Zeta函数通常包括采取往复式无穷幂级数。最著名的zeta函数是黎曼-泽塔函数.
欧拉zeta函数
利昂哈德·尤勒定义了zeta函数实际变量的解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，}通过以下方式无穷级数，收敛于解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，>\，1\，}
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\zeta（s）\equiv\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\frac{1}}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1\{3^s}+\frac}1}{4^s}+/cdot，\quad s>1.\，}
这个级数收敛于复平面对于解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\scriptstyle\mathfrak{R}（s）\，>\，1\，}.功能解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\泽塔\，}可以是分析性续(全形扩张)对整体而言解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，}-平面（除了解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，=\，1\，}，），这将被称为黎曼-泽塔函数1859年晚些时候引入。
欧拉产品
然后他发现它与质数并证明了这个著名的结果欧拉乘积
- 无法分析（带有SVG或PNG回退的MathML（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的无效响应（“Math扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\zeta（s）=\prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-\tfrac{1'{p_i}^s}}=\frac}{1-\t frac{1\{1}}{2^s}{\cdot\fracc{1{1-\tfrac{1}{3^s}}\cdot\ frac{1}{1-\tfrac{1}5^s}neneneep ot\frac{1}{1-\tfrac{1}}{7^s}}\cdot\frac}{1}{1-\trac{1{11^s}{cdots，\，}
哪里解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式p_i\，}是解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式i\，}
第个 首要的.
偶数正整数的闭式公式
欧拉研究了整数值函数解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，}并成功地根据伯努利数对于正偶数整数
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\zeta（2k）=\frac{2^{2k-1}~\pi^{2k}}{（2k
哪里解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式B_n\，}是解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式n\，}
第个 伯努利数.
奇数没有闭合公式解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，}尚未找到！解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：｛\displaystyle\scriptstyle\zeta（3）\，｝被称为阿佩里常数。它是以罗杰·阿佩里（1916-1994），1978年他证明了这一点不合理的.
的值解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\泽塔\，}对于整数解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，}在范围2到12中，在正则正交数相关公式和值表.
zeta函数的倒数
zeta函数的倒数由以下公式获得莫比乌斯反演
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\frac{1}{\zeta（s）}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu（n）}{n^s}，\，}
哪里解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\scriptstyle\mu（n）\，}是莫比乌斯函数.
等价地，我们可以说莫比乌斯函数提供了Dirichlet生成序列黎曼-泽塔函数的倒数。
相反，解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\scriptstyle\frac{1}{\zeta（s）}\，}是Dirichlet生成函数的莫比乌斯函数 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：｛\displaystyle\scriptstyle\mu（n）\，｝为所有人正整数.
欧拉交替zeta函数
欧拉也定义了交替zeta函数 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\scriptstyle\phi（s）\，}（也表示解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\泽塔^*，})实际变量的解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，}（也称为Dirichlet eta函数 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\ eta（s）\，})由以下无穷级数收敛解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，>\，0\，}
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\phi（s）\equiv\sum_{n=1}^\infty\frac{（-1）^{n+1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1'{3^s}-\frac{1\{4^s}+\cdot，\quad s>0.\，}
欧拉想计算解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\scriptstyle\phi（s）\，}对于解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，=\，-m\，}具有解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式m\，}= 0, 1, 2, 3, ... 为此，他介绍了欧拉多项式.
这个级数在复平面上收敛无法分析（带有SVG或PNG回退的MathML（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的无效响应（“Math扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\scriptstyle\mathfrak{R}（s）\，>\，0\，}.功能解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\scriptstyle\phi（s）\，}可以是分析性续(全形扩张)对整体而言解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\，}-平面。它与解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\脚本样式\泽塔\，}-按关系函数
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\phi（s）=（1-2^{1-s}）\zeta（s），\quad s\neq 1.\，}
的一些值解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\scriptstyle\phi（s）\，}
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\phi（0）=（1-2^{1-0}）\zeta（0）=-（-\tfrac{1}{2}）=\tfrac}{1}，}
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\phi（1）=\sum_{n=1}^\infty\frac{（-1）^{n+1}}{n}=\log（2），{\rm~来自}\log
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\显示样式\phi（2）=\tfrac{1}{2}\zeta（2）=\tfrac}1}{2]（\tfrac[1}{6}\pi^2）=\t
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：｛\displaystyle\phi（3）=\tfrac｛3｝｛4｝\zeta（3）\，｝
- 无法分析（带有SVG或PNG回退的MathML（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的无效响应（“Math扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\phi（4）=\tfrac{7}{8}\zeta（4）=\tfrac}7}{8}（\tfrac[1}{90}\pi^4）=\t
- 解析失败（MathML with SVG or PNG fallback（建议用于现代浏览器和辅助功能工具）：来自服务器的响应无效（“数学扩展无法连接到Restbase。”）https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“：）：{\displaystyle\phi（5）=\tfrac{15}{16}\zeta（5）\，}
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Dirichlet L-函数
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另请参见
外部链接
- 弗里德里希·赫泽布鲁，欧拉多项式数学硕士。1 (2008), 9–14.
