A371761-OEIS公司

A371761飞机

反对偶阅读数组：n个女孩和k个男孩以女孩开始，以男孩结束的游行次数。

1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 5, 1, 0, 0, 1, 13, 13, 1, 0, 0, 1, 29, 73, 29, 1, 0, 0, 1, 61, 301, 301, 61, 1, 0, 0, 1, 125, 1081, 2069, 1081, 125, 1, 0, 0, 1, 253, 3613, 11581, 11581, 3613, 253, 1, 0, 0, 1, 509, 11593, 57749, 95401, 57749, 11593, 509, 1, 0 (列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,13`
	评论	`这个名字来源于唐纳德·克努特的一个命题，他描述了“男女游行”的设置，如下所示：“有m个女孩{g_1，…，g_m}和n个男孩{b_1，..，b_n}，其中g_i小于g_i+1}，b_j小于b_{j+1}。但我们对g_i和b_j的相对年龄一无所知。他们能以多少种方式排成一列，这样就不会有女孩前面是大女孩，也不会有男孩前面是大男孩？“[我们的符号：A<-D，n<-m，k<-n]。` `在A344920型，Worpitzky变换被定义为序列到序列的变换WT:=a->B，其中B（n）=Sum_{k=0..n}A163626号（n，k）*A（k）。（如果A（n）=1/（n+1），则B（n）是伯努利数（B（1）=1/2）。）数组的行是幂次到符号（-1）^k的Worpitzky变换。` `数组行是通过将Akiyama-Tanigawa算法应用于powers递归生成的（参见下面的Python实现）。这样，数组就变成了A004248号当应用于A004248号。这使得数组与A344499型，它以相同的方式生成，但应用于A004248号。` `推测：第n+1行是表中的第2^n行A136301号，其中给出了概率解释（参见下文Parsonnet论文的链接）。`
	链接	`彼得·卢施尼，反对偶0..140的n，a（n）表。` `贝塔·贝尼，费勒图的布尔数的双射《图形与组合数学》（2022）第38卷，第10期。` `Beáta Bényi和Péter Hajnal，多贝努利族的组合性质，arXiv预印本arXiv:1602.08684[math.CO]，2016。参见D_{n，k}。` `唐·克努特，游行和poly-Bernoulli bijections2024年3月31日。见（16.2）。` `Brian Parsonnet，失范概率。`
	配方奶粉	`A（n，k）=k！[z^k]（n！[w^n]1/（exp（w）+exp（z）-exp（w+z）））。` `A（n，k）=k！[w^k]（和{j=0..n}A075263号（n，n-j）exp（jw））。` `A（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（j-k）箍筋2（k+1，j+1）j！j^n号。` `A（n，k）=总和{j=0..min（n，k）}（j！）^2箍筋2（n，j）箍筋1（k，j）。` `A（n，k）=和{j=0..n}（-1）^（n-j）A028246号（n，j）j^k；这是明确的：` `A（n，k）=求和{j=0..n}求和{m=0..n{二项式（n-m，n-j）Eulerian1（n，m）j^k（-1）^（n-j），其中Eulerian 1=173018年。` `对于n>0，A（n，k）=Sum_{j=0..k}二项式（k+[j>0]，j+1）A（n-1，k-j）。` `对于n，k>=1，A（n，k）=Sum_{j=1..n}二项（n，j）（A（n-j，k-1）+A（n-j+1，k-1））。` `行n（>=1）满足线性递归：` `A（n，k）=-总和{j=1..n}箍筋1（n+1，n+1-j）A（n、k-j），如果k>n。` `A（n，k）=[x^k]（和{j=0..n}A371762飞机（n，j）x^j）/（总和{j=0..n}箍筋1（n+1，n+1-j）x^j）。` `A（n，k）=A（k，n）。（根据二元指数g.f.的对称性）` `设T（n，k）=A（n-k，k）和G（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^kT（n、k）是三角形的交替行和。然后G（n）=（n+2）Euler（n+1，1）和移位后的Genocchi数G（n-A226158型（n+2）。`
	例子	`阵列启动：` `[0] 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...` `[1] 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...` `[2] 0, 1, 5, 13, 29, 61, 125, 253, 509, ...` `[3] 0, 1, 13, 73, 301, 1081, 3613, 11593, 36301, ...` `[4] 0, 1, 29, 301, 2069, 11581, 57749, 268381, 1191989, ...` `[5] 0, 1, 61, 1081, 11581, 95401, 673261, 4306681, 25794781, ...` `[6] 0, 1, 125, 3613, 57749, 673261, 6487445, 55213453, 431525429, ...` `[7] 0, 1, 253, 11593, 268381, 4306681, 55213453, 610093513, 6077248381, ...` `。` `视为三角形T（n，k）=A（n-k，k）：` `[0] 1;` `[1] 0, 0;` `[2] 0, 1, 0;` `[3] 0, 1, 1, 0;` `[4] 0, 1, 5, 1, 0;` `[5] 0, 1, 13, 13, 1, 0;` `[6] 0, 1, 29, 73, 29, 1, 0;` `[7] 0, 1, 61, 301, 301, 61, 1, 0;` `。` `A（n，k）作为权力总和：` `A（2，k）=-3+22^k；` `A（3，k）=7-122^k+63^k；` `A（4，k）=-15+502^k-603^k+244^k；` `A（5，k）=31-1802^k+3903^k-3604^k+1205^k；` `A（6，k）=-63+6022^k-21003^k+33604^k-25205^k+7206^k；` `A（7，k）=127-19322^k+102063^k-252004^k+319205^k-201606^k+5040*7^k；`
	MAPLE公司	`egf：=1/（exp（w）+exp（z）-exp（w+z））：serw：=n->系列（egf，w，n+1）：` `#返回长度为len（>0）的第n行（>=0）：` `R:=n->len->local k；` `序列（k！coeff（序列（n！coff（serw（n），w，n），z，len），z，k），k=0..len-1）：` `序列（l打印（R（n）（9）），n=0..7）；` `#使用Stirling2显式：` `A:=（n，k）->局部j；加上（j！^2箍筋2（n，j）搅拌筋2（k，j），j=0.分钟（n，k））：seq（lprint（seq（A（n，k），k=0..8）），n=0..7）；` `#使用无符号Worpitzky变换。` `WT:=（a，len）->局部n，k；` `seq（加上（（-1）^（n-k）k箍筋2（n+1，k+1）a（k），k=0..n），n=0..len-1）：` `Arow：=n->WT（x->x^n，8）：seq（lprint（Arow（n）），n=0..8）；` `#两次复发：` `A:=proc（n，k）选项记忆；局部j；如果k=0，则返回k^n-fi；` `加法（二项式（n，j）（A（n-j，k-1）+A（n-j+1，k-1` `A:=proc（n，k）选项记忆；局部j；如果n=0，则0^k其他` 加法（二项式（k+`if`（j=0，0，1），j+1）*A（n-1，k-j），j=0..k）fi结束：
	数学	`（使用无符号Worpitzky变换。）` `取消保护[电源]；功率[0,0]=1；` `W[n_，k_]：=（-1）^（n-k）k！箍筋S2[n+1，k+1]；` `WT[a_，len_]：=表[Sum[W[n，k]a[k]，{k，0，n}]，{n，0，len-1}]；` `A371761行[n_，len_]：=WT[#^n&，len]；` `表[A371761行[n，9]，{n，0，8}]//矩阵形式` `（行n>=1线性递归：）` `RowByLRec[n_，len_]：=线性递归[Table[-StirlingS1[n+1，n+1-k]，{k，1，n}]，` `A371761行[n，n+1]，len]；表[RowByLRec[n，9]，{n，1，8}]//矩阵形式`
	黄体脂酮素	`（SageMath）` `定义A371761（n，k）：返回和（（-1）^（j-k）阶乘（j）stirling_number2（k+1，j+1）j^n对于范围（k+1）中的j）` `对于范围（9）中的n：打印([A371761飞机（n，k）对于范围（8）中的k）` `（Python）` `从functools导入缓存` `从二项式的数学导入梳` `@高速缓存` `定义A（n，k）：` `如果n==0：返回int（k==0）` `返回和（二项式（k+int（j>0），j+1）A（n-1，k-j）` `对于范围内的j（k+1））` `对于范围（8）中的n：打印（[A（n，k）对于范围（9）中的k）]` `（Python）` `#功率的Akiyama-Tanigawa算法生成行。` `定义ATPowList（n，len）：` `A=[0]长度` `R=[0]长度` `对于范围内的k（len）：` `R[k]=kn#将其更改为R[k]=（n+1）k生成A344499型。` `对于范围（k，0，-1）中的j：` `R[j-1]=j*（R[j]-R[j-1]）` `A[k]=R[0]` `返回A` `对于范围（8）中的n：打印（[n]，ATPowList（n，9））`
	交叉参考	`变体：A272644型。` `行包括：A344920型（第2行，签名），A006230美元（第3行）。` `三角形的行和（n>=2）：A297195型，交替行和：A226158型。` `数组对角线：A048144号。` `囊性纤维变性。A004248号,A075263号,A028246号,A173018型,A136301号,A371762飞机,A136126号（类似），A099594号,A344499型。` `上下文中的序列：A327581型 A098173号 A180977号A269129型 A320606型 A343016型` `相邻序列：A371758型 A371759型 A371760型A371762飞机 A371763飞机 A371764飞机`
	关键词	`非n,表,美好的`
	作者	`彼得·卢什尼2024年4月5日`
	状态	`经核准的`