n） 当n趋于无穷大时，趋向2。换句话说，当数组趋于无穷大时，比率r=（2的除法数）/（3的乘法数）趋于2，即使存在发散的轨迹。这就是问题所在！对于每个可能的发散无限轨迹，即使全局比率r为2，r也小于2。
结论：
1.对于具有收敛轨迹T（n，k）的每个数n，k＝1..无穷大，或者对于阵列T（i，j）的每一行，比率r趋向于2（证明很容易，因为轨迹从某个索引1001001001…变成周期性的）。
2.对于每个维数为n X 2^n的数组，射电比r趋向于2。
3.如果存在一个数n，使得轨迹发散，那么该轨迹是随机的，并且r趋向于一个实x，使得1<=r<=x<2。
4.为了从这种考虑中证明Collatz问题（如果可能的话），有必要证明无限数组T（i，j）的无限行（或多行）的比率<2与该数组的精确比率r=2不兼容。（结束）
a（n）是2^n阶维正则广义递归循环图（俗称乘法循环图）的距离谱半径-约翰·拉斐尔·安塔兰2020年9月25日
链接
M.Archibald、A.Blecher、A.Knopfmacher、M.E.Mays、，整数合成中的反转和奇偶性，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.4.1条。
F.K.Hwang，小组测试游戏的三个版本，SIAM J.代数离散方法5（1984），第2期，145--153。MR0745434（85天：90120）。见第151页，f（n）（但除以2）-N.J.A.斯隆2014年4月13日
Peter J.Larcombe和Eric J.Fennessey，关于一个标度平衡幂积递推，斐波纳契夸脱。54（2016），第3期，242-246。见第244页备注2.2。
Peter J.Larcombe、Julius Fergy T.Rabago、Eric J.Fennessey、，关于由几何平均标度序列项导出的两个导数序列，《巴勒斯坦数学杂志》（2018）第7（2）卷，397-405。
配方奶粉
G.f.:x/（（1+x）*（1-2*x）^2）。
a（n）=3*a（n-1）-4*a（n-3）。
a（n）=f（n）*2^n，其中f（n）是基于fuse（a，b）=（a+b+1）/2的有理斐波那契型序列，其中f（0）=0，f（1）=1/2，f（n）=fuse（f（n-1），f（n-2）），对于n>=2。有关保险丝（a，b），请参阅下面的Jeff Erickson链接A188545号用归纳法证明f（n）=（3*n+1-（-1）^n/2^n）/9，n>=0。
a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+2^（n-1”），n>=0，输入a（-2）=1/4，a（-1）=0。另请参见A127984号.（结束）
数学
nn=31；a=x^2（1-x）/（1-x-2x^2）/（1-2）；b=x^2/（1-2x）^2；删除[系数列表[系列[（b-a）/2，{x，0，nn}]，x]，2](*杰弗里·克雷策2014年3月21日*）
系数列表[级数[x/（（1+x）（1-2x）^2），{x，0，33}]，x](*文森佐·利班迪2017年6月15日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<-1，0，（（3*n+1）*2^n-（-1）^n）/9）}；
（岩浆）[（3*n+1）*2^n-（-1）^n）/9:n in[0..35]]//文森佐·利班迪2017年6月15日
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 16, 20, 21, 22, 24, 32, 40, 42, 43, 44, 48, 64, 80, 84, 85, 86, 88, 96, 128, 160, 168, 170, 171, 172, 176, 192, 256, 320, 336, 340, 341, 342, 344, 352, 384, 512, 640, 672, 680, 682, 683, 684, 688, 704, 768, 1024, 1280, 1344, 1360
例子
三角形开始
1;
2, 3;
4, 5, 6;
8, 10, 11, 12;
16, 20, 21, 22, 24;
雅各布斯塔尔序列及其在连续行中的差异开始于：
0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, ...
1, 0, 2, 2, 6, 10, 22, 42, 86, ...
-1, 2, 0, 4, 4, 12, 20, 44, 84, ...
3, -2, 4, 0, 8, 8, 24, 40, 88, ...
-5, 6, -4, 8, 0, 16, 16, 48, 80, ...
11, -10, 12, -8, 16, 0, 32, 32, 96, ...
-21, 22, -20, 24, -16, 32, 0, 64, 64, ...
43, -42, 44, -40, 48, -32, 64, 0, 128, ...
例如，值+-7、+-9、+-13在这里缺失，因此7、9和13不在三角形中。
数学
maxTerm=384；固定点[（nMax++；打印[“nMax=”，nMax]；jj=表格[（2^n-（-1）^n）/3，{n，0，nMax}]；表[Differences[jj，n]，{n，0，nMax}]//Flatten//Abs//Union//Select[#，0<#<=maxTerm&]&）&，nMax=5](*Jean-François Alcover公司2014年12月16日*）
a（n）=（（n+1）*3*2^（n+1）+29*2^n+（-1）^n）/9。
+10
1
4, 9, 21, 47, 105, 231, 505, 1095, 2361, 5063, 10809, 22983, 48697, 102855, 216633, 455111, 953913, 1995207, 4165177, 8679879, 18058809, 37515719, 77827641, 161247687, 333680185, 689729991, 1424199225, 2937876935, 6054710841, 12467335623, 25650499129, 52732654023, 108328619577
评论
a（n）的二进制展开式中的比率（一个数）/（零个数）>1/2，所有n>0的比率<=5，这是因为9除在一些二进制数字后添加了一个重复模式111000。
这个序列的“部分二项式变换”（见公式部分）除了2和1之外没有其他常数，尽管它的封闭形式表达式看起来更复杂。如果我们用变量x:D^x*f（x）替换导数的阶数，则此变换与Grünwald-Letnikov分数导数有着深刻的联系。
配方奶粉
a（n）=圆形（（（n+1）*3*2^（n+1，+29*2^n）/9）。
a（n）=2^（n+2）+n*2^n-A045883号（n） =2^（n+2）+n*2^n-圆形（（3*n+1）*2^ n）/9）。
分为两部分的部分二项式变换：
（部分是指差异表a（0）、a（2）-a（1）中的对角线。这是部分的，因为只有一条对角线不是可逆变换。）
A001787号（n+2）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*a（2*n-k）
=（n+2）*2^（n+1）。
A052951号（n+1）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*（a（1+2*n-k）-a（2*n-k
=（n+2）*2^（n+1）+2^n。
逆变换：
a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）*（k+2）*2^（k+1）
+和{k=0..floor（（n-1）/2）}二项式（n-k-1，k）*（（k+2）*2^（k+1）+2^k）。
通用格式：（4-3*x-6*x^2）/（（1+x）*（1-2*x）^2）。
当n>2时，a（n）=3*a（n-1）-4*a（n-3）。（结束）
数学
数组[（（#+1）*3*2^（#+1”）+29*2^#+（-1）^#）/9&，33，0](*迈克尔·德弗利格2021年10月19日*）
线性递归[{3，0，-4}，{4，9，21}，40](*哈维·P·戴尔2023年8月12日*）
a（n）=1+（（6*n-1）*2^n+（-1）^n）/3。
+10
0
1, 4, 16, 46, 124, 310, 748, 1750, 4012, 9046, 20140, 44374, 96940, 210262, 453292, 972118, 2075308, 4412758, 9349804, 19748182, 41593516, 87381334, 183151276, 383079766, 799713964, 1666536790, 3467291308, 7203018070, 14942907052, 30959555926, 64066595500, 132428158294
配方奶粉
通用系数：1/（1-x）+1/（3*（1+x））-1/（3x（1-2*x））+8*x/（1-2**）^2。[理查德·乔利特2010年4月4日]
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=1+（（6*n-1）*2^n+（-1）^n）/3\\米歇尔·马库斯2019年2月5日
作者
Fernando J.Ballesteros（费尔南多·巴列斯特罗斯），2010年3月30日
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