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距离规则图

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一个连通图 G公司对于任何顶点，距离都是规则的x个和年属于G公司和任何整数i、 j=0, 1, ...d日（其中d日是图形直径),距离处的顶点数我从x个和距离j个从年仅取决于我，j个、和图形距离之间x个和年，独立于选择x个和年.

特别是，距离规则图是存在整数的图b_i，c_i，i=0，。。。，d日这样，对于任意两个顶点x、 y（以G表示）和距离i=d（x，y），确实有计算机接口的邻居G_（i-1）（x）中的y和BI公司的邻居G_（i+1）（x）中的y，其中G_i（x）是顶点集年属于G公司具有d（x，y）=i（布鲁沃等。1989年，第434页）。阵列表示距离规则图的整数的交叉阵列.

图的距离正则性G公司可以在葡萄中的包间隙使用函数IsDistanceRegular（IsDistance常规）(G公司).

一个断开连接图距离是规则的若（iff）这是一个不相交的联盟共谱距离规则图。

Fiol和Garriga（1997）的一个深层定理指出，图是距离规则的若（iff）对于每个顶点，距离上的顶点数d日（其中d+1天是不同图形特征值的数量）等于光谱（van Dam和Haemers 2003）。

距离规则图的类别包括完全图 K_n（未知），完全偶图 K_（n，n），完全三方图 K_（n，n，n），循环图 C_n（_n）（布劳沃等。1989年，第1页），空的图 K^__n（琐碎地），哈达玛图（布劳沃等。1989年，第19页），超立方体图 问题（_n）（比格斯1993年，第161页），克乃色图 K（n，2），梯形梯级图 nP2型（琐碎地），奇数图 （_n）（比格斯，1993年，第161页），以及柏拉图图（布劳沃等。1989年，第1页）。

距离规则图图形直径 d=2是一个强正则图（比格斯1993年，第159页），以及有联系的距离规则图是共形刚性（斯坦伯格和托马斯2024）。

每距离传递图距离是规则的，但反过来并不一定成立，正如阿德尔·桑·维尔斯基首先展示的那样et（等）阿尔。（1969年；布劳沃等。1989年，第136页）。最小距离规则不是距离传递的是施里罕图（布劳沃等。1989,第136页）。

距离规则立方

全部立方体的已知距离规则图（比格斯等。1986; 布鲁尔等。1989年，第221页；Royle），如图所示并在下表中进行了总结。

n个图表交叉阵列
4四面体的图表{3;1}
6效用图{3,2;1,3}
8立体图{3,2,1;1,2,3}
10彼得森图表{3,2;1,1}
14希伍德图{3,2,2;1,1,3}
18帕普斯图表{3,2,2,1;1,1,2,3}
20Desargues图{3,2,2,1,1;1,1,2,2,3}
20十二面体的图表{3,2,1,1,1;1,1,1,2,3}
28考克塞特图{3,2,2,1;1,1,1,2}
30图特8笼{3,2,2,2;1,1,1,3}
90福斯特曲线图{3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3}
102比格斯·史密斯图表{3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3}
126Tutte 12笼{3,2,2,2,2,2;1,1,1,1,1,3}

全部四次方的已知距离规则图（Brouwer和Koolen 1999），但列表上只有一个图（广义的六边形3阶），其还不知道是由其交会阵列（科伦等。2023).特别是，任何价为4的距离规则图都有17个交点之一下面列出的数组（因此是所描述的16个图形之一，或者是点线关联图3阶广义六边形）

不。v（v）d日图表交叉阵列光谱
151五角形图 K_5号机组{4;1}4^1(−1)4
262八面体图表 K_（3×2）{4,1;1,4}4^10^3(-2)^2
三。82完全二部图 K_（4,4）{4,3;1,4}+/-4^10^6
492广义四边形 GQ（2,1）{4,2;1,2}4^11^4(-2)^4
510三树冠图K_2平方K_5^_{4,3,1;1,3,4}+/-(4^11^4)
614三非偶合图属于PG（2,2）问题31{4,3,2;1,2,4}+/-（4^1第（2）^6节）
715三线图表的彼得森图 L（P）{4,2,1;1,1,4}4^12^5(-1)^4(-2)^5
8164超立方体图表 问题4{4,3,2,1;1,2,3,4}+/-(4^12^4)0^6
921三广义六边形 高（2,1）{4,2,2;1,1,2}4^1（1+/-平方（2））^6（-2）^8
1026三关联图PG（2,3）{4,3,3;1,1,4}+/-（4^1sqrt（3）^（12））
11324关联图阿拉伯海湾（4,4）减去平行类{4,3,3,1;1,1,3,4}+/-(4^12^(12))0^6
1235三古怪的图表 O_4（氧气）{4,3,3;1,1,2}4^12^(14)(-1)^(14)(-3)^6
13454广义八角形 通过（2,1）{4,2,2,2；1,1,1,2}4^13^91^(10)(-1)^9(-2)^(16)
14707丹策尔图表{4,3,3,2,2,1,1;1,1,2,2,3,3,4}+/-(4^13^62^(14)1^(14))
15804(4,8)-笼形图{4,3,3,3;1,1,1,4}+/-（4^1sqrt（6）^（24））0^（30）
161896广义的十二角形 GD（2,1）{4,2,2,2,2,2;1,1,1,1,1,2}4^1（1+/-平方（6））^（21）
177286(4,12)-笼形图{4,3,3,3,3,3;1,1,1,1,1,4}+/-（4^13^（104）平方米（3）^（168））0^（182）

科伦等。（2023）列举18例非-几何的距离规则图直径至少3个最小的图特征值至少-3，如下表所示。

案例图表交会阵列
（a）奇数图 O_4（氧气）{3,3,3;1,1,2}
（b）西尔维斯特图{5,4,2;1,1,4}
（c）的第二个子组霍夫曼-辛格顿图{6,5,1;1,1,6}
（d）佩克尔图表{6,5,2;1,1,3}
（e）辛7-覆盖完全图 K_9公司{8,6,1;1,1,8}
（f）考克塞特图表{3,2,2,1;1,1,1,2}
（g）十二面体图{3,2,1,1,1;1,1,1,2,3}
（h）比格斯·史密斯图表{3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3}
（i）威尔斯曲线图{5,4,1,1;1,1,4,5}
（j）二十面体的图表{5,2,1;1,2,5}
（k）霍尔图{10,6,4;1,2,5}
（l）半立方体图 问题6/2{15,6,1;1,6,15}
（米）高斯图{27,10,1;1,10,27}
（n）减半立方体图形 问题7/2{21,10,3;1,6,15}
（o）24-克莱因图表{7,4,1；1,2,7}
（p）恰好两个距离正则图{9,6,1;1,2,9}
（q）多个距离规则图{15,10,1;1,2,15}
（r）假定距离规则图{18,12,1;1,2,18}

注意，奇数n个-循环图具有n> 3个（满足所有给定标准）显然是悄悄地省略了。

下表总结了一些已知的距离规则图，不包括一些命名的族。

n个图表交叉阵列
5五角星图表{4;1}
6八面体图{4,1;1,4}
816细胞图｛6,1；1,6｝
9广义的四合院(2,1){4,2;1,2}
12二十面体图{5,2,1;1,2,5}
14四次方的顶点传递图问题31{4,3,2;1,2,4}
15广义四边形(2,2){6,4;1,3}
15四次方的顶点传递图问题39{4,2,1;1,1,4}
16Clebsch图{5,4;1,2}
16Shrikhande公司图表｛6,3；1,2｝
16镶嵌图{4,3,2,1;1,2,3,4}
21(7,2)-克乃色图表{10,6;1,6}
21广义六边形(2,1){4,2,2;1,1,2}
22（11,5,2）-关联图{5,4,3;1,2,5}
22（11,6,3）-关联图{6,5,3;1,3,6}
24克莱因图表{7,4,1;1,2,7}
2525-Paulus图{12,6;1,6}
26（13,9,6）-关联图｛9，8，3；1，6，9｝
2626-保卢斯图{10,6;1,4}
26（29，14，6，7）-强正则图（40）{14,7;1,7}
26(4,6)-笼子{4,3,3;1,1,4}
27广义四边形(2,4){10,8;1,5}
27广义的四合院（2,4）负价差1{8,6,1,;1,3,8}
27广义四边形(2,4)负价差2{8,6,1,;1,3,8}
27Schläfli图{16,5;1,8}
28张图｛12，5；1，4｝
28（8，2）-膝盖曲线图{15,8;1,10}
28本地13-佩利图表{13,6,1;1,6,13}
30（15,7,3）-关联图{7,6,4;1,3,7}
32(8,1)-哈达玛图{8,7,4,1;1,4,7,8}
32库默图表{6,5,4;1,2,6}
32威尔斯曲线图{5,4,1,1;1,1,4,5}
35格拉斯曼图表 J_2（4,2）｛18，8；1，9｝
354-古怪的图表{4,3,3;1,1,2}
36六码图{6,5,4,1;1,2,5,6}
36(9,2)-克乃色图表{21,10;1,15}
36西尔维斯特图{5,4,2;1,1,4}
38（19,9,4）-关联图{9,8,5;1,4,9}
42（21,16,12）-关联图{16,15,4;1,12,16}
42(5,6)-笼子{5,4,4;1,1,5}
42Hoffman-Singleton图减号明星{6,5,1;1,1,6}
45(10,2)-膝盖曲线图{28,12;1,21}
45广义的八边形（2，1）{4,2,2,2;1,1,1,2}
45二分Foster图{6,4,2,1;1,1,4,6}
46（23,11,5）-关联图{11,10,6;1,5,11}
48(12,1)-哈达玛图{12,11,6,1;1,6,11;12}
50霍夫曼-辛格尔顿图表{7,6;1,1}
50Hoffman-Singleton图补码{42,6;1,36}
52广义六边形(3,1){6,3,3;1,1,2}
55(11,2)-克乃色图表{36,14;1,28}
56距离2-的图形高斯图{27,16,1;1,16,27}
56盖维茨图表{10,9;1,2}
56高斯图{27,10,1;1,10,27}
57佩克尔图表{6,5,2;1,1,3}
62（31,15,7）-关联图{15,14,8;1,7,15}
62（31,25,20）-关联图{25,24,5;1,20,25}
62(6,6)-笼子{6,5,5;1,1,6}
63(63,32,16,16)-强正则图表{32,15;1,16}
63的辛7-覆盖K_9{8,6,1;1,1,8}
64(1,1)-Doob图{9,6,3;1,2,3}
6464-分圆的图表{21,12;1,6}
65霍尔图{10,6,4;1,2,5}
66(12,2)-膝盖曲线图{45,16;1,36}
70（35,17,8）-关联图{17,16,9;1,8,17}
70(7,3)-二分的膝盖曲线图{4,3,3,2,2,1,1,1；1,1,2,2,3,3,4}
70(8,4)-约翰逊曲线图{16,9,4,1;1,4,9,16}
72末武图表{12,11,8,1;1,4,11,12}
74（37,9,2）-关联图{9,8,7;1,2,9}
77M22图形{16,15;1,4}
78(13,2)-膝盖曲线图{55,18;1,45}
80（40，13，4）-关联图{13,12,9;1,4,13}
80(4,8)-笼子{4,3,3,3;1,1,1,4}
81布劳沃·海默斯图表{20,18;1,6}
91(14,2)-Kneer曲线图｛66,20；1,55｝
94（47,23,11）-关联图{23,22,12;1,11,23}
100霍夫曼-辛格尔顿的二分双生子图表{7,6,6,1,1;1,1,6,6,7}
100可口可乐霍夫曼-辛格尔顿图表{15,14,10,3;1,5,12,15}
100Hall-Janko图{36,21;1,12}
100希格曼-西姆斯图表{22,21;1,6}
105广义六边形(4,1){8,4,4;1,1,2}
112Gewirtz的二分替身图表{10,9,8,2,1;1,2,8,9,10}
112广义四边形(3,9){30,27;1,10}
114（57,49,42）-关联图{49,48,7;1,42,49}
114(8,6)-笼子{8,7,7;1,1,8}
120(120,56,28,24)-强烈地正则图{56,27;1,24}
120(120,63,30,36)-强正则图表{63,32;1,36}
1265-奇数图{5,4,4,3;1,1,2,2}
126(9,4)-约翰逊曲线图{20,12,6,2;1,4,9,16}
126飒拉图表{45,32;1,18}
130格拉斯曼图 J_3（4,2）｛48、27；1、16｝
144减半伦纳德图(2){66,35;1,30}
146（73,64,56）-关联图{64,63,8;1,56,64}
146(9,6)-笼子{9,8,8;1,1,9}
154M22图的二分对偶{16,15,12,4,1;1,4,12,15,16}
155格拉斯曼图表 J_2（5,2）{42,24;1,9}
160广义的八角形(2,1){6,3,3,3;1,1,1,2}
162的第二个子组麦克劳林图表｛105,32；1.60｝
162局部McLaughlin图{56,45;1,24}
162厢式货车Lint-Schrijver图{6,5,5,4;1,1,2,6}
170(5,8)-笼子{5,4,4,4;1,1,1,5}
170(5,8)-笼子{5,4,4,4;1,1,1,5}
175Hoffman-Singleton图的线图{12,6,5;1,1,4}
176(176,70,18,34)-强烈地正则图{70,51;1,34}
176(176,105,68,54)-强正则图表{105,35;1,54}
182(10,6)-笼子{10,9,9;1,1,10}
186广义的六角形（5，1）{10,5,5；1,1,2}
189广义十二角(2,1){4,2,2,2,2,2;1,1,1,1,1,2}
200希格曼-西姆斯的二分双生子图表{22,21,16,6,1;1,6,16,21,22}
210(10,4)-约翰逊曲线图{24,15,8,3;1,4,9,16}
243贝列坎普万绒面花纹图{22,20;1,2}
253(253,112,36,60)-强正则图表{112,75;1,60}
256(1,2)-Doob图｛15,12,9,6,3；1,2,3,4,5｝
266利文斯顿图表{11,10,6,1;1,1,5,11}
275麦克劳林图{112,81;1,56}
288伦纳德图表{12,11,8,1;1,4,11,12}
312(6,8)-笼子{6,5,5,5;1,1,1,6}
315八角形附近的Hall-Janko{10,8,8,2;1,1,4,5}
416G_2（4）图表{100,63;1,20}
425广义八角形(4,1){8,4,4,4;1,1,1,2}
4626-古怪的图表{6,5,5,4,4;1,1,2,2,3}
506截断Witt图{15,14,12;1,1,9}
651格拉斯曼图 J_2（6,2）｛90，56；1，9｝
759大维特图{30,28,24;1,3,15}
1024(1,3)-Doob公司图表{15,12,9,6,3;1,2,3,4,5}
1024(2,1)-Doob图{15,12,9,6,3;1,2,3,4,5}
1170(9,8)-笼子{9,8,8,8;1,1,1,9}
1395格拉斯曼图表 J_2（6,3）{98,72,32;1,9,49}

另请参见

自形图，Biggs-Smith图，Coxeter图，立方（Cubic）对称图形，立方图形，德萨尔格图表，距离传递图，十二面体图，培养图表，全局参数，希伍德图表，交叉点阵列，摩尔图表，Pappus图，彼得森图表，正则图形，Shrikhande公司图表，西尔维斯特图表，泰勒图表，Wells图表

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参考文献

Adel'son-Vel'skii，G.M。；韦斯费勒，B.Ju。；Leman，A.A。；和法拉季耶夫，I.A。“没有传递自同构群。"多克。阿卡德。诺克SSSR 185，975-976中，1969.英文版苏联数学。多克。 10, 440-441, 1969.本迪托，E.公司。；卡莫纳，A。；和Encinas，A.M。“距离规则中的最短路径图。"欧洲。J.组合。 21, 153-166, 2000.比格斯，编号。；Boshier，A。；和Shawe-Taylor，J.《三次距离正则图》J.伦敦数学。Soc公司。 S2-33号机组, 385-394, 1986.北卡罗来纳州比格斯。代数图论，第2版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第13页和1591993年。Brouwer，A.“三次距离正则图”网址：http://www.win.tue.nl/~aeb/graphs/cubicdrg.html.布劳沃，A.E.公司。；科恩，A.M。；和Neumaier，A。规则距离图。纽约：Springer-Verlag，1989年。A.E.Brouwer。和海默斯，W.H。“Gewirtz图：图论中的一个练习光谱。"欧洲联合银行。 14, 397-407, 1993.布劳沃，A.和Koolen，J.“价四的距离正则图”J。代数组合。 10, 5-24, 1999.Eppstein，D.“立方对称xyz图。“2007年10月16日。http://11011110.livejournal.com/120326.html.菲尔，文学硕士。和Garriga，E.“从局部邻接多项式到局部伪距离正则图。"J.组合Th.B 71, 162-183, 1997.戈德西尔，C.和Royle，G。代数图论。纽约：Springer-Verlag，第68-69页，2001年。海默斯，重量小时。和Spence，E.“图与距离正则图的共谱”线性Multilin。藻类。 39, 91-107, 1995.海默斯，W.H。“距离正则性和图的谱。”线性算法。申请。 236，265-278, 1996.Koolen，J.H。；Yu，K。；X·梁。；Choi，H。；和Markowsky，G.“直径至少为3且最小的非几何距离规则图至少特征值-32023年11月15日。https://arxiv.org/abs/2311.09001.罗伊尔，G.“三次对称图（福斯特普查）：距离正则图”http://school.maths.uwa.edu.au/~gordon/remote/foster/#drgs.施泰纳伯格，S.和Thomas，R.R。“保形刚性图”，2024年2月19日。https://arxiv.org/abs/2402.11758.厢式货车达姆，E.R。和海默斯，W.H。“某些物质的光谱特征距离正则图。"J.代数组合。 15, 189-202, 2003.

引用的关于Wolfram | Alpha

距离规则图

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“距离规则图。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Distance-RegularGraph.html

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