|
| |
|
| A308723 |
| n的所有m循环成分中的零件总数（其中尺寸m的每个零件都可以用m种颜色中的一种进行着色）。 |
|
4
|
|
|
|
1, 4, 10, 26, 59, 160, 383, 1018, 2606, 6836, 17721, 46580, 121405, 318212, 832190, 2179358, 5702903, 14933264, 39088187, 102341134, 267915110, 701426484, 1836311925, 4807575700, 12586269265, 32951401540, 86267576506, 225851752438, 591286729907, 1548009602240, 4052739537911
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1, 2
|
|
|
评论
|
无标记循环组成（最初由Sommerville（1909）研究）是n的有序分区的等价类，因此两个这样的分区是等价的，只要其中一个分区可以通过旋转从另一个分区获得。
n的所谓“m-循环成分”是n的循环成分，因此尺寸m的每个部分都可以用m种颜色中的任何一种进行着色。（彩色有序分区最初由Agarwal（2000）引入。鲍尔关于以下网络链接中的变换的理论是对这一想法的概括。）
如果b（n）是n的m色成分的个数，则（b（n）：n>=1）是序列1、2、3…的CIK变换。。。它有g.f.-sum_{n>=1}（φ（s）/s）*log（1-C（x^s）），其中C（x）=x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+…=x/（1-x）^2。（有关CIK变换的信息，请参见Bower关于变换的链接。）因此，b（n）=A032198号（n） 对于n>=1，其g.f.和公式也在Gibson（2017）和Gibson等人（2018）中推导得出。
一般来说，如果c=（c（m）：m>=1）是输入序列，（b_k（n）：n>=1，是c的CIK[k]变换下的输出序列，则b_n=（CIK c）_n=Sum_{k=1..n}（CIK[k]c）_n=Sum_}k=1..n}b_k。
（b_k（n）：n>=1）的g.f.是Sum_{n>=1}b_k（n）*x^k=（1/k）*Sum__{d|k}φ（d）*A（x^d）^（k/d）。由此得出Sum_{n>=1，k>=1}b_k（n）*x^n*y^k=-Sum_{d>=1}（φ（d）/d）*log（1-y^d*A（x^d））（理解为对于k>n，b_k（n）=0）。
对于n>=1，设d（n）=Sum_{k>=1}k*b_k（n）=在c=（c（m）：m>=1）的CIK变换下n的所有成分中的部分总数。因此，d（n）是n的所有环状组成中的部分总数，其中尺寸为m的每个部分可以用c（m）种颜色着色。
为了得到（d（n）：n>=1）=（Sum_{k=1..n}k*b_k（n）:n>=1）的g.f.，我们对二元g.f.Sum_{n>=1,k>=1}b_k。我们得到了求和{n>=1}d（n）*x^n=Sum{d>=1}phi（d）*A（x^d）/（1-A（x*d））。
在我们的例子中，A（x）=x/（1-x）^2，所以Sum_{n>=1}d（n）*x^n=-Sum_{d>=1}phi（d）*x*d/（1-3*x^d+x^（2*d）），这正是Gibson（2017）和Gibson等人（2018）证明的当前序列的g.f。
（完）
|
|
|
链接
|
A.K.阿加瓦尔，n种颜色成分印度J.Pure Appl。数学。，31(11) (2000), 1421-1427.
梅根·莫里亚·吉布森，组合数学2017年，佐治亚州南方大学理学硕士。
梅根·莫里亚·吉布森、丹尼尔·格雷和华王，n种颜色成分的组合《离散数学》，341（2018），3209-3226。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=总和φ*A088305型（n/s）=Sum_{s|n}φ（n/s）*Fibonacci（2*s），对于n>=1。（见Gibson等人（2018）中的定理3.1。）
a（n）~（2/（3-平方（5）））^n/sqrt（5）表示大n。（见Gibson等人（2018）第3210页）
通用公式：和{s>=1}φ（s）*x^s/（1-3*x^s+x^（2*s））。（见吉布森等人（2018）中的等式（1.2）。）
|
|
|
例子
|
我们有一个（1）=1，因为1_1是n=1的唯一的m色循环组成，部件的总数是1。
我们有一个（2）=4，因为2_1，2_2，1_1+1_1都是2的m色循环组成，总的部分数是1+1+2=4。
我们有一个（3）=10，因为3_1，3_2，3_3，1_1+2_1，1\1+2_2，1_1_1+1_1都是n=3的m色循环成分，总的部分数是1+1+1+2+3=10。
我们有一个（4）=26，因为4_1，4_2，4_3，4_4，1_1+3_1，1_1'，3_2，1_1_3，2_1+2_1，2_1'，2_2+，2_2+2_2，1_ 1+2_2+1，1_1+1_1+1+1+1_1都是n=4的m色循环成分，总部分数是1+1+1+1+2+2+2+2+3+4=26。
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
