话题
搜索

钦钦常数

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

让

x=[a_0；a_1，…]=a_0+1/（a_1+1/（a_2+1/（a _3+…））
(1)

成为单连分式“通用”实数 x个，其中数字a_i是分母.Khinchin（1934）认为几何的意思是

G_n（x）=（a_1a_2…a_n）^（1/n）
(2)

作为n->不完整.令人惊讶的是，除了一套测量0，此限制是一个常量独立的属于x个由提供

K=2.685452001。。。
(3)

（组织环境信息系统A002210型)如Kac（1959）所证明。

这个常数被称为钦钦常数，通常也被拼写为“钦钦常量”恒定”（Shanks and Wrench 1959，Bailey等。1997).

它的实现方式是钦钦，其中其值缓存为1100位精度。然而K（K）众所周知，很难计算到高精度，所以计算更多的数字变得越来越慢。

目前尚不清楚K（K）是不合理的更别说了超越的.

众所周知，几乎所有的数字x个有限制G_n（x）那种方法K（K），这个事实还没有被任何显式实数证明x个,例如，用基本常数（Bailey）表示的实数等。1997).

钦钦常数

价值观（a_1，a_2，…，a_n）^（1/n）上面为绘制了n=1至500和x=π,正弦1，的尤勒·马切罗尼常数 伽马射线,和Copeland-Erdős常数 C有趣的是，曲线的形状几乎与对应的曲线相同勒维常数.

如果p_n/q_n是n个第个收敛的的继续的分数属于x个,然后

lim（n->infty）qn ^（1/n）=lim（n->infty）（（p_n）/x）^（1/n）
(4)
=e^（pi^2/（12ln2））
(5)
=3.27582...
(6)

（组织环境信息系统A086702号)几乎所有人真实的 x个（Lévy 1936，Finch 2003），其中液化天然气是2的自然对数。这个数字有时被称为勒维常数.

的产品表达式K（K）包括

K=产品_（n=1）^数量[1+1/（n（n+2））]^（lnn/ln2）
(7)

（Shanks and Wrench 1959；Khinchin 1997，第93页；Borwein and Bailey 2003，第25页；Havil 2003，第161页），其中液化天然气是自然对数,和

product_（k=1）^inftyk^（Delta_k^3）lnk=k^（ln2），
(8)

哪里增量^3（_k）是三阶有限差分算子，后者由分部求和在常用积（对数）中的三个应用定义（W.Gosper，pers.comm.2017年11月14日）。

这样的乘积可以通过取两边的对数并使用lnproduct_（k）a_k^（p_k）=总和_（k）p_klna_k.总金额K（K）包括

K=经验[1/（ln2）总和_（m=1）^系数（H_（2m-1）^'[ζ（2m）-1]）/m]，
(9)

哪里泽塔（z）是黎曼-泽塔函数和H_n^'是交替的谐波数（贝利等。1997),

K=经验[1/（ln2）总和_（K=2）^系数（（-1）^K（2-2^K）zeta^'（K））/K]，
(10)

哪里泽塔^'（z）是导数的黎曼zeta函数（Gosper，pers.comm.，1996年6月25日）和汇合金额最初应归于Gosper（pers.comm.，1996年6月25日）并简化由O.Pavlyk（pers.comm.，2006年4月24日）提供

K=exp{-zeta^'（2,2）+1/（ln2）[sum_（K=2）^infty2（-1）^kf（K）]}，
(11)

哪里

f（k）=（lnk）/（（k+2）k^，
(12)

泽塔（s，a）是一个Hurwitz zeta函数,zeta^'（s，a）=partialzeta/partials、和_2F_1（a，b；c；z）是一个超几何的功能.

Khinchin常数也由积分给出

K（K）=2exp{1/（ln2）int_0^11/（x（1+x））ln[（pix（1-x^2））/（sin（pix））]dx}
(13)
=2exp[1/（ln2）int_0^11/（x（1+x））ln[γ（2-x）γ（2+x）]dx]
(14)

（柄和扳手1959）和

K=exp[（pi^2）/（12ln2）+1/2ln2+1/（ln2）int_0^pi（ln（theta | cottheta |）dtheta）/theta]。
(15)

Corless（1992）表明

lnK=int_0^1（ln|x^（-1）_|）/（（x+1）ln2）dx，
(16)

用一个类似的公式勒维常数.

钦钦常数2

实数 x个为此lim_（n->infty）G_n（x）=K（K）包括x=e,平方米（2）,平方米（3）、和黄金比率 φ，如上图所示。

令人惊讶的是，常数K（K）只是极限情况K=K_0定义的一类方法

K_p=lim_（n->infty）（（a_1^p+a_2^p+…+a_n^p）/n）^（1/p）
(17)

真的p<1其值由

K_p={sum_（K=1）^infty-K^plg[1-1/（（K+1）^2）]}^（1/p）
(18)

（Ryll-Nardzewski，1951年；Bailey等。1997; Khinchin 1997）。的整数表示K_p（千帕）由提供

K_p（千帕）=[1/（ln2）int_0^1（|1/t|^p）/（t+1）dt]^（1/p）
(19)
=[1/（ln2）总和_（k=1）^（infty）k^pln（1+1/（k（k+2）））]^（1/p）
(20)

对于p=-1,-2,…（Iosifescu和Kraaikamp，2002年，第231页）。

常量

K_（-1）=lim_（n->infty）n/（a_1^（-1）+a_2^（-1）++a_n^（-1））
(21)

有时被称为钦钦谐波平均值并且是p=-1此类常数无穷族的情况K=K_0和K_（-1）是前两名成员。

根据k个th偏商q_k（_k）,

M（s，n，x）=（1/nsum_（k=1）^nq_k^s）^（1/s）。
(22)

然后

lim_（n->infty）M（1，n，x）=infty
(23)

几乎是真的x个（钦钦1934年、1936年、克努特1981年、芬奇2003年），以及

M（1，n，x）～O（lnn）。
(24)

此外，对于s<1,极限值

lim_（n->infty）M（s，n，x）=K（s）
(25)

存在并且是常量K（秒）概率为1（Rockett and SzüSz 1992，Khinchin1997).

另请参见

续分数,收敛,高斯-库兹明-维辛常数,Khinchin常数近似,钦钦常数（续）分数,钦钦常数数字,Khinchin调和平均值,勒维常量,Lochs常数,湖泊定理,部分分母,简单续分数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/Constants/Khinchin网站/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Bailey，D.H。；Borwein，J.M。；和克兰德尔·R·E。“关于钦钦常量。”数学。计算。 66, 417-431,1997Bailey，D.H。；Borwein，J.M。；卡普尔，V。；和Weisstein，东-西。“实验数学十题”阿默尔。数学。每月 113,481-509, 2006.Borwein，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，2003年。Corless，R.M.公司。“连续分数和混沌。”阿默尔。数学。每月 99, 203-215, 1992.芬奇，S.R。《钦钦-列维常量》§1.8数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第59-65页，2003R.W.戈斯珀。“更简单的钦钦[是：Re：我的两分钱]”math-fun@cs.arizona.edu邮件列表。1996年6月25日。哈维尔，J。伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，第159页，2003Iosifescu，M.和Kraaikamp，C。公制连分式理论。荷兰阿姆斯特丹：Kluwer，2002年。卡克，M。统计学概率、分析和数论的独立性。罗得岛州普罗维登斯：数学。美国协会。，1959Khinchin，A.Ya。“平均值。”§16英寸继续的分数。纽约：多佛，第86-94页，1997年。钦钦语，答：“Metrische Kettenbruch问题。”合成数学。 1, 361-382,1934Khintchine，A.“Metrische Kettenbruchprobleme”复合材料数学。 2, 276-285, 1936.科努特，D.E。练习24英寸这个计算机编程艺术，第2卷：半数值算法，第3版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第604页，1998年。Le Lionnais，F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎：赫尔曼，第46页，1983年。莱默，D.小时。“关于钦钦语绝对常数的注释。”阿默尔。数学。每月 46, 148-152, 1939.Lévy，P.“Sur les lois”de-probabilityédon相关les商完备et不完备d'une分数继续。"牛市。社会数学。法国 57, 178-194, 1929.莱维，P.“部分的发展仍在继续。”合成数学。 三, 286-303, 1936. 重印于Œ紫红色保罗·莱维（Paul Lévy），第6卷。巴黎：戈蒂尔·维拉斯，第285-302页，1980年。菲利普，“数论中的一些度量定理”太平洋数学杂志。 20,109-127, 1967.A.M.洛克特。和SzüSz，P。继续的分数。新加坡：《世界科学》，1992年。Ryll Nardzewski，C.“关于遍历定理（I，II）。”数学研究生。 12, 65-79,1951Shanks，D.“注意MTE 164。”数学。表格有助于计算。 4,28, 1950.Shanks，D.和W.扳手。Jr.“钦钦常数”阿默尔。数学。每月 66, 148-152, 1959.新泽西州斯隆。A。序列A002210型/M1564，A002211号/M0118，A086702号,A087491号,A087492号,A087493美元,A087494号,A087495号,A087496号,A087497号,A087498号,A087499号,和A087500型在线百科全书整数序列的。"瓦尔迪，I.“钦钦常数”§8.4英寸计算型数学娱乐。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第163-171页，1991扳手，J.W。Jr.“进一步评估钦钦常数”数学。计算。 14, 370-371, 1960.扳手，J.W。年少者。和Shanks，D.“关于钦钦常数和有效性的问题正则连分式的计算。"数学。计算。 20,444-448, 1966.

参考Wolfram | Alpha

钦钦常数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“钦钦常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html网址

主题分类