A343125-OEIS公司

A343125型

三角形T（k，n）=（n+3）*（k-n）-4，k>=2，1<=n<=k-1，按行读取。

0, 4, 1, 8, 6, 2, 12, 11, 8, 3, 16, 16, 14, 10, 4, 20, 21, 20, 17, 12, 5, 24, 26, 26, 24, 20, 14, 6, 28, 31, 32, 31, 28, 23, 16, 7, 32, 36, 38, 38, 36, 32, 26, 18, 8, 36, 41, 44, 45, 44, 41, 36, 29, 20, 9, 40, 46, 50, 52, 52, 50, 46, 40, 32, 22, 10

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

2,2

如果k是奇数，则T（k，n）是偶数。

如果k>=6是偶数，则T（k，n）=T（k、n+1），对于n=k/2-2。

如果k>=7是奇数，则T（k，n）=T（k、n+2），对于n=（k-1）/2-2。

对于固定n，T（k，n）在k中是线性的。

T（k，j）将系数贡献给k广义斐波那契数F（k，j）的前n+1平方和的闭合公式=A092921号（k，j）。请参见A343138型F（k，j）的平方和。有关闭合公式，请参见“公式”部分。虽然其他序列出现在平方和闭合公式中的系数中，但它们本质上是线性的。arXiv链路中提到了所有系数序列。闭合公式用统一的证明方法推广了Schumacher（参见参考文献）在k=3和k=4情况下的结果（参见arXiv链接）。

参考文献

拉斐尔·舒马赫（Raphael Schumacher），《如何求Tetranacci数和斐波那契m步数的平方和》，《斐波那奇季刊》，57，（2019），168-175。

Raphael Schumacher，《涉及前n个Tribonacci数平方的和的显式公式》，Fibonacci Quarterly，58（2020），194-202。

链接

n，a（n）的表，n=2..67。

罗素·杰·亨德尔，平方和：证明恒等式族的方法，arXiv:2103.16756[math.NT]，2021。

校样维基，斐波那契数列的平方和

配方奶粉

设F（k，n）=A092921号（k，n），k-广义斐波那契数。设A（k，n）=A343138型（k，n）=Sum_{m=0..n}F（k，m）^2，第一个m+1k-广义斐波那契数之和。那么，对于k>=2，a（k，n）的闭合公式为：

A（k，n）=（1/（2*k-2））*（Sum_{j=0..k-2，m=j+1..k-1}2*（j+1）*（m-k+1）*F（k，n+j）*F（k，n+m））-（k-2）*F（k，n）^2-Sum_{j=1.k}（T（k，j）*F（k，n+j）^2）+（k-2））。

发件人G.C.格鲁贝尔2021年11月22日：（开始）

T（2*n-2，n）=A028557号（n-2），n>=2。

T（4*n-6，n）=2*A140672号（n-2），n>=2。（结束）

例子

三角形T（k，n）开始于：

k \n |1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

------+----------------------------------

2 | 0

3 | 4 1

4 | 8 6 2

5 | 12 11 8 3

6 | 16 16 14 10 4

7 | 20 21 20 17 12 5

8 | 24 26 26 24 20 14 6

9 | 28 31 32 31 28 23 16 7

10 | 32 36 38 38 36 32 26 18 8

11 | 36 41 44 45 44 41 36 29 20 9

12 | 40 46 50 52 52 50 46 40 32 22 10

以下是k=3,4的闭合公式，A（k，n）=Sum_{m=0..n}F（k，m）^2，F（k、n）=A092921号（k，n），k-广义斐波那契数，和A（k，n）=A343138型（k，n），F（k，n）的平方和。这些公式是从公式部分中的闭合公式导出的。当然，还可以进一步简化。对于k=2，T（2，1）=0，因此插图以k=3开始。

k|公式

--+--------------------------------------------------------

3|Sum_{m=0..n}F（3，m）^2=（1/4）*（2*F（3、n）*F（三，n+2）+4*F（三一，n+1）*F。

4|Sum_{m=0..n}F（3，m）^2=（1/6）*（-2*F（4，n）*F（4,n+1）+2*F（四，n）*F（4,1）*F 2）^2-T（4,3）*F（4，n+3）^2+2）。

MAPLE公司

T:=（k，n）->（n+3）*（k-n）-4：

seq（打印（seq（T（k，n），n=1..k-1）），k=2..12）#彼得·卢什尼2021年4月2日

数学

表[（n+3）（k-n）-4，{k，2，12}，{n，k-1}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2021年4月6日*）

黄体脂酮素

（PARI）T（k，n）=（n+3）*（k-n）-4

对于（k=2，12，对于（n=1，k-1，打印1（T（k，n），“，”））