A057682-出口

A057682号

a（n）=和{j=0..floor（n/3）}（-1）^j*二项式（n，3*j+1）。

0, 1, 2, 3, 3, 0, -9, -27, -54, -81, -81, 0, 243, 729, 1458, 2187, 2187, 0, -6561, -19683, -39366, -59049, -59049, 0, 177147, 531441, 1062882, 1594323, 1594323, 0, -4782969, -14348907, -28697814, -43046721, -43046721, 0, 129140163, 387420489, 774840978

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

设M是任意向量空间上的任意自同态，使得M^3=1（恒等式）。然后（1-M）^n=A057681号（n） -a（n）*M+z（n）*M^2，其中z（0）=z（1）=0，显然是z（n+2）=A057083号（n） ●●●●-斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年6月10日

发件人汤姆·科普兰，2014年11月9日：（开始）

此数组属于与加泰罗尼亚语相关联的插值数组族A000108美元（t=1），以及Riordan或Motzkin总和A005043号（t=0），使用interp。（这里t=-2）o.g.f.g（x，t）=x（1-x）/[1+（t-1）x（1-x）]和逆o.g.f Ginv（x，t）=[1-sqrt（1-4x/（1+（1-t）x））]/2（Cf。A005773号和A091867号和A030528型有关此家庭的更多信息）。（结束）

{A057681号,A057682号，A*}，其中A*为A057083号前缀是两个0，是三阶三角函数{k1（x）、k2（x）和k3（x）}的差分模拟。关于{k_i（x）}和差分模拟{k_i（n）}的定义，请分别参见[Erdelyi]和Shevelev链接-弗拉基米尔·舍维列夫2017年7月31日

参考文献

A.Erdelyi，《高等超越函数》，McGraw-Hill，1955年，第3卷，第十八章。

链接

G.C.格鲁贝尔，n=0..1000时的n，a（n）表

Mark W.Coffey，特殊超几何函数3F2（a，a+1/3，a+2/3；p/3，q/3；+-1）的约化，arXiv预印本arXiv:1506.09160[math.CA]，2015。

弗拉基米尔·舍维列夫，n阶双曲函数和三角函数差分类比生成的组合恒等式，arXiv:1706.01454[math.CO]，2017年。

常系数线性递归的索引项，签名（3，-3）。

配方奶粉

通用格式：（x-x^2）/（1-3*x+3*x^2。

如果n>1，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）。

从1开始A000484号. -保罗·巴里2003年7月21日

似乎abs（a（n））=地板（abs(A000748号（n））/3）-约翰·莱曼2003年9月5日

a（n）=（（3+i*sqrt（3））/2）^-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月27日

a（n）=n*3F2（1/3-n/3,2/3-n/3,1-n/3；2/3,4/3；1），对于n>=1-约翰·M·坎贝尔2011年6月1日

设A（n）是n×n矩阵，沿着主对角线-1，在主对角线上到处都是1，沿着次对角线1。然后，对于所有n>1的情况，a（n）等于（-1）^（n-1）乘以a（n-1）特征多项式的系数之和（参见下面的Mathematica代码）-约翰·M·坎贝尔2012年3月16日

从x（0）=1，y（0）=0，z。则a（n）=-y（n）。但这种重复出现的周期是长度6和乘数因子-27的重复循环，因此，对于任意n>6，a（n）=-27*a（n-6）-斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年6月10日

a（n）=A057083号（n-1）-A057083号（n-2）-R.J.马塔尔2012年10月25日

通用系数：3*x-1/3+3*x/（G（0）-1），其中G（k）=1+3*（2*k+3）*x/；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日

G.f.：Q（0，u）-1，其中u=x/（1-x），Q（k，u）=1-u^2+（k+2）*u-u*（k+1-u）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月7日

发件人弗拉基米尔·舍维列夫2017年7月31日：（开始）

对于n>=1，a（n）=2*3^（（n-2）/2）*cos（Pi*（n-2；

对于n>=2，a（n）=K_1（n）+K_3（n-2）；

对于m，n>=2，a（n+m）=a（n）*K_1（m）+K_1

K_1公司=A057681号，K_3=A057083号.（结束）

例子

G.f.=x+2*x^2+3*x^3+3*x^4-9*x^6-27*x^7-54*x^8-81*x^9+。。。

如果M^3=1，则（1-M）^6=A057681号（6） -a（6）*M+A057083号（4） *M^2=-18+9*M+9*M^2-斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年6月10日

MAPLE公司

A057682号：=n->添加（（-1）^j*二项式（n，3*j+1），j=0..楼层（n/3））：

序列(A057682号（n），n=0..50）#韦斯利·伊万·赫特2014年11月11日

数学

A[n_]：=数组[KroneckerDelta[#1，#2+1]-Kronecker Delta[#1，#2]+总和[KronenckerDelta[1，#2-q]，{q，n}]&，{n，n}]；

联接[{0，1}，表[（-1）^（n-1）*Total[CoefficientList[Characteristic Polynomial[A[（n-1）]，x]，x]]，{n，2，30}]](*约翰·M·坎贝尔2012年3月16日*）

联接[{0}，线性递归[{3，-3}，{1，2}，40]](*Jean-François Alcover公司2019年1月8日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=和（j=0，n\3，（-1）^j*二项式（n，3*j+1））}/*迈克尔·索莫斯2004年5月26日*/

（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>0，n-=2；polsym（x^2-3*x+3，n）[n+1]）}/*迈克尔·索莫斯2004年5月26日*/

（岩浆）I:=[0,1,2]；[n le 3选择I[n]else 3*自我（n-1）-3*自我（n-2）：n in[1..45]]//文森佐·利班迪2014年11月10日

（SageMath）

b=二进制递归序列（3，-3，1，2）

定义A057682号（n）：如果n==0，则返回0，否则返回b（n-1）

[A057682号（n）对于范围（41）中的n]#G.C.格鲁贝尔2023年7月14日

交叉参考

三角形的交替行和A030523型.

囊性纤维变性。A000108美元,A000484号,A000748号,A005043号,A005773号,A057083号,A057681号,A091867号.

上下文中的序列：A121474号 13803澳元 A329232型*124841英镑 A085355号 A103120标准

相邻序列：A057679号 A057680号 A057681号*A057683号 A057684号 A057685号

关键字

签名,容易的

作者

N.J.A.斯隆2000年10月20日

状态

经核准的