n>=1的无标记循环组合是n的有序分区的等价，因此两个有序分区是等价的，只要其中一个可以通过旋转从另一个得到。
n>=1的二面体组合是n的有序划分的等价类，因此两个这样的有序划分是等价的，只要其中一个可以通过旋转或反射从另一个得到。例如，见Knopfmacher和Robbins（2013）。
n>=1的循环组成（有序分区）如果具有反射对称性，则称为非手性，否则称为手性。（这个术语来源于分子研究中的化学。）
n>=1的对称（非手性）循环组成也是n>=1（反之亦然）的对称（无手性）二面体组成。
许多数学家默认将n>=1与一部分或两部分的循环组合视为非整数，因为对称轴可能会穿过这些部分。当Bowers定义DHK变换时，他（在下面的链接中）不接受这种约定，除非可能是具有两个相同（在值和颜色上）部分的循环合成。
给定n>=1，a（n）是n的非周期手性二面体组分的数量，使得这些部分可以由三种颜色中的任何一种颜色（例如a、B、C）着色。
注意，a（1）=3，因为1_a，1_B，1_C是n=1的三种有色非周期二面体组成，（根据鲍尔斯的说法）被认为是手性的（=没有反射对称性）。
此外，a（2）=6，因为2_a、2_B、2_C、1_a+1_B、1_B+1_C、1_C+1_a是n=2的六种有色非周期二面体成分，（根据鲍尔斯的说法）被认为是手性的（=没有反射对称性）。
一般来说，对于n>=1，如果有人不同意鲍尔关于由一个或两个部分组成的有色非周期二面体的约定，那么a（n）-3*A001651号（n） =a（n）-3*floor（（3*n-1）/2）是n的非周期手征二面体组分的实际数量，因此这些部分可以用三种颜色中的任何一种来着色。
设c=（c（n）：n>=1）为Bower DHK变换下的输入序列，b=（b（n）:n>=1）为输出序列；即b=（DHK c）。设C（x）=Sum_{n>=1}C（n）*x^n；也就是说，C（x）是C的g.f.，那么b的g.f.=和{n>=1}b（n）*x^n=-（1/2）*Sum{d>=1}（mu（d）/d）*log（1-C（x^d））-（1/2 ^2-C（x^2））。这里，对于所有n>=1和c（x）=3*x/（1-x），c（n）=3。
由于Bower，给出额外非周期二面体成分的g.f.部分是C（x）+（1/2）*（C（x）^2-C（x^2））=3*x*（1+x+x^2，/（1+x）*（1-x）^2）。这是（3）的g.f*A001651号（n） ：n>=1）。
这里，D（x）=（C（x）+1）^2/（2*（1-C（x^2）））-（1/2）=3*x/（（1-2*x）*（1-x））=3*（x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+…）是（3）的g.f*A000225美元（n） ：n>=1）=（3*（2^n-1）：n>=1），计算n的对称（=非对称）未标记循环成分，其中最多可以使用3种颜色。
因此，序列（3*A038199号（n） ：n>=1）=（3*Sum_{d|n}mu（d）*A000225美元（n/d）：n>=1）=（3*Sum_{d|n}mu（d）*（2^（n/d）-1）：n>=1）计算n的非周期对称（未标记）循环构图，其中最多可以使用三种颜色（没有针对具有一个或两个部分的构图的Bower约定）。后一序列有g.f.求和{d>=1}μ（d）*d（x^d）=求和{d>=1}mu（d）*（（C（x^d+1）^2/（2*（1-C（x*d）））-（1/2））。
最后，-Sum_{d>=1}（mu（d）/d）*log（1-C（x^d）），其中C（x）=3*x/（1-x）是序列的g.f(A185172号（n） ：n>=1），它统计n的非周期（未标记）循环成分，其中最多可以使用三种颜色。参见Novelli和Thibon（2008）中的等式（94）和（95）或Novelli和Thibon（2010）中的等式（99）和（100）。
（结束）
