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| A309951型 |
| 不规则三角形数组，按行读取：T（n，k）是多项式系数（n_1+n_2+n_3+…）乘积的和/（n_1！*n_2！*n_3！*…）一次取k，其中（n_1,n_2，n_3，…）遍历n（n>=0，0<=k）的所有整数分区<=A000041号（n） ）。 |
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12
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1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 10, 27, 18, 1, 47, 718, 4416, 10656, 6912, 1, 246, 20545, 751800, 12911500, 100380000, 304200000, 216000000, 1, 1602, 929171, 260888070, 39883405500, 3492052425000, 177328940580000, 5153150631600000, 82577533320000000, 669410956800000000, 2224399449600000000, 1632586752000000000, 1, 11481
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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设R（m，n）：=R（m、n，t=0）=A212855型（m，n）对于m，n>=1，其中R（m，n，t）=Abramson和Promislow（1978年，第248页）等式（6）的LHS。
设P_n是整数a_i>=0，i=1，…，的所有列表a=（a_1，a_2，…，a_n）的集合，。。。，n使得1*a_1+2*a_2+…+n*a_n=n；也就是说，P_n是n的所有整数分区的集合（我们对分区使用了不同于T（n，k）名称中分区的符号。）然后|P_n|=A000041号（n） 对于n>=0。
我们有R（m，n）=A212855型（m，n）=P_n}（-1）^（n-Sum_{j=1..n}a_j）*（a_1+a_2+…+a_n）中的和{a/（a_1！*a_2！*…*a_n！）*（n！/（（1！）^a_1*（2！）^a_2*…*（n！）^a_n））^m。
The recurrence ofR.H.哈丁对于数组的第n列A212855型是和{s=0..|P_n|}（-1）^s*T（n，s）*R（m-s，n）=0，对于n>=1和m>=|P_n|1。
对于所有n>=1，上述递归都是正确的，但它并不总是最小的。例如，它似乎是n=1，…，的最小值，。。。，6，但不适用于n=7（参见A212854型). 每当n的每两个不同分区给出不同的多项式系数时，它似乎是最小的。
对于n=7，分区（a_1，a_2，a_3，a_4，a_5，a_6，a_7）=（0，2，1，0，0，0,0）（即2+2+3）和（a_1，a_2、a_3、a_4、a_5、a_6、a_7/(2!2!3!) = 7!/(1!1!1!4!). 因此，为了找到n=7的最小重现性，我们在多项式系数集合中只计算一次210：1、7、21、35、42、105、140、210、420、630、840、1260、2520、5040。那么，最小递归中a（n-1）系数的绝对值就是这些多项式系数的总和（即11271）；最小递归中a（n-2）系数的绝对值是它们每两个的乘积之和（即46169368），以此类推。
查看Abramowitz和Stegun（1964）第831-832页上n=8、9、10的整数分区的多项式系数，我们发现，即使在这些情况下，上述递归也不是最小的。n的整数分区中不同多项式系数的数量由下式给出A070289号.
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链接
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米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳·阿斯特根，带公式、图形和数学表的数学函数手册，国家标准局（应用数学系列，55），1964年；关于n=1..10整数分区的多项式系数，见第831-832页。
莫顿·阿布拉姆森和大卫·普罗米洛，按列升序枚举数组，J.组合理论。A 24（2）（1978），247-250；见公式（6），第248页，以及上述评论。
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配方奶粉
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例子
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三角形开始如下：
[n=0]：1，1；
[n=1]：1，1；
【n=2】：1、3、2；
【n=3】：1、10、27、18；
【n=4】：1、47、718、4416、10656、6912；
【n=5】：124620545751800129115001003800030420000021600000；
...
例如，当n=3时，3的整数分区是3，1+2，1+1+1，相应的多项式系数是3/3! = 1, 3!/（1！2！）=3，和3/(1!1!1!) = 6. 那么T（n=3，k=0）=1，T（n=3，k=1）=1+3+6=10，T（n=3，k=2）=1*3+1*6+3*6=27，T（n=3，k=3）=1*1*6=18。
自|P_3|=A000041号（3） =3，复发R.H.哈丁对于数组的n列=3A212855型是T（3,0）*R（m，3）-T（3,1）*R；即，R（m，3）-10*R（m-1,3）+27*R（m2,3）-18*R（m.3,3）=0，对于m>=4。我们有初始条件R（m=1,3）=1，R（m=2,3）=19，R（m=3,3）=163。因此，R（m，3）=6^m-2*3^m+1=A212850型（m） 对于m>=1。请参阅阵列文档A212855型.
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MAPLE公司
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g： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0或i=1，[n！]，[map（x->
二项式（n，i）*x，g（n-i，min[n-i，i））[]，g（n，i-1）[]]）
结束时间：
b： =proc（n，m）选项记住`如果`（n=0，1，
展开（b（n-1，m）*（g（m$2）[n]*x+1））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（nops（g（n$2）），n））：
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数学
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g[n_，i_]：=g[n，i]=如果[n==0||i==1，{n！}，连接[二项式[n，i]*#&/@g[n-i，Min[n-i、i]]，g[n、i-1]]]；
b[n_，m_]：=b[n，m]=如果[n==0，1，展开[b[n-1，m]*（g[m，m][[n]]*x+1）]]；
T[n_]：=系数列表[b[长度[g[n，n]]，n]，x]；
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000012号（列k=0），A000041号,A005651号（列k=1），A070289号,A212850型,212851英镑,A212852型,A212853型,A212854型,A212855型,A212856型,A212857型,A212858型,A212859型,A212860型.
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关键词
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非n,标签
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作者
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经核准的
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