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| A181875号 |
| cos（2Pi/n）最小多项式系数数组的分子。x中的崛起力量。 |
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13
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-1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 0, 1, 1, -3, 0, 1, -1, -1, 1, 1, 3, -3, -1, 1, 1, -3, 0, 1, -1, 3, 3, -1, -5, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, -5, 5, 15, -3, -7, 1, 1, -1, -3, 0, 1, 1, 5, -5, -5, 15, 21, -7, -2, 1, 1, 5, 0, -5, 0, 1, 1, -1, 1, 3, -3, -1, 1, -1, 3, 3, -1, -1, 1, -1, -3, 15, 35, -35, -7, 7, 9, -9, -5, 1, 1, 1, 0, -1, 0, 1, -1, 5, 25, -5, -25, 1, 35, 0, -5, 0, 1, -1, -3, 3, 1, -5, -1, 1, 1, 9, 0, -15, 0, 27, 0, -9, 0, 1, -7, 0, 7, 0, -7, 0, 1, -1, 7, 7, -7, -63, 63, 105, -15, -165, 55, 33, -3, -13, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,22
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评论
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行长度的顺序是d（n）+1，其中d（n=A023022号（n） ，n>=2，且d（1）：=1:[2，2，2，3，2，4，3，4，6，3，7，4，5，5，9，4，10，5，7，…]。
Psi（n，x）：=总和（（a（n，m）/b（n，m））*x^m，m=0..d（n）），度数d（n）：=A023022号（n） ，n>=2，d（1）：=1，以及b（n，m）：=A181876号（n，m）是cos（2*Pi/n）的最小多项式，n>=1。关于“代数数的最小多项式”的定义，参见I.Niven参考文献，第28页（代数数是其根之一的一元最小次数有理多项式）。
最小多项式Psi（n，x）的所有根都是来自{0,1，…，floor（n/2）}的k的cos（2*Pi*k/n）和gcd（k，n）=1（相对素数）。Psi（n，x）的次数d（n）（见上文），即代数数cos（2*Pi/n）的次数，对于n=1和2为1，对于n>2为phi（n）/2，使用Euler的总函数phi（n）=A000010号（n） 。参见D.H.Lehmer参考文献和I.Niven参考文献，定理3.9，第37页。这是Watkins和Zeitlin参考文献第473页上的引理（包括n=1和n=2情况）。
在Watkins和Zeitlin参考中发现了Psi（n，x）的重复性。
有关Watkins和Zeitlin循环的解决方案，请参阅下面的W.Lang链接A007955号等式（1）和（3），以及带有命题1的定理。W.Lang，2011年2月26日。
多项式Psi（n，x），n=1..30，已经在关于A023022号作者：A.Jasinski。另请参阅W.Lang链接。
对于每个素数p的幂，对于m=1,2，…，可以得出以下结果：
1.p奇素数，p=2*k+1:（2^（k*p^（m-1））*Psi（p^m，x）=2*和（T（l*p^（m-1），x），l=1..k）+1，具有切比雪夫T-多项式。
2.p=2，m=1:Psi（2，x）=x+1=T（1，x）+1。
对于m=2,3，…：（2^（m-2））*Psi（2^m，x）=2*T（2^m-2），x）。
对于一些奇数p，2011年2月26日G.Detlefs给W.Lang的一封电子邮件中观察到m=1的情况。
注：有关证据，请参阅W.Lang链接。
D.Surowski和P.McCombs（见参考文献）在其定理3.1中给出。奇数素数p，p=2*k+1的2*cos（2*Pi/p）（非一元）最小多项式的显式公式，称为Theta_p（x）。他们的公式用Theta_p（x）=（2^k）*Psi（p，x/2）进行检验（如果印刷错误的sigma_{2k+1}被校正为sigma_{2k-1}）。
W.Lang，2011年2月26日。
S.Beslin和V.de Angelis（参见参考文献）针对奇素数p，p=2k+1，给出了sin（2*Pi/p）的（整数）最小多项式S_p（x）和cos（2*Pi/p）C_p（x）的显式公式，结果如下：
S_p（x）=和（（-1）^l）*二项式（p，2*l+1）*（1-x^2）^（k-l）*x^（2*l），l=0..k），C_p（x）=S_p（sqrt（（1-x）/2））。
C_p（x）用上述公式中的（2^k）*Psi（p，x）检查p的幂，其中m=1。W.Lang，2011年2月26日。
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参考文献
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I.Niven，无理数，数学。美国协会，第二次印刷，1963年，由John Wiley and Sons发行。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=分子（[x]^m Psi（n，x）），n>=1，m=0,1，。。，d（n），其中d（n=A023022号（n） 和d（1）：=1，其中Psi（n，x）已在上述注释中定义，并由Psi（n，x）=产品（x-cos（2*Pi*k/n）），k=0..楼层（n/2）和gcd（k，n）=1给出，n>=1。
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例子
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行开始：
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[1, 1],
[1, 1],
[0, 1],
[-1, 1, 1],
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[-1, -1, 1, 1],
[-1, 0, 1],
[1, -3, 0, 1],
[-1, -1, 1],
...
[-1, 1],
[1, 1],
[1/2, 1],
[0, 1],
[-1/4, 1/2, 1],
[-1/2, 1],
[-1/8, -1/2, 1/2, 1],
[-1/2, 0, 1],
[1/8, -3/4, 0, 1],
[-1/4, -1/2, 1],
...
Psi（5，x）具有零cos（2*Pi/5）=（phi-1）/2和cos（4*Pi/5）=-phi/2，其中phi:=（1+sqrt（5））/2（黄金分割）。
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数学
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ro[n_]：=分子[cc=系数列表[MinimalPolynomial[Cos[2*Pi/n]，x]，x】；cc/最后一个[cc]]；扁平[表格[ro[n]，{n，1，30}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月27日*）
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交叉参考
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