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概率密度函数

概率密度函数（PDF）P（x）连续分布的导数（累计）分布函数 D（x）,

D^'（x）=[P（x）]_（-infty）^x
(1)
=P（x）-P（-infty）
(2)
=P（x），
(3)

所以

D（x）=P（X<=X）
(4)
=int_（-infty）^xP（xi）dxi。
(5)

概率函数满足

P（B中的x）=int _ BP（x）dx
（6）

并受归一化条件的约束，

P（-infty<x<inft）=int_（-infty）^inftyP（x）dx
(7)
=1
(8)

特殊情况包括

P（a≤x≤b）=int_a^bP（x）dx
(9)
P（a<=x<=a+da）=int_a^（a+da）P（x）dx
(10)
大约 P（a）da公司
(11)
P（x=a）=int_a^aP（x）dx
(12)
=0
(13)

要在一组变换变量中找到概率函数，请找到雅可比（Jacobian）例如，如果u=u（x），然后

P_udu=P_xdx，
(14)

所以

P_u=P_x|（partialx）/（partial）|。
(15)

类似地，如果u=u（x，y）和v=v（x，y），然后

P_（u，v）=P_（x，y）|（部分（x，y））/（部分（u，v））|。
(16)

鉴于n个概率函数P_1（x）,P_2（年）。。。，P_n（z），的总和分布 X+Y++Z轴具有概率函数

P（t）=初始P_1（x）P_2（y）。。。P_n（z）增量（（x+y+…+z）-t）dxdy。。。dz、，
(17)

哪里德尔塔（x）是一个delta函数类似地，概率分布函数XY。。。Z轴由提供

P（t）=初始P_1（x）P_2（y）。。。P_n（z）增量（xy…z-t）dxdy。。。dz公司。
(18)

这个差异分布 X-Y轴具有概率函数

P（t）=初始P_1（x）P_2（y）增量（（x-y）-t）dxdy，
(19)

和比率分布 X/Y具有概率函数

P（t）=初始P_1（x）P_2（y）增量（（x/y）-t）dxdy，
(20)

鉴于力矩分布的(亩,西格玛、和伽马统计 伽马射线),渐近概率函数由下式给出

P（x）=Z（x）-[1/6gamma_1Z^（（3））（x）]+[1/（24）gamma_2Z^（6）（x）+（1/（1152）gamma_2^2+1/（720）gamma_1gamma_3）Z^（8）。。。，
（21）

哪里

Z（x）=1/（sigmasqrt（2pi））e^（-（x-mu）^2/（2sigma^2））
(22)

是正态分布、和

γ=（kappa_r）/（σ^（r+2））
(23)

对于r> =1（带有卡帕（kappa） 累积量和西格玛这个标准偏差；Abramowitz和Stegun，1972年，第935页）。

另请参见

连续配送,Cornish-Fisher渐近展开,差异分布,离散的分发,分配函数,联合分配函数,产品分发,比率分布,总和分发

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“概率函数”，第26章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第925-964页，1972年。埃文斯，M。；黑斯廷斯，N。；和皮科克，B.“概率密度函数和概率函数”§2.4在里面统计学分发，第3版。纽约：Wiley，2000年，第9-11页。麦克劳林，M.“常见概率分布。”网址：http://www.geocities.com/~mikemclaughlin/math_stat/Dists/Compendium.html.帕普利斯，答：。概率，随机变量和随机过程，第二版。纽约：McGraw-Hill，第94页，1984年。

参考Wolfram | Alpha

概率密度函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“概率密度函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ProbabilityDensityFunction.html

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