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几何分布

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几何分布

几何分布为离散分布对于n=0,1, 2, ... 有概率密度函数

P（n）=p（1-p）^n
(1)
=pq^n中，
(2)

哪里0<p<1,q=1-p,和分布函数是

D（n）=总和_（k=0）^（n）P（k）
(3)
=1-q^（n+1）。
(4)

几何分布是唯一的离散的 无记忆的 随机的，随机的分布。它是指数的分布.

请注意，一些作者（例如，Beyer 1987，第531页；Zwillinger 2003，第630-631页）倾向于定义分布，而不是n=1, 2, ..., 而上述分布的形式在中实现Wolfram语言作为几何分布[第页].

P（n）标准化，因为

sum_（n=0）^inftyP（n）=sum_。
(5)

这个原始时刻根据以下方面进行分析这个多对数功能，

muk^'（_k）=sum_（n=0）^（infty）P（n）n^k
(6)
=sum_（n=0）^（infty）p（1-p）^nn^k
(7)
=pLi_（-k）（1-p）。
(8)

这使前几个显式地

mu_1^'=（1-p）/p
(9)
mu_2^'=（（2-p）（1-p））/（p^2）
(10)
mu_3^’=（（1-p）[6+（p-6）p]）/（p^3）
(11)
mu_4^’=（（2-p）（1-p）[12+（p-12）p]）/（p^4）。
(12)

这个中心力矩以解析的形式给出的超然的牧师作为

muk（_k）=总和_（n=0）^（infty）P（n）（n-（1-P）/P）^k
(13)
=pPhi（1-p，-k，（p-1）/p）。
(14)

这使前几个显式地

二氧化锰=（1-p）/（p^2）
(15)
=q/（p^2）
(16)
mu_3=（（p-1）（p-2））/（p^3）
(17)
=（q（2-p））/（p^3）
(18)
四氧化二锰=（（p-1）（-p^2+9p-9））/（p^4），
(19)

所以意思是,方差,偏斜度,和峰态超越由提供

亩=（1-p）/p
(20)
西格玛^2=（1-p）/（p^2）
(21)
γ_1=（2-p）/（平方（1-p））
(22)
γ_2=（p^2-6p+6）/（1-p）。
(23)

对于这个案例p=1/2（对应于硬币掷骰子需要在圣彼得堡悖论)公式(23)给予

mu_k^'|_（p=1/2）=1/2Li_（-k）（1/2）。
(24)

因此，最初的几个原始矩是1、3、13、75、541、。。。。这些数字的两倍是OEISA000629号，其中有指数的生成函数 f（x）=-ln（2-e^x）和g（x）=e^x/（2-e^x）. The意思是,方差,偏斜度、和峰度过量的案件的p=q=1/2由提供

亩=1
(25)
西格玛^2=2
(26)
γ_1=3/2节（2）
(27)
γ_2=(13)/2.
(28)

这个特征函数由提供

φ（t）=p/（1-（1-p）e^（it））。
(29)

第一个累积量几何分布的

kappa_1=（1-p）/p，
(30)

以及后续累积量由重现关系

kappa（r+1）=（p-1）（dkappa）/（dp）。
(31)

这个平均偏差几何分布的是

MD=2（1-p）^（|1/p_|）|_1/p_|，
(32)

哪里|_x个_|是楼层功能.

另请参见

几何级数,超几何的分发,圣彼得堡悖论

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Beyer，W.H。CRC标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第531-532页，1987新泽西州斯隆。答：。顺序A000629号在“整数序列在线百科全书”中明镜，M.R.先生。理论概率统计问题。纽约：McGraw-Hill，第118页，1992Zwillinger，D.（编辑）。CRC公司《标准数学表格和公式》，第31版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第630-631页，2003年。

参考Wolfram | Alpha

几何分布

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“几何分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Geometric Distribution.html

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