话题
搜索

欧拉数

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

欧拉数<n；k>给出了{1,2，…，n}有k个 排列上升（格雷厄姆等。1994年，第267页）。注意，定义略有不同Comtet（1974）使用的是欧拉数，他定义了欧拉数A（n，k）（有时也表示A_（n，k）)作为的数量置换跑长度为k-1号机组,因此A（n，k）=<n；k-1>.

欧拉数是由和明确给出的

<n；k> =总和_（j=0）^（k+1）（-1）^j（n+1；j）（k-j+1）^n
(1)

（Comtet 1974，第243页）。欧拉数满足和恒等式

总和（k=0）^n<n；k> =n！
(2)

以及Worpitzky的身份

总和（k=1）^n（k+x-1；n）<n；k> =x ^n。
(3)

欧拉数也出现在积分新几内亚功能，以及形式的总和

sum_（k=1）^（infty）k^nr^k=锂（-n）（r）
(4)
=1/（（1-r）^（n+1））和（i=0）^；i> r^（n-i），
(5)

哪里锂_（z）是多对数功能。<n；k>因此由系数x^（k+1）在里面

（1-x）^（n+1）Li_（-n）（x））/x。
(6)

<n；k>有指数的生成函数

sum_（k=0）^inftysum_（n=0）；k> （x^n）/（n！）（z^k）/（k！）=（（z-1）e^x）/（ze^x-e^（xz））。
(7)

欧拉数A（n，k）满足递推关系

A（n，k）=（n-k+1）A（n-1，k-1）+kA（n-1，k）。
(8)

特殊情况由

<n；1>=2^n-n-1
(9)
<n；2>=3^n-2^n（n+1）+1/2n（n/1）
(10)
<n；3>=4^n-3^n（n+1）+2^（n-1）n
(11)

并在下表中进行了总结。

k个组织环境信息系统<1; k>,<2; k>,<3; k>, ...
1A000295号0,1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, ...
2A000460号0,0, 1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, ...
三A000498号0,0, 0, 1, 26, 302, 2416, 15619, 88234, ...

数字的排列A（n，k）变成三角形欧拉定律数字三角形

11 11 4 11 11 11 11 26 66 26 11 57 302 302 57 11 120 1191 2416 1191 120 1.
(12)

（组织环境信息系统A008292号). 因此，欧拉数代表了二项式系数其中定义重现关系分别通过其行数和列数对相邻项的总和进行加权。

另请参见

组合锁,欧拉数,欧拉数三角形,欧拉素数,欧拉锯齿形编号,排列升序,置换运行,多对数,西蒙纽科姆问题,Sinc函数,Worpitzky的身份,Z变换

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Abramson，M.和Moser，W.O。J。“没有上升或下降的排列欧米茄-序列。"安。数学。统计师。 38,1245-1254, 1967.André，D.“梅莫尔-苏勒夫妇排列动作。"内存。罗马教皇学院。新林西罗马纳 23,189-223, 1906.Carlitz，L.《香克斯纸上的笔记》阿默尔。数学。每月 59, 239-241, 1952.Carlitz，L.“欧拉法数字和多项式。"数学。美格。 32, 247-260, 1959.卡利茨，L.“欧拉数与高阶多项式”杜克大学数学。J。 27,401-423, 1960.Carlitz，L.“关于欧拉数的注释”架构（architecture）。数学。 14, 383-390, 1963.Carlitz，L.和Riordan，J.“欧拉数的同余”杜克大学数学。J。 20,339-343, 1953.Carlitz，L。；Roselle，D.P。；和Scoville，R.“排列和按增加次数重复的序列。"J.组合Th。 1,350-374, 1966.Cesáro，E.“功能驱动功能。"努夫。安。 5, 305-327, 1886.Comtet公司，L.“按上升数排列；欧拉数”§6.5高级组合数学：有限和无限扩展的艺术，英文版。预计起飞时间。多德雷赫特，荷兰：Reidel，第51页和第240-2461974页。David，F.N。；Kendall，M.G。；和D.E.巴顿。对称的函数和关联表。英国剑桥：剑桥大学出版社，第260页，1966年。Dillon，J.F。；D.P.罗谢尔。“欧拉高阶数。"杜克大学数学。J。 35, 247-256, 1968.福塔，D.和Schützenberger，M.-P。塞奥里欧洲波利尼昂大教堂。柏林：Springer-Verlag，1970弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius）。“Ueber die Bernoullischen Zahlen und欧拉理工大学。"Sitzungsber。普劳斯。阿卡德。威斯。第808-847页，1910格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和O.Patashnik“欧拉里安数字。“§6.2混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第267-272页，1994年。A.C.金伯。“欧拉数。”补充百科全书统计科学。（编辑S.Kotz、N.L.Johnson和C.B.公司。阅读）。纽约：Wiley，第59-60页，1989年。普桑，F.“确定多项式的性质欧拉协会。"C.R.学院。科学。巴黎Sér。A-B公司 266，A392-A3931968年。印度萨拉马。和Kupper，L.L。“欧拉数的几何解释。”阿默尔。数学。每月 93,51-52, 1986.Schrutka，L.“Eine neue Einleitung der Permutationen”数学。安。 118, 246-250, 1941.E.B.香克斯。“已重复二项式系数的幂和。"阿默尔。数学。每月 58,404-407, 1951.新泽西州斯隆。答：。序列A000295号/M3416，A000460号/M4795，A000498号/M5188，和A008292号在线百科全书整数序列的。"Tomić，M.“新等级特殊功能的波利尼奥斯（de polynómes de la théorie des functions spe ciales）。"出版物。工厂。选举。贝尔格莱德大学，1960年第38期。Toscano，L.“苏斯维卢皮·德拉·波坦扎·迪·比诺米奥（sviluppi della potenza di un binomio），q个-欧拉系数。"牛市。S.M.卡拉布雷斯 16,1-8, 1965.

参考Wolfram | Alpha

欧拉数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“欧拉数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Eulerian数字.html

主题分类