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阿佩里常数

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阿佩里常数定义为

zeta（3）=1.2020569。。。，
(1)

（组织环境信息系统A002117号)其中泽塔（z）是黎曼泽塔功能阿佩里（1979）证明了泽塔（3）是不合理的,虽然不知道它是否是超越的.Sorokin（1994）和Nesterenko（1996）随后构造了独立的证明因为…的非理性泽塔（3）（Hata 2000）。阿佩里的证据涉及使用连分数

6/（zeta（3））=5+K_（n=1）^系数（-n^6）/（17[n^3+（n+1）^3]-12（2n+1））
(2)

（Raayoni 2021年，Elimelech等。2023年）。

泽塔（3）自然产生于物理问题，包括电子的二阶和三阶项旋磁比，使用量子电动力学计算。

下表总结了计算上界的进度非理性措施对于ζ（3）.这里是四氧化二锰由提供

四氧化二锰=1+（4平方英尺（平方英尺（2）+1）+3）/（4平方米（2）+1）-3）
(3)
大约 13.4178202
(4)

（Hata 2000）。

多个（_n）上限参考
15.513891莱茵河和维奥拉（2001）
28.830284哈塔（1990）
三12.74359德沃尼奇和维奥拉（1987）
413.41782Apéry（1979）、Sorokin（1994）、Nesterenko（1996），普雷沃斯特（1996）

Beukers（1979）复制了Apéry的有理逼近泽塔（3）使用形式的三重积分

整数_0^1int_0^1int _0^1（L_n（x）L_n（y））/（1-（1-xy）u）dxdydu，
(5)

哪里L_n（x）是一个勒让德多项式.Beukers积分由提供

zeta（3）=-1/2int_0^1int_0^1（ln（xy））/（1-xy）dxdy，
(6)

这是一个特殊情况的结果哈吉科斯塔斯的公式.

这个积分与泽塔（3）使用奇怪的身份

整数_0^1int_0^1int _0^1（x^ry^s）/（1-（1-xy）u）dxdydu={2zeta（3）-sum_（l=1）^（r）2/（l^3）对于r=s；sum_（l=min（r，s）+1）^
（7）
=r=s时为{2zeta（3）-2H_r^（（3）），
(8)

哪里H_r^（（n））是广义的谐波数和磅平方英寸_k（x）是一个多囊膜功能（Hata 2000）。

相关金额泽塔（3）包括

泽塔（3）=5/2总数_（n=1）^（数量）（（-1）^（n-1））/（n^3（2n；n））
(9)
=5/2sum_（k=1）^（infty）（（-1）^[k+1）（k！）^2）/（2k）！k^3）
(10)

（由Apéry使用），相关金额

zeta（3）=2/3（ln2）^3+4sum_（k=1）^infty（（-1）^（k+1））/（k^32^k（2k；k））
(11)

2002年，G.Huvent首次证明了这一点（Gourevitch），B.Cloitre（2004年10月8日，pers.comm.）再次发现了这一现象，以及

sum_（k=0）^（infty）1/（（2k+1）^3）=7/8泽塔（3）
(12)
=λ（3）
(13)
sum_（k=0）^（infty）1/（（3k+1）^3）=（2pi^3）/（81sqrt（3））+（13）/（27）zeta（3）
(14)
sum_（k=0）^（infty）1/（（4k+1）^3）=（pi^3）/（64）+7/（16）zeta（3）
(15)
sum_（k=0）^（infty）1/（（6k+1）^3）=（pi^3）/（36sqrt（3））+（91）/（216）zeta（3），
(16)

哪里λ（z）是Dirichlet lambda函数. The上述方程是Ramanujan（Berndt 1985）得出的一般结果的特例。

阿佩里常数由无限族给出BBP型公式表单的

泽塔（3）=4/3sum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（（1+k）^3）
(17)
=4/3sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[1/（（3k+1）^3）-1/（3k+2）^3
(18)
=3/2总数_（k=0）^（数量）（-1）^k[1/（（3k+1）^3）-1/（（3k+2）^3）-2/（（3k+3）^3）]
(19)
=4/3sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[1/（（5k+1）^3）-1/（5k+2）^3
(20)
=1/（15）总和_（k=0）^（系数）（-1）^ k[（21）/（（5k+1）^3）-（21）（5k+2）^3
(21)
=4/3sum_（k=0）^（infty）（-1）^k[1/（（7k+1）^3）-1/（7k+2）^3
(22)
=1/（30）总和_（k=0）^（infty）（-1）^k[（41）/（7k+1）^3）-
(23)

（E.W.Weisstein，2006年2月25日），以及令人惊讶的两个特殊总和

泽塔（3）=1/（672）sum_（k=0）^（infty）1/（4096^k）[（2048）/（24k+1）^3）-（11264）/（24k+2）^3）-（1024）/（24k+3）^3）+（11776）/（24k+4）^3）-（512）/（24k+5）^3）+（4096）/（24k+6）^3）+（256）/（24k+7）^3）+（3456）/（24k+8）^3）+（128）/（（24k+9）^3）-（704）/（24k+10）^3）-（64）/（24k+11）^3）-（128）/（24k+12）^3）-（32）/（24k+13）^3）-（176）/（24k+14）^3）+（16）/（24k+15）^3）+（216）/（24k+16）^3）+8/（24k+17）^3） +（64）/（（24k+18）^3）-4/（（24 k+19）^3
(24)
=9/（224）总和_（k=0）^（infty）1/（4096^k）[（1024）/（（24k+2）^3）-（3072）/（24k+3）^2）+（512）/+（16）/（24k+14）^3）+（48）/（（24k+1 5）^3”+（72）/（24 k+16）^3“+（16。
(25)

Bailey将确定这种类型的总和作为练习等。(2007,第225页；已更正打字错误）。

一个美丽的双系列对于泽塔（3）由提供

zeta（3）=1/3sum_（i=1）^inftysum_（j=1）|infty（i-1）！（j-1）！）/（（i+j）！）H_（i+j），
(26)

哪里H_n（H_n）是一个谐波数（O.Oloa，个人通讯。，2005年12月30日）。

阿佩里的证据依赖于证明

a（n）=总和_（k=0）^n（n；k）^2（n+k；k），
(27)

哪里（n；k）是一个二项式系数，满足递推关系

n^3ann-（34n^3-51n^2+27n-5）a（n-1）+（n-1”^3a（n-2）=0
(28)

（van der Poorten 1979年，Zeilberger 1991年）。这个特征多项式 x^2-34x+1有根（1+/-平方（2））^4,所以

lim（n->infty）（a（n+1））/（a_n）=（1+sqrt（2））^4
(29)

是不合理的a_n（名词）无法满足二期复发（Jin和Dickinson 2000）。

Apéry常数也由

zeta（3）=8sum_（n=1）^infty（S_（n，2））/（n！n），
(30)

哪里S_（n，m）是一个第一类斯特林数.这可以改写为

泽塔（3）=1/2sum_（n=1）^（infty）1/（n^2）（1+1/2+…+1/n）
(31)
=1/2sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^2），
(32)

哪里H_n（H_n）是n个第个谐波数（卡斯特拉诺斯，1988年）。

使用Amdeberhan（1996）Wilf-Zeilberger对 （F，G）具有

F（n，k）=（（-1）^kk^2（sn-k-1）！）/（（sn+k+1）！（k+1）），
(33)

s=1以获得

zeta（3）=5/2sum_（n=1）^infty（-1）^（n-1）1/（（2n；n）n^3）。
(34)

对于s=2,

zeta（3）=1/4sum_（n=1）^infty（-1）^（n-1）（56n^2-32n+5）/（2n-1）^2）1/（（3n；n）（2n；n
(35)

（Boros和Moll，2004年，第236页；Amdeberhan，1996年），以及s=3,

zeta（3）=sum_（n=0）^inff（（-1）^n）/（72（4n；n）（3n；n））（5265n^4+13878n^3+13761n^2+6120n+1040）/（（4n+1）（4n+3）（n+1）
(36)

（Amdeberhan，1996年）。相应的G（n，k）对于s=1和2是

G（n，k）=（2（-1）^kk^2（n-k）！）/（（n+k+1）！（n+1）^2）
(37)

和

G（n，k）=（（-1）^kk^2（2n-k）！（3+4n）（4n^2+6n+k+3））/（2（2n+k+2）！（n+1）^2（2n+1）（^2）。
(38)

Amdeberhan和Zeilberger（1997）使用了威尔夫·泽尔伯格一对与的身份

F（n，k）=（-1）^k（n！^6（2n-k-1）！（k！）^3）/（2（n+k+1）^2（（2n）！）^3),
（39）

s=1、和t=1，以获得快速收敛的级数

zeta（3）=sum_（n=0）^infty（-1）^n（（n！）^（10）（205n^2+250n+77））/（64（（2n+1）！）^5),
(40)

用于计算(3)到100万个十进制数字。坎贝尔（2022）使用了WZ获取的方法

zeta（3）=-2/7-1/（448）sum_（n=1）^infty（（-2^（12））^n（7168n^5-1664n^4-1328n^3+212n^2+49n-9））/（n^4（2n-1）（3n+1）（4n+1）。
(41)

积分对于泽塔（3）包括

泽塔（3）=1/2英寸_0^英寸（t^2）/（e^t-1）dt
(42)
=8/7[1/4pi^2ln2+2int_0^（pi/2）xln（sinx）dx]。
(43)

Gosper（1990）给出了

zeta（3）=1/4sum_（k=1）^infty（30k-11）/（（2k-1）k^3（2k；k）^2）。
(44)

A类连分数涉及Apéry’s常数为

6/（zeta（3））=5-（1^6）/（117-）（2^6）或（535-）。。。（n^6）/（34n^3+51n^2+27n+5-）。。。
(45)

（1979年4月，《狮子座》1983年）。

泽塔（3）与Glaisher-Kinkelin公司常数 A类和多囊膜功能 psi_n（z）通过

zeta（3）=2/3pi^2[12psi_（-4）（1）-6lnA-ln（2pi）]。
(46)

Gosper（1996）表示泽塔（3）作为矩阵乘积

lim_（N->infty）产品_（N=1）^NM_N=[0 zeta（3）；0 1]，
(47)

哪里

M_n=[（n+1）^4）/（4096（n+5/4）^2（n+7/4）^2）（24570n^4+64161n^3+62152n^2+26427n+4154）/（31104（n+1/3）（n+1/2）（n+2/3））；0 1]
(48)

其给出每个项12个比特。前几个术语是

M_1=[1/(19600) (2077)/(1728); 0 1]
(49)
M_2（M_2）=[1/(9801) (7561)/(4320); 0 1]
(50)
M_3号=[9/(67600) (50501)/(20160); 0 1],
(51)

它给出了

ζ（3）约（423203577229）/（352066176000）=1.20205690315732。。。。
(52)

给定三个整数随机选择，概率没有一个共同的因素会把他们全部分开

[泽塔（3）]^（-1）约1.20206^（-1）约0.831907。
(53)

另请参见

Apéry常数逼近,阿佩里的常数连分式,阿佩里的常量数字,哈吉科斯塔斯公式,普朗克辐射函数,黎曼Zeta函数,黎曼-泽塔函数泽塔(2),三对数,威尔夫·泽尔伯格一对

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Amdeberhan，T.“快速收敛级数泽塔（3）."电子J.组合数学 三第1期，R131-2996。http://www.combinatics.org/Volume_3/Abstracts/v3i1r13.html.阿姆德伯汉，T.和Zeilberger，D.“通过WZ方法的超几何级数加速”电子J.组合数学 4，第2号，R31-31997。http://www.combinatics.org/Volume_4/Abstracts/v4i2r3.html.也可在http://www.math.temple.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/accel.html.阿普里，R.“非理性泽塔（2）et（等）泽塔（3）."Astérisque酒店 61, 11-13, 1979.贝利，D.小时。；Borwein，J.M。；新泽西州卡尔金。；Girgensohn，R。；卢克·D·R。；和V.H.Moll。实验数学在行动。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2007年。贝利，D.H.博士。和克兰德尔·R·E。“随机生成器和正常数。”专家。数学。 11, 527-546, 2002.2月22日的预印本，2003年可在网址：http://www.nersc.gov/~dhbailey/dhbpapers/bcnormal.pdf.伯恩特，公元前。拉马努扬的笔记本：第一部分。纽约：Springer-Verlag，1985年。比克斯，F.“关于泽塔（2）和泽塔（3）."牛市。伦敦数学。Soc公司。 11, 268-272,1979阿佩里数字的另一个一致性J.编号Th。 25, 201-210, 1987.Boros，G.和Moll，V。不可抗拒的积分：积分评估中的符号学、分析和实验。英国剑桥：剑桥大学出版社，2004年。博温，J.M。和Borwein，P.B。圆周率&AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，1987年。J.M.坎贝尔。“WZ身份证明来自Chu和Kiliç，有应用。”申请。数学。电子票据,22,354-361, 2022.Castellanos，D.“无处不在的Pi.第一部分”数学。美格。 61, 67-98, 1988.康威，J.H。还有盖伊，对。《大谜》这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，第261-262页，1996年。德比郡，J。Prime（主要）迷恋：伯恩哈德·里曼和数学中最伟大的未解决问题。纽约：企鹅出版社，第76和3712004页。Dvornicich，R.和Viola，C.《关于Beukers积分的一些评论》数论，合作数学。János Bolyai出版社，第51卷。荷兰阿姆斯特丹：北荷兰，第637-657页，1987年。Elimelech，R。；O.大卫。；德拉克鲁斯·蒙古尔，C。；Kalisch，R。；伯恩特，W。；Shalyt，M。；Silberstein，M。；哈达德，Y。；和卡米纳，I.“算法辅助发现数学常数的内在顺序。”2023年8月22日。https://arxiv.org/abs/2308.11829.尤厄尔，J.A.公司。“新系列表示法泽塔（3）."阿默尔。数学。每月 97, 219-220,1990芬奇，S.R。“阿佩里常数”§1.6在里面数学常数。英国剑桥：剑桥大学出版社，第40-53页，2003R.W.戈斯珀。“废弃矿田的露天开采《十九世纪数学》。“输入计算机数学（编辑D.V.Chudnovsky和R.D.Jenks）。纽约：Dekker，1990年。R.W.戈斯珀。“泽塔（3）至250000数字。" math-fun@cs.arizona.edu发布，9月。1, 1996.Gourevitch，P.“世界圆周率."http://www.pi314.net/hypergse11.php.古尼克，洛杉矶。“关于某些包含泽塔（3）."女演员阿里思。 42, 255-264, 1983.英语翻译阿默尔。数学。社会事务处理。 140, 45-55, 1988.海布尔，B.和Papanikolaou，T.“有理数列的快速多精度评估数字。“技术报告TI-97-7。德国达姆施塔特：达姆施塔大学1997年4月。Hata，M.“新的非理性措施对于ζ（3）."女演员阿里思。 92, 47-57, 2000.哈维尔，J。伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，第42页，2003Huvent，G.“订单供应表”，Pi314.net，2002http://s146372241.onlinehome.fr/web/pi314.net/supgase11.php#x13-107002r480个.Huylebrouck，D.“非理性证据中的相似性圆周率,液化天然气,泽塔（2）、和ζ（3）."阿默尔。数学。每月 108, 222-231,2001Jin，Y.和Dickinson，H.“Apéry序列和传说转变。”J.澳大利亚。数学。Soc.序列号。A类 68, 349-356, 2000.勒Lionnais，F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎：赫尔曼，第36页，1983年。内斯特伦科，余。五、。“关于泽塔（3）."马特·扎梅特基 59, 865-880, 1996.英语翻译数学。笔记 59, 625-636, 1996.普劳夫，S.“常数计算的当前记录表”http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.普雷沃斯特，M.“非理性的新证明泽塔（2）和泽塔（3）使用PadéApproximants。”J.计算。申请。数学。 67, 219-235, 1996.拉约尼，G；哥特利布，S。；庄园，年。；Pisha，G。；哈里斯，Y。；美国门德洛维奇。；哈维夫，D。；哈达德，Y。；和Kaminer，I.“发电关于Ramanujan机器基本常数的猜想。”自然 590,67-73, 2021.Rhin，G.和Viola，C.“泽塔（3）."女演员阿里思。 97,2001年2月26日至29日。新泽西州斯隆。答：。顺序A002117号/M0020型在“整数序列在线百科全书”中索罗金，V.N.公司。“Nikishin系统的Hermite-Padé近似和非理性泽塔（3）."Uspekhi Mat.Nauk公司 49, 167-168, 1994. 英语翻译俄语数学。调查 49, 176-177, 1994.斯利瓦斯塔瓦，H.M。“有些Riemann-Zeta函数求值和表示的简单算法在正整数参数处。”数学杂志。分析。应用。 246, 331-351,2000van der Poorten，A.“Euler错过的证据……Apéry的非理性的证明泽塔（3）."数学。英特尔。 1, 196-203, 1979.韦德尼夫斯基，美国“128000026泽塔数字（3）。”http://pi.lacim.ukam.ca/piDATA/Zeta3.txt.威尔斯，D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯：企鹅图书，第33页，1986年。Zeilberger，D.“创造性的方法伸缩。”J.塞姆。计算。 11，195-2041991年。

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阿佩里常数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“阿佩里常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/AperysConstant.html

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