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严格意义上的非顺向数:n在任何具有2<=b<=n-2的基数b中都不是回文。
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0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, 1019, 1049, 1061, 1187, 1213, 1237, 1367, 1433, 1439, 1447, 1459
评论
序列中所有大于6的元素都是素数(ab=a(b-1)+a或a ^2=(a-1)^2+2(a-1”+1)。梅森素数和费马素数不在序列中。
附加注释:如果您可以将数字分解为a*b,那么它是以b-1为基数的回文,其中b是两个因子中较大的一个。(如果数字是一个正方形,那么它可以是一个以基数(sqrt(n)-1)为单位的回文。)。当a=b-1时,a*b形式不起作用,但当然没有两个连续的素数(除了2,3,这解释了早期的特殊情况),所以如果你能将一个数字分解为a*(a-1),那么也存在另一个分解Michael B Greenwald(mbgreen(AT)central.cis.upenn.edu),2002年1月1日
请注意,对于范围sqrt(p)<b<p-1,没有素数p是以b为底的回文。因此,要找到非顺向素数,我们只需要检查基底(sqrt(p)),这大大减少了所需的计算工作量-T.D.诺伊2008年3月1日
在任何具有n/2<=b<=n-2的基b中,没有数字n是回文的,因此这也是在任何具有2<=b>=n/2的基b上不回文的数字。
顺序A047811号盖伊的论文中提到了(这个序列没有0、1、2、3),他在其中报告了未解决的问题。这个问题来自马里奥·博雷利和塞西尔·马斯特。关于这些数字,本文提出了两个问题:(1)回文素数或非回文素数能用其他方法刻画吗?(2)回文素数集的基数或密度是多少?非泛谱素数集合-T.D.诺伊2011年4月18日
对于A016038号,f(n)=1表示所有n。只有数字n=0、1、4和6不是素数。
对于f(n)=2,所有项都是素数或半素数(素数ω<=2(A037143号))除了8和12;
对于f(n)=3,所有项至多为3-几乎素数(素数ω<=3(A037144号)),但16、32、81和625除外;
对于f(n)=4,除64和243外,所有项至多为4几乎素数;
对于f(n)=5,除128、256和729外,所有项最多为5个几乎素数;
对于f(n)=6,除2187个项外,所有项最多为6个几乎素数;
对于f(n)=7,除512、2048和19683外,所有项最多为7个几乎素数;等(结束)
参考文献
保罗·吉南德(Paul Guinand),《严格的非流域数据》,未发表注释,1996年。
链接
约翰·林德曼,Perl程序[使用命令:HASNOPALINS=1 palin.pl]
数学
回文Q[n_,base_]:=起始数字[Reverse[IntegerDigits[n,base]],base]==n;回文基[n_]:=选择[Range[2,n-2],回文Q[n,#]&];严格回文Q[n_]:=回文基[n]=={};选择[Range[150],StrictlyPalindomicQ](*赫尔曼·比克斯玛2005年7月16日*)
回文基[n_]:=模块[{p},表[p=整数位数[n,b];如果[p==反向[p],{b,p},序列@@{}],{b,2,n-2}]];lst={0,1,4,6};Do[If[Length@palindromicBases@素数@n==0,附加到[lst,素数@n]],{n,10000}];第一次(*罗伯特·威尔逊v2008年3月8日*)
选择[Range@1500,Function[n,NoneTrue[Range[2,n-2],PalindromeQ@IntegerDigits[n,#]&]](*迈克尔·德弗利格2017年12月24日*)
黄体脂酮素
(PARI)是(n)=!对于(b=2,n\2,Vecrev(d=数字(n,b))==d&&返回)\\M.F.哈斯勒2015年9月8日
(Python)
从itertools导入计数,islice
从sympy.theory.factor导入数字
定义A016038号_gen(startvalue=0):#术语生成器>=startvalue
返回过滤器(lambda n:全部((s:=数字(n,b)[1:])[:(t:=长度(s)+1>>1)]=s[:-t-1:-1]对于范围(2,n-1)中的b,计数(最大值(起始值,0))
在任何基b中都不回文的数字n>=4,2<=b<=n/2。
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4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, 1019, 1049, 1061, 1187, 1213, 1237, 1367, 1433, 1439, 1447, 1459
评论
顺序A016038号最多四个附加项相同:0、1、2、3;有关更多信息,请参阅此处。
注意,对于sqrt(p)<b<p-1的范围,没有素数p在基底b中是回文的。因此,要找到非顺向素数,我们只需要检查基底(sqrt(p)),这大大减少了所需的计算工作量-T.D.诺伊2008年3月1日
理查德·盖伊(Richard Guy)在论文中提到了这个序列,他在其中报告了未解决的问题。这个问题来自马里奥·博雷利和塞西尔·马斯特。关于这些数字,本文提出了两个问题:(1)回文素数或非回文素数能用其他方法刻画吗?(2)回文素数集的基数或密度是多少?非泛谱素数集合-T.D.诺伊2011年4月17日
数学
选择[Range[4,1500],And@@(#!=Reverse[#]&/@Table[Integer Digits[#,b],{b,2,#/2}])&](*哈维·P·戴尔,2013年5月22日*)
黄体脂酮素
(PARI)是(n)=!对于(b=2,n\2,Vecrev(d=数字(n,b))==d&&返回)&&n>3\\M.F.哈斯勒2015年9月8日
9, 9, 8, 8, 7, 7, 5, 5, 4, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 0, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 1, 3, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 3
例子
a(121)=4,因为121 _10、171 _8、232 _7和11111 _3是回文。
数学
表[Count[Table[IntegerDigits[n,b],{b,2,10}],_?(#==反转[#]&)],{n,0,90}](*哈维·P·戴尔2012年8月18日*)
黄体脂酮素
(Python)
从sympy.theory.digits导入数字
定义(n,b):
digs=数字(n,b)[1:]
返回digs==digs[::-1]
定义a(n):返回和(范围(2,11)中b的ispal(n,b))
(PARI)a(n)=总和(b=2,10,my(d=数字(n,b));d==Vecrev(d))\\米歇尔·马库斯2021年9月9日
11, 12, 13, 14, 22, 23, 25, 29, 30, 32, 34, 35, 37, 38, 41, 42, 43, 44, 48, 49, 54, 56, 59, 60, 61, 62, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 74, 77, 81, 83, 86, 89, 97, 101, 112, 113, 117, 118, 123, 124, 125, 126, 128, 131, 136, 138, 145, 146, 148, 153, 156, 157, 161
数学
n=-1;t={};当[长度[t]<100时,n++;如果[Count[Table[s=IntegerDigits[n,m];s==反向[s],{m,2,10}],真]==1,附加到[t,n]]];t吨
在三个碱基b中精确地对n个回文进行编号,2<=b<=10。
+10 8
9, 10, 21, 40, 55, 63, 65, 80, 85, 100, 130, 154, 164, 178, 191, 195, 203, 235, 242, 255, 257, 273, 282, 292, 300, 325, 328, 341, 400, 455, 585, 656, 819, 910, 2709, 4095, 4097, 4161, 6643, 8200, 12291, 12483, 14762, 20485, 20805, 21525, 21845, 32152, 53235
评论
在前1234个术语中,84个可能的三元组中只有28个出现。每个三重终究会发生吗-T.D.诺伊2012年8月17日
例子
10在碱基3、4和9中是回文的。
273在序列中是因为100010001_2=10101_3=10101_ 4=1043_5=1133_6=540_7=421_8=333_9=273_10,其中三个碱基,即2、4&9,产生回文-乔瓦尼·雷斯塔和罗伯特·威尔逊v2015年7月17日
数学
n=-1;t={};当[长度[t]<100时,n++;如果[Count[Table[s=IntegerDigits[n,m];s==反向[s],{m,2,10}],真]==3,附加到[t,n]]];t吨
10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89
链接
柴华武,互补序列的算法,arXiv:2409.05844[math.NT],2024。
MAPLE公司
isA139819:=进程(n)
换算(n,基数,10);
转换(%,设置);
简化(nops(%)>1);
黄体脂酮素
(哈斯克尔)a139819 n=a139819_列表!!(n-1)
a139819_list=过滤器((==0)。a202022)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月9日
(Python)
m、 k=n,n+9*((l:=len(str(n)))-1)+9*n//(10**l-1)
而m!=克:
m、 k=k,n+9*((l:=len(str(k)))-1)+9*k//(10**l-1)
15, 16, 17, 18, 20, 24, 26, 27, 28, 31, 33, 36, 45, 46, 50, 51, 52, 57, 67, 73, 78, 82, 88, 91, 92, 93, 98, 99, 104, 105, 107, 109, 111, 114, 119, 127, 129, 135, 141, 142, 150, 151, 160, 170, 171, 173, 182, 185, 186, 200, 209, 212, 215, 219, 227, 246, 252
评论
每对碱基都会出现。数字a(732)=1422773的对(2,3)是最后出现的。注意1422773=101011011010110110101(2)=220002120022(3)。
链接
Attila Bérczes和Volker Ziegler,关于同时回文,arXiv 1403.0787[math.NT],2014年。
例子
15在碱基2和4中是回文的:15=11111_2=33_4。
数学
n=-1;t={};当[长度[t]<100时,n++;如果[Count[Table[s=IntegerDigits[n,m];s==反向[s],{m,2,10}],真]==2,附加到[t,n]]];t吨
黄体脂酮素
(PARI)pal(v)=v==Vecrev(v)
将n个回文精确地用四个碱基b表示,2<=b<=10。
+10 6
评论
最多搜索10^18。里克·里根在他的网页末尾提到了这四个数字,也是比尔·贝克曼发现的-T.D.诺伊2012年8月18日
例子
8在碱基3、7、9和10中是回文的。
121在碱基3、7、8和10中是回文的。
373在碱基4、7、9和10中是回文的。
786435在碱基2、4、7和8中是回文的。
数学
n=-1;t={};当[长度[t]<4时,n++;如果[Count[Table[s=IntegerDigits[n,m];s==反向[s],{m,2,10}],真]==4,附加到[t,n]]];t吨
以n个碱基b回文的最小数k>9,其中2<=b<=10。
+10 0
评论
没有其他条款<10^12。最终的目标是找到(可能是一个非常大的)在所有9个碱基2到10中都是回文的k。
例子
19在碱基2到10中不是回文。
11是以10为底的回文。
15在碱基2和4中是回文的。
10在碱基3、4和9中是回文的。
121在碱基3、7、8和10中是回文的。
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