Zeta函数

Zeta函数通常包括采取往复式无穷幂级数。最著名的zeta函数是黎曼-泽塔函数.

欧拉zeta函数

利昂哈德·尤勒定义了zeta函数实际变量的 ${\显示样式\脚本样式\，}$ 通过以下方式无穷级数，其收敛于 ${\显示样式\脚本样式\，>\，1\，}$

{\displaystyle\zeta（s）\equiv\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}={\frac{1}{1^{s{}}}+{\ frac{1}{2^{sneneneep}}+}\frac}1}{3^{s｝}+{\frac:1}{4^{sneneneei}+\cdot，\quad s>1.\，}

这个级数收敛于复杂平面对于 ${\displaystyle\scriptstyle{\mathfrak{R}}（s）\，>\，1\，}$ .功能 ${\显示样式\脚本样式\泽塔\，}$ 可以是分析性续(全形扩张)对整体而言 ${\显示样式\脚本样式\，}$ -平面（除了 $｛\displaystyle\scriptstyles\，=\，1\，｝$ ，），这将被称为黎曼-泽塔函数，于1859年晚些时候推出。

欧拉产品

然后他发现它与质数并证明了这个著名的结果欧拉产品

{\displaystyle\zeta（s）=\prod_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{1-{\tfrac{1}}{p_{i}}^{s}}}}={\frac{1}{1-}\tfrac}}}{2^{s{}}}\cdot{\frac}1}{1-{\tfrac:}}}\tfrac{1}{5^{s}}}}\cdot{\frac{1'{1-{\tfrac}}}{7^{s{}}}\cdot}\frac}1}{1-{\tfrac{1}}{11^{sneneneep}}}\ cdots，\，}

哪里 ${\显示样式\脚本样式p_{i}\，}$ 是 ${\显示样式\脚本样式i\，}$ ^第个首要的.

偶数正整数的闭式公式

欧拉研究了整数值函数 ${\显示样式\脚本样式\，}$ 并成功地根据伯努利数对于正偶数整数

{\displaystyle\zeta（2k）={\frac{2^{2k-1}~\pi^{2k}}{（2k

哪里 ${\显示样式\脚本样式B_{n}\，}$ 是 ${\显示样式\脚本样式n\，}$ ^第个伯努利数.

奇数没有闭合公式 ${\显示样式\脚本样式\，}$ 尚未找到！ ${\显示样式\脚本样式\泽塔（3）\，}$ 被称为阿佩里常数。它是以命名的罗杰·阿佩里（1916-1994），1978年他证明了这一点不合理的.

的值 ${\显示样式\脚本样式\泽塔\，}$ 对于整数 ${\显示样式\脚本样式\，}$ 在范围2到12中，在正则正交数相关公式和值表.

zeta函数的倒数

zeta函数的倒数由以下公式获得莫比乌斯反演

{\显示样式{\frac{1}{\zeta（s）}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\mu（n）}{n^{s}}，\，}

哪里 ${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，}$ 是莫比乌斯函数.

等效地，我们可以说莫比乌斯函数提供了狄利克雷生成序列黎曼ζ函数的倒数。

相反， ${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{\zeta（s）}}\，}$ 是Dirichlet生成函数的莫比乌斯函数 ${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，}$ 为所有人正整数.

欧拉交替zeta函数

欧拉还定义了交替zeta函数 ${\displaystyle\scriptstyle\phi（s）\，}$ （也表示 ${\显示样式\脚本样式\泽塔^{*}\，}$ )实际变量的 ${\显示样式\脚本样式\，}$ （也称为狄利克雷eta函数 ${\显示样式\脚本样式\ eta \，}$ )由以下无穷级数收敛 ${\显示样式\脚本样式\，>\，0\，}$

{\displaystyle\phi（s）\equiv\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{（-1）^{n+1}}{n^{s}}={\frac{1}{1^{s{}}}-{\ frac{1}}{2^{sneneneep}}+{\frac-1}{3^{s｝}-{\frac:1}{4^{sneneneei}+\cdot，\quad s>0。\，}

欧拉想计算 ${\displaystyle\scriptstyle\phi（s）\，}$ 对于 ${\显示样式\脚本样式s\，=\，-m\，}$ 具有 ${\显示样式\脚本样式m\，}$ = 0, 1, 2, 3, ... 为此，他介绍了欧拉多项式.

该级数在复平面上收敛 ${\displaystyle\scriptstyle{\mathfrak{R}}（s）\，>\，0\，}$ .功能 ${\displaystyle\scriptstyle\phi（s）\，}$ 可以是分析性续(全纯扩展)对整体而言 ${\显示样式\脚本样式\，}$ -平面。它与 ${\显示样式\脚本样式\泽塔\，}$ -按关系函数