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| A030267号 |
| 将自然数与其自身合成，A（x）=B（B（x）），其中B（x）=x/（1-x）^2是自然数的生成函数。 |
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17
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1, 4, 14, 46, 145, 444, 1331, 3926, 11434, 32960, 94211, 267384, 754309, 2116936, 5914310, 16458034, 45638101, 126159156, 347769719, 956238170, 2623278946, 7181512964, 19622668679, 53522804976, 145753273225, 396323283724, 1076167858046, 2918447861686
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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评论
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半长n的所有非递减Dyck路径的金字塔权重之和。（Dyck字（路径）中的金字塔是U^h D^h形式的因子，其中U=（1,1），D=（1，-1），h是金字塔的高度。如果作为w中的一个因子，Dyck单词w中的金字塔前面不紧跟u，后面紧跟d，则它是最大的。Dyck路径（单词）的金字塔权重是其最大金字塔的高度之和。）示例：a（4）=46。实际上，有14条半长为4的Dyck路径。其中之一，即UUDUDDUD并没有减少，因为山谷位于高度1和0。其他13个，括号之间显示的最大金字塔为：（UD）（UD）（UD）（UD）（UD）（UD）、（UD）（UD）（UUDD）、（UD）（UUDD）（UD）、（UD）（UUUD）D、（UD）（UUUDDD）、（UUDD）（UD）（UD）、U（UD）（UD）D、U（UD）（UUDD）D、U（UUDD）（UD）D、UU（UD）（UD）DD和（UUUUDDDD）。这些路径的金字塔权重分别为4、4、4，3、4，4，4、3、3、2和4。他们的总数是46。a（n）=和{k=1..n}k*A121462号（n，k）-Emeric Deutsch公司2006年7月31日
n的所有成分中的1s数，其中成分用两种不同的1s来理解，例如1和1'（n>=1）。示例：a（2）=4，因为2的组成为11，11'，1'1，1'1'，2，总计为2+1+1+0=4 1s。此外，n+k的所有成分中的k数（k=2，3，…）-Emeric Deutsch公司2008年7月21日
如果c=（c（m）：m>=1）是输入序列，b_k=（b_k（n）：n>=1 c（x）=和{m>=1}c（m）*x^m是输入序列的g.f。
这里，b_k（n）是n与k部分的所有（线性）成分的数量，其中尺寸m的部分用c（m）颜色之一着色。因此，Sum_{k=1..n}k*b_k（n）是n的所有组成部分的总数。
如果我们将上述二元g.f.函数，即Sum_{n，k>=1}b_k（n）*x^n*y^k，相对于y和集合y=1进行微分，我们得到序列的g.f。它是C（x）/（1-C（x））^2。
当c（m）=m表示所有m>=1时，我们得到了Agarwal（2000）首次研究的n的m色组成。Gibson（2017）和Gibson等人（2018）研究了这些m色成分的循环版本。
当c（m）=m对于每m>=1时，我们有c（x）=x/（1-x）^2，所以c（x。
因此，a（n）是n的所有m颜色成分中的总部件数（在Agarwal（2000）的意义上）。
（结束）
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参考文献
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R.P.Grimaldi，《成分和替代斐波那契数》，国会数学家，186，2007，81-96。
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链接
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A.K.阿加瓦尔，n种颜色成分印度J.Pure Appl。数学。31 (11) (2000), 1421-1427.
埃瓦·查巴卡、里戈伯托·弗洛雷斯、莱安德罗·朱内斯和何塞·拉米雷斯，非递减Dyck路径上的峰谷枚举，离散数学。341 (10) (2018), 2789-2807.
梅根·莫里亚·吉布森，组合数学2017年，佐治亚州南方大学理学硕士。
梅根·莫里亚·吉布森、丹尼尔·格雷和华王，n种颜色成分的组合，《离散数学》341（2018），3209-3226。
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配方奶粉
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a（n）=-a（-n）=（2n*F（2n+1）+（2-n）*F（2 n））/5与F（n）=A000045号（n） （斐波那契数列）。
通用格式：x*（1-x）^2/（1-3*x+x^2）^2。
a（n）=和{k=1..n}k*C（n+k-1，2*k-1）。
a（n）=（2/5）*F（2*n）+（1/5）*n*L（2*n），其中F（k）是斐波那契数（F（0）=0，F（1）=1），L（k）则是卢卡斯数（L（0）=2，L（1）=1）-Emeric Deutsch公司2008年7月21日
a（0）=1，a（1）=4，a（2）=14，a（3）=46，a（n）=6*a（n-1）-11*a（-n-2）+6*a（n-3）-a（n-4）-哈维·P·戴尔2011年8月1日
a（n）=（（3-平方（5））^n*（5*n-2*sqrt（5）-彼得·卢什尼2022年3月7日
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例子
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回想一下，对于m色合成，尺寸为m的一部分可以用m种颜色中的一种进行着色。
我们有一个（1）=1，因为我们只有一个彩色构图，即只有1个部分的1_1。
我们有一个（2）=4，因为我们有以下n=2的有色成分：2_1，2_2，1_1+1_1；因此，a（2）=1+1+2=4。
我们有a（3）=14，因为我们有以下n=3的彩色成分：3_1，3_2，3_3，1_1+2_1，1_1+2_2，2_1+1，2_2+1_1，1_1+1+1+1_1；因此，a（3）=1+1+1+2+2+2+3=14。
我们有一个（14）=46，因为我们有以下n=4的有色成分：
（i） 4_1、4_2、4_3、4_4；共有4个部分。
（ii）1_1+3_1、1_1+3_2、1_3+3_3、3_1+1_1、3_2+1_1，3_3+1_1和2_1+2_1、2_1+2_2、2_2+2_1和2+2_2；总共2 x 10＝20份。
（iii）1_1+1_1+2_1、1_1+1 _1+2_2、1_1+2_1+1、1_1_1+2_2+1、2_1+1+1_1、2_2+1_1和2_2+1；总共3 x 6=18个零件。
（iv）1_1+1+1+1+1+1_1；共有4个部分。
因此，a（4）=4+20+18+4=46。
（结束）
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MAPLE公司
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与（组合）：L[0]：=2:L[1]：=1：对于从2到60的n do L[n]：=L[n-1]+L[n-2]end do:seq（2*fibonacci（2*n）*1/5+（1/5）*n*L[2*n]，n=1..30）#Emeric Deutsch公司2008年7月21日
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数学
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表[Sum[k二项式[n+k-1，2k-1]，{k，n}]，{n，30}]（*或*）线性递归[{6，-11，6，-1}，{1，4，14，46}，30](*哈维·P·戴尔2011年8月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（2*n*fibonacci（2*n+1）+（2-n）*fiboanacci（2*n））/5
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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