莫比乌斯函数

这个莫比乌斯函数，以以下名称命名八月费迪南德·莫比乌斯（其中Möbius有时被音译，没有变音的，作为Mœbius，Moebius或Mobius），表示

μ (n个)

，指示是否正整数是无平方的，如果是，它是否具有古怪的或即使数量基本因子.因此

${\显示样式\mu（n）：={\开始{案例}-1&{\text{if}}\Omega（n）=\Omega（n；0&{\text{if}}\Omega（n）>\欧米茄（n），\\\；\；1&{\text{if}}\Omega（n）=\Omega（n{案例}-1&{\text{if}}\Omega（n）=\Omega（n；0&{\text{if}}\Omega（n）>\欧米茄（n），\\\；\；1&{\text{if}}\Omega（n）=\Omega（n$

哪里

ω (n个)

是不同素因子的个数属于

n个

,

Ω (n个)

是素因子数（重复）属于

n个

。请注意

n个

是无平方的当且仅当

Ω (n个) =ω (n个)

.利用

( − 1) k个

交替出现在 + 1和 − 1，取决于

k个

（请参见A033999号对于

( − 1) n个,n个≥0

)，我们可以将定义浓缩为

$｛\displaystyle\mu（n）：=｛\begin｛cases｝（-1）^｛\omega（n）｝&｛\text｛if｝｝\omega（n）=\omega（n），\\0&｛\text｛if｝｝\omega（n）>\omega（n），\end｛cases｝｝｝$

并使用艾弗森支架，我们可以进一步将定义浓缩为

${\显示样式\mu（n）：=[\omega（n）=\omega（n$

（何时

Ω (n个) >ω (n个)

，艾弗森支架是0并且没有必要进行评估

( − 1) ω (n个)

，这被称为短路求值.)我们不再考虑1一个质数（就像八月费迪南德·莫比乌斯时代的情况一样)，数字1素数因子为偶数，即零，因此

μ (1) = 1

。这简化了我们稍后将看到的某些身份。有关Möbius函数的更多值，请参阅A008683号.

莫比乌斯函数相关值表

莫比乌斯函数相关值

n个	Ω (n个)，ω (n个)	莫比乌斯 μ (n个) A008683号 μ (n个) =  − 1 以下为：A030059型 μ (n个) = 0 以下为：A013929号 μ (n个) = +1 以下为：A030229号	梅滕斯 米 (n个)以下为：= ∑ n个 我=1  μ (我 ) A002321号
1	0, 0	1	1
2	1, 1	–1	0
三	1, 1	–1	–1
4	2, 1	0	–1
5	1, 1	–1	–2个
6	2, 2	1	–1
7	1, 1	–1	–2个
8	3, 1	0	–2个
9	2, 1	0	–2个
10	2, 2	1	–1
11	1, 1	–1	–2个
12	3, 2	0	–2个
13	1, 1	–1	–3
14	2, 2	1	–2个
15	2, 2	1	–1
16	4, 1	0	–1
17	1, 1	–1	–2个
18	第3页，第2页	0	–2个
19	1, 1	–1	–3
20	3, 2	0	–3
21	2, 2	1	–2个
22	2, 2	1	–1
23	1, 1	–1	–2个
24	4, 2	0	–2个
25	2, 1	0	–2个
26	2, 2	1	–1
27	3, 1	0	–1
28	3, 2	0	–1
29	1, 1	–1	–2个
30	3、3	–1	–3
31	1, 1	–1	–4
32	5, 1	0	–4

该值在中可用PARI/GP公司在Mathematica中称为“moebius（n）”和“MoebiusMu[n]”。

渐进行为

这个求和象限函数定义为

${\显示样式Q（n）：=\sum_{i=1}^{n}|\mu（n）|，}$

哪里

| μ (n个) |

是方弗雷函数，的无平方数的特征函数.

这个渐近密度属于无平方数对应于可能性两个随机选择的整数是互质

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\frac{Q（n）}{n}}=\prod_{n=1}^{\infty}{\bigg$

哪里

第页n个

是

n个

第个 素数、和

ζ (秒)

是黎曼-泽塔函数.

奇数无平方数的渐近密度基本因子等于素数为偶数的无平方数的渐近密度，即。

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{n}[\mu（i）=-1]}{n}}=\lim_}n\to\infty}{\frac{\sum _{i=1}^{n}[\mo（i）=+1]}{n}={\frac{1}{2\zeta（2）}}={\frac{3}{\pi^{2}}}}，}$

哪里

[·]

是艾弗森支架.

这个Mertens函数图（该默滕斯函数成为求和Möbius函数)似乎表示Mertens函数的平均负偏差，这意味着存在偏差（与切比雪夫偏差)支持素数为奇数的无平方数，而不是素数为偶数的无方数。这种偏差的存在与否，如果足够小，将不会对渐近行为产生影响。

Möbius函数的部分和

这个部分和Möbius函数的Mertens函数

$｛\displaystyle M（n）：=\sum_｛i=1｝^｛n｝\mu（i）。｝$

除了

n个= 1

，我们发现，给定

n个

,

{d日1, ...,d日τ (n个)}

，其中

τ (n个)

是除数属于

n个

，然后

${\displaystyle\sum_{i=1}^{\tau（n）}\mu（d_{i}）=0.}$

Dirichlet生成函数

自反向的黎曼-泽塔函数由狄里克莱级数莫比乌斯函数为Dirichlet字符(Dirichlet生成序列)

${\显示样式{\frac{1}{\zeta（s）}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\ frac{\mu（n）}{n^{s}}，\\Re（s）>1，}$

我们有那个Dirichlet生成函数Möbius函数的反向的黎曼-泽塔函数

$显示样式D_{\{\mu（n）}}={\frac{1}{\zeta（s）}}.}$

Möbius函数是多维双曲面的点数之和：

${\displaystyle\mu（n）={\underset{n=1}{1}}-{\underset{a=n}{\sum_{a\geq2}}}1+{\undertset{ab=n}}{\sum_{a \geq2}\sum_{b\geq2\}}1-{\unders集{abc=n}{\sum a\geq 2}\sum_{b\gerq2}}}}1+{et{abcd=n}{sum{a\geq2}\sum{b\geq2]\sum{c\geq2}\sum_{d\geq2{}}}1-\cdots}$

属性

${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\mu（n）}{n^{s}}={\frac{1}{\zeta（s）}}=\prod_{p{\rm{~prime}}{\bigg（}1-{\frac:1}{p^{s{}}{\ bigg{1}{n^{s}}}{\bigg）}^{\chi_{\rm{prime}}（n）}，\，{\mathfrak{R}}>1，}$

哪里

ζ (秒)

是黎曼-泽塔函数和

χ首要的(n个)

是素数的特征函数.

${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\mu（n）}{n}}=0，}$

${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\mu（n）\log（n）}{n}}=-1，}$

${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{q（n）}{n^{2}}=\sum_}n=1}\pi^{2}}}，}$

哪里 

问(n个) := | μ (n个) |

是方弗雷函数.

${\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}（1-x^{n}）^{\frac{\mu（n）}{n}}=e^{-x}，\，|x|<1.}$

莫比乌斯反演

Möbius函数用于定义莫比乌斯变换（或莫比乌斯反演)序列的

$显示样式b{n}=\sum_{d|n}\mu{big（}{\tfrac{n}{d}}{big）}a{d}，\a{n}=\sum_d}b{d}.}$

序列

A030059型

μ (n个) =  − 1

：不同素数奇数的乘积。

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47, 53, 59, 61, 66, 67, 70, 71, 73, 78, 79, 83, 89, 97, 101, 102, 103, 105, 107, 109, 110, 113, 114, 127, 130, 131, 137, 138, 139, 149, 151, 154, ...}

A013929号

μ (n个) = 0

：不平方的数字。可被大于的平方整除的数字1.的补语A005117号.

{4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 68, 72, 75, 76, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 104, 108, 112, 116, 117, 120, 121, 124, 125, 126, 128, ...}

A030229号

μ (n个) =  + 1

：偶数个不同素数的乘积。

{1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, ...}

A008683号Moebius（或Mobius）函数

μ (n个)

.

{1, –1, –1, 0, –1, 1, –1, 0, 0, 1, –1, 0, –1, 1, 1, 0, –1, 0, –1, 0, 1, 1, –1, 0, 0, 1, 0, 0, –1, –1, –1, 0, 1, 1, 1, 0, –1, 1, 1, 0, –1, –1, –1, 0, 0, 1, –1, 0, 0, 0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, 1, 1, –1, 0, –1, 1, 0, 0, 1, –1, –1, ...}

A002321号 Mertens函数以下为：

∑ 1  ≤  k个  ≤  n个 1  ≤  k个  ≤  n个 μ (k个)

，其中

μ (k个)

是Möbius函数(A008683号).

{1, 0, –1, –1, –2, –1, –2, –2, –2, –1, –2, –2, –3, –2, –1, –1, –2, –2, –3, –3, –2, –1, –2, –2, –2, –1, –1, –1, –2, –3, –4, –4, –3, –2, –1, –1, –2, –1, 0, 0, –1, –2, –3, –3, –3, –2, –3, –3, –3, –3, –2, –2, –3, –3, ...}

另请参见

• Mertens函数
• Möbius变换
• Möbius变换