A187360-OEIS公司

A187360型

2*cos（Pi/n）最小多项式的系数数组（x的升幂）。

2, 1, 0, 1, -1, 1, -2, 0, 1, -1, -1, 1, -3, 0, 1, 1, -2, -1, 1, 2, 0, -4, 0, 1, -1, -3, 0, 1, 5, 0, -5, 0, 1, -1, 3, 3, -4, -1, 1, 1, 0, -4, 0, 1, -1, -3, 6, 4, -5, -1, 1, -7, 0, 14, 0, -7, 0, 1, 1, -4, -4, 1, 1, 2, 0, -16, 0, 20, 0, -8, 0, 1, 1, 4, -10, -10, 15, 6, -7, -1, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,1`
	评论	`一元整行多项式的阶增量（n）称为C（n，x），为A055034号（n） ●●●●。` `代数数2cos（Pi/n）的这个最小多项式，n>=1，由下式给出` `C（n，x）=总和（a（n，m）x^m，m=0。。A055034号（n））=（2^delta（n））Psi（2n，x/2），其中Psi（n，x）是cos（2Pi/n）的最小多项式，具有有理系数数组A181875号/A181876号。还可以找到参考和链接。请特别参阅Watkins和Zeitlin的Psi（n，x）。` `C（n，x），n>=2的零点是2cos（Pi k/n），其中k=1，。。。，n-1和gcd（k，2n）=1。对于n=1，零为-2。或者，这些零是2cos（Pi（2l+1）/n），其中l=0，。。。，地板（n-2）/2）和gcd（2l+1，n）=1。对于n=1，取l=0。` `第一列看起来像不同签名的A020513年（n），n>=1。` `行n=2^m，m>=1的多项式与A127672号参见此处给出的这些R多项式（也称为切比雪夫C多项式）的因式分解-沃尔夫迪特·朗2011年9月15日` `发件人沃尔夫迪特·朗2013年11月4日：（开始）` `代数数域Q（rho（N））中ρ（N）=2cos（Pi/N）的范数N（rho=A055034号（n） ●●●●。如果N（ρ（N））等于+1或-1，那么1/rho（N），它是Q（rho（N））的一个元素，实际上是这个数字字段中的一个整数。关于C系数的1/rho（n）公式，请参见A230079型因此，1/rho（n）是Q（rho（n））-整数当且仅当C（n，0）是+1或-1时，当且仅在n来自集合时发生这种情况{A230078型（k），k>=2}。` `否定表示，对于n为正整数，1/rho（n）不是Q（rho（n））-整数当且仅当n为1或形式为2p^m，m>=0，p为素数，这是A138929号包括1。` 该证明用于情形（i）：n=2m+1，m>=1，C（2m+1,0）^2=（乘积（2cos（Pi（2l+1）/（2m+1）），l=0。。m-1和gcd（2l+1，2m+1）=1）^2=（乘积（2cos（Pik/（2m+1）），k=1..l和gcd（k，2m+1）=1）^2=分圆（2m+1，-1）。有关分圆（n，-1）的乘积公式，请参阅链接的Q（rho（n））论文等式（31）。由于2m+1的素因式分解，并且只有2m+12的平方自由核进入（参见2013年10月29日关于A013595号)，我们发现，形成涉及Moebius函数的分圆（p1p2…pk，x）的公式，分圆（2m+1，-1）=+1，m>=1。C（1，0）=+2。对于情形（ii）：n偶数，一个有C（2^m，0）=0，-2，+2，分别为m=1，2，>=3（参见链接Q（rho（n））纸的等式（39））。对于奇素数p:（-1）^（（p-1）/2）C（2p^m，0）=分圆（2p ^m，-1）=分光（2p，-1）=分圆（p，+1）=p，对于m>=1。对于n=2m，m>=1的无平方核中的多个奇素数，我们从分圆（2p1…pk，-1）=+1中找到C（2*m，0）=+1，对于k>=2。（结束） `将C多项式转换为切比雪夫s多项式的和(A049310型)参见A255237号. -沃尔夫迪特·朗2015年3月16日`
	链接	`罗伯特·伊斯雷尔，n=1..10064时的n，a（n）表（前220行，扁平化）` `沃尔夫迪特·朗，2*cos（pi/n）的极小多项式` `沃尔夫迪特·朗，正则n-gon中的场Q（2cos（pi/n））及其Galois群和长度比，arXiv:1210.1018[math.GR]，2012-2017年。` `沃尔夫迪特·朗，关于三个完全循环整数系统的等价性，arXiv:2008.04300[math.NT]，2020年。`
	配方奶粉	`a（n，m）=[x^m]C（n，x），n>=1，m=0。。A055034号（n），最小（一元和整数）多项式C（n，x）为2*cos（Pi/n）。请参阅上面的评论。`
	例子	`n=1:2，1；` `n=2:0，1；` `n=3:-1，1；` `n=4:-2，0，1；` `n=5:-1，-1，1；` `n=6:-3，0，1；` `n=7:1，-2，-1，1；` `n=8:2，0，-4，0，1；` `n=9:-1，-3，0，1；` `n=10:5，0，-5，0，1；` `...` `C（2，x）=R（1，x），C（4，x）=R（2，x），C，。。。R（n，x）来自A127672号. -沃尔夫迪特·朗2011年9月15日`
	MAPLE公司	`f： =proc（n）局部P，z，j；` `P： =系数（evala（范数（z转换（2*cos（Pi/n），RootOf）））；` 如果类型为（P，`^`），则P:=op（1，P）fi； `seq（系数（P，z，j），j=0..度（P））；` `结束进程：` `seq（f（n），n=1..20）#罗伯特·伊斯雷尔2015年8月4日`
	数学	`压扁[系数列表[表[最小多项式[2Cos[Pi/n]，x]，{n，1，17}]，x]](Jean-François Alcover公司2011年9月26日*）`
	程序	`（PARI）半总数（n）=如果（n<=2，1，eulerphi（n）/2）\\A023022号` `默认值（realprecision，110）；` `row（n）=Vecrev（algdep（2cos（2Pi/n），半色调（n）））\\米歇尔·马库斯2023年9月19日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A055034号，A181875号/A181876号，A181877号.` `囊性纤维变性。A192003号（行总和）。A192004号（交替行和）。` `上下文中的序列：A143842号 A369460型 A092876号A334368飞机 A370561型 A240718型` `相邻序列：A187357号 A187358号 A187359号187361英镑 A187362号 A187363号`
	关键词	`签名，容易的，标签`
	作者	`沃尔夫迪特·朗2011年7月14日`
	状态	`经核准的`