斐波那契数

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这个斐波那契数列[或斐波那契数]以以下名称命名比萨的列昂纳多称为斐波那契。斐波纳契1202年的书算盘书虽然维拉汉卡之前在评注平加拉的韵律作品时曾描述过这个序列，但他还是把这个序列作为一个练习来介绍。

递归方程

这个斐波那契数由以下2阶齐次线性递归和签名定义(1, 1)

${\显示样式F_{0}:=0，\，}$

$｛\displaystyleF_｛1｝：=1，\，｝$

$｛\displaystyle F_｛n｝：=F_｛n-1｝+F_｛n-2｝，\ quad n \ geq 2.\，｝$

A000045美元斐波那契数列：

F类 (n个) =F类 (n个− 1) +F类 (n个− 2)

具有

F类 (0) = 0

和

F类 (1) = 1

.

${\显示样式{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89144233377687159725844181676510946177112865746368750251213931964183178115142298320401346269，…}}$

正在生成函数

这个普通生成函数斐波那契数列的证明如下下一节)

$显示样式G{{F{n}，，n\geq0}}（x）={frac{x}{1-x-x^{2}}}=sum{n=0}^{infty}F{n{}，x^{n}.}$

将生成函数改写为（表示分母中递归的形式）

$显示样式G{{F{n}，，n\geq0}}（x）={frac{（x^{-1}）^{1}}{（x^{-1{）^｛2｝-（x^{-1}）^｛1｝-（x^{-1}）^{0}}}，}｛2｝-（x^{-1}）^｛1｝-（x^{-1}）^{0}}}，}$

和设置

x个 −1

到

10 k

，我们得到了表格

${\显示样式{\frac{（10^{k}）^{1}}{（10 ^{k{）^{2}-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{F{i}}{（10^{k}）^{i}{}}，\quad k\geq 1.}{2}-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{F{i}}{（10^{k}）^{i}{}}，\quad k\geq 1.}$

例如，对于

k

，我们有（注意，当斐波那契数大于

k

数字）

k= 1: 10 / 89 = 0.11235955056179775280898876404...

k= 2: 100 / 9899 = 0.010102030508132134559046368320...

k= 3: 1000 / 998999 = 0.0010010020030050080130210340550...

k= 4: 10000 / 99989999 = 0.00010001000200030005000800130021...

上述变量为

${\显示样式{\frac{1}{（10^{k}）^{2}-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{1}{10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{F{i}}{（10^{k}）^{i+1}}}，\quad k\geq 1.\，}{2}-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{1}{10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{F{i}}{（10^{k}）^{i+1}}}，\quad k\geq 1.\，}$

例如，对于

k

，我们有（注意，当斐波那契数大于

k

数字）

k= 1: 1 / 89 = 0.011235955056179775280898876404...

(A021093号)

k= 2: 1 / 9899 = 0.00010102030508132134559046368320...

k= 3: 1 / 998999 = 0.0000010010020030050080130210340550...

k= 4: 1 / 99989999 = 0.000000010001000200030005000800130021...

比奈封闭式公式

让我们考虑一下查找封闭式公式对于斐波那契数.假设

（f）  (x个)

是（尚未找到）普通生成函数

$显示样式f（x）=\sum_{n=0}^{\infty}f{n}~x^{n}\，}$

用于此序列。序列的生成函数

F类n个 −1

是

x个 （f）  (x个)

和的

F类n个 −2

是

x个 2 （f）  (x个)

从递推关系可以看出幂级数

x个 （f）  (x个) +x个 2 （f）  (x个)

同意

（f）  (x个)

除了前两个系数

${\显示样式{\开始{数组}{rcrcrcrcr}f（x） &=&F{0}\，x^{0}&+&F{1}\，x ^{1}&+&F{2}\，x ^{2}&+＆\cdots&+&F{i}\，x^{i}&++\cdots\\xf（x）&=&&F{0}，x ^}&+F{1{\，x&\cdots\\x^{2} （f）（x） &=&&F_{0}\，x^{2}&+&cdots&+&F__i-2}\，x^{i}&+＆cdots\\（x+x^{2]）F（x）&=&&F_{0}\，x ^{1}&+&（F_0}+F_1}）\cdots\\&=&F{2}\，x^{2}&+&cdots&+&F{i}\，x^{i}&+\\cdots\\\end{array}}{rcrcrcrcr}f（x） &=&F{0}\，x^{0}&+&F{1}\，x ^{1}&+&F{2}\，x ^{2}&+＆\cdots&+&F{i}\，x^{i}&++\cdots\\xf（x）&=&&F{0}，x ^}&+F{1{\，x&\cdots\\x^{2} （f）（x） &=&&F_{0}\，x^{2}&+&cdots&+&F__i-2}\，x^{i}&+＆cdots\\（x+x^{2]）F（x）&=&&F_{0}\，x ^{1}&+&（F_0}+F_1}）\cdots\\&=&F{2}\，x^{2}&+&cdots&+&F{i}\，x^{i}&+\\cdots\\\end{array}}$

自

F类0=0

和

F类1= 1

，我们获得

${\显示样式f（x）=x+xf（x^{2} （f）（x） .\，}{2} （f）（x） .\，}$

求解此等式

（f）  (x个)

，我们得到

${\显示样式f（x）={\压裂{x}{1-x-x^{2}}}={\裂缝{x}}{（1-kx）（1+{\压裂{1}{k}}x）}}，\，}$

具有

−1 = ⎛ ⎝   −k+ 1 k     ⎞ ⎠

，提供二次方程

k 2−k− 1 = 0

带着根

k += 1 +2√  5  2

（该黄金比率)和

k −= 1 −2√  5  2

.定义

ϕ : k +

和

φ : k −

，并注意到

ϕ φ=−1

，技术部分分数分解收益率

$显示样式f（x）={1}{1-\varphi x}}\右）。\，}$

这两个形式幂级数是明确的，因为它们是几何级数; 比较系数

${\显示样式f（x）={\ frac{1}{\ sqrt{5}}\左（\sum_{n=0}^{\infty}（\phi x）^{无}-\sum_{n=0}^{infty}（\varphi x）^{n}\right）=\sum_{n=0.}^{infty}{\frac{\phi^{无}-\varphi^{n}}{\sqrt{5}}\，x^{n{，\，}{无}-\sum_{n=0}^{infty}（\varphi x）^{n}\right）=\sum_{n=0.}^{infty}{\frac{\phi^{无}-\varphi^{n}}{\sqrt{5}}\，x^{n{，\，}$

我们找到了显式公式

$显示样式F_{n}={frac{phi^{无}-\varphi^{n}}{\phi-\varphi}}={\frac{\phi^{无}-\变量^{n}}{\sqrt{5}}，\，}{无}-\varphi^{n}}{\phi-\varphi}}={\frac{\phi^{无}-\变量^{n}}{\sqrt{5}}，\，}$

哪里

直径= 1 +2√  5  2

和

φ= 1 −2√  5  2

.

斐波那契函数

我们可以将斐波那契数的比奈公式改写为

${\显示样式F_{n}={\frac{1}{\sqrt{5}}}（\phi^{无}-\varphi^{n}\right）={\frac{1}{\sqrt{5}}\left（\phi^{无}-\左（{\frac{-1}{\phi}}\right）^{n}\rift）={\frac{1}{\sqrt{5}}\left（\phi^{无}-（-1）^{n}{\phi}^{-n}\right），\quad n\in\mathbb{Z}.}{无}-\varphi^{n}\right）={\frac{1}{\sqrt{5}}\left（\phi^{无}-\左（{\frac{-1}{\phi}}\right）^{n}\rift）={\frac{1}{\sqrt{5}}\left（\phi^{无}-（-1）^{n}{\phi}^{-n}\right），\quad n\in\mathbb{Z}.}$

这提供了一种泛化为斐波那契函数超过实数作为

${\显示样式F（x）={\frac{1}{\sqrt{5}}}\左（\phi^{x}-\cos（\pi x）\，｛\phi｝^｛-x｝\ right），\ quad x\ in \mathbb｛R｝。｝{x}-\cos（\pi x）\，｛\phi｝^｛-x｝\ right），\ quad x\ in \mathbb｛R｝。｝$

或者我们可以概括一下复数因此

${\显示样式F（z）={\frac{1}{\sqrt{5}}}\左（\phi^{z} -e个^{i\piz}\，{\phi}^{-z}\right）={\frac{1}{\sqrt{5}}\left（\phi^{z}（z）-\左（{\frac{e^{i\pi}}{\phi}}\right）^{z}\rift），\quad z\in\mathbb{C}.}{z} -e个^{i\piz}\，{\phi}^{-z}\right）={\frac{1}{\sqrt{5}}\left（\phi^{z}（z）-\左（{\frac{e^{i\pi}}{\phi}}\right）^{z}\rift），\quad z\in\mathbb{C}.}$

连续商的极限

克卜勒观察到连续斐波那契数聚合。他写道，“实际上，5等于8，8等于13，8等于十三，13几乎等于13到21”，并得出结论，极限接近黄金比率

$显示样式$

公式

偶数指数斐波那契数

这个偶数指数斐波那契数由递归给出

${\显示样式F_{0}=0，\，}$

${\显示样式F_{2}=1，\，}$

$｛\displaystyle F_｛2n｝＝3F_{2n-2}-F_{2n-4}，\quad n \geq 2.\，}{2n-2}-F_{2n-4}，\quad n \geq 2.\，}$

A001906年

F类 (2 n个) =

斐波那契数列的二分：

一 (n个) = 3 一 (n个− 1) −一 (n个− 2)

.

{0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040, 2178309, 5702887, 14930352, 39088169, 102334155, 267914296, 701408733, 1836311903, ...}

偶数指数斐波那契数与有序分区.

奇指数斐波那契数

这个奇指数斐波那契数由递归给出

${\显示样式F_{-1}=1，\，}$

${\显示样式F_{1}=1，\，}$

$显示样式F_{2n-1}=3F_{2n-3}-F_{2n-5}，\quad n \geq 2.\，}{2n-3}-F_{2n-5}，\quad n \geq 2.\，}$

A001519号

一 (n个) = 3 一 (n个− 1) −一 (n个−2）

，使用

一 （0）=一 (1) = 1

.

{1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, 28657, 75025, 196418, 514229, 1346269, 3524578, 9227465, 24157817, 63245986, 165580141, 433494437, 1134903170, 2971215073, ...}

斐波那契数modn个

第套，共套残留物斐波那契数的模

n个

n个	残留物组 （最小值？即。 米>n个⟹ A066853号  (米) > A066853号  (n个) ?Y（Y）（是），Y（Y）（否） （请参见A189761号)	数量 残留物 A066853号
1	{0}Y（Y）	1
2	{0, 1}Y（Y）	2
三	{0, 1, 2}Y（Y）	三
4	｛0，1，2，3｝Y（Y）	4
5	{0, 1, 2, 3, 4}Y（Y）	5
6	{0, 1, 2, 3, 4, 5}Y（Y）	6
7	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}Y（Y）	7
8	{0, 1, 2, 3, 5, 7}Y（Y）	6
9	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}Y（Y）	9
10	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Y（Y）	10
11	{0, 1, 2, 3, 5, 8, 10}Y（Y）	7
12	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11}Y（Y）	11
13	{0, 1, 2, 3, 5, 8, 10, 11, 12}Y（Y）	9
14	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}Y（Y）	14
15	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}Y（Y）	15
16	{0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15}Y（Y）	11
17	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16}Y（Y）	13
18	{0, 1, 2, 3, 5, 8, 10, 13, 15, 16, 17}Y（Y）	11
19	{0, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 13, 15, 16, 17, 18}Y（Y）	12
20	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}	20
21	{0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 18, 20}Y（Y）	9
22	｛0、1、2、3、5、8、10、11、12、13、14、16、19、21｝Y（Y）	14
23	{0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 22}Y（Y）	19
24	{0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 13, 16, 17, 21, 23}Y（Y）	13
25	｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24｝Y（Y）	25
26	{0, 1, 2, 3, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 21, 23, 24, 25}Y（Y）	18
27	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}Y（Y）	27
28	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27}Y（Y）	21
29	{0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 26, 28}Y（Y）	10
30	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}Y（Y）	30

A189768号其中一行的不规则三角形

n个

包含一组残留物序列的

斐波那契 (我)模块n个

为所有人

我≥ 0

.

{0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 5, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 5, 8, 10, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, 2, 3, ...}

A066853号不同的数量剩余物（或残留物)对于斐波那契数(A000045美元)除以

n个

（即：

F类 (我)模块n个

总的来说

我≥ 0

).

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 9, 10, 7, 11, 9, 14, 15, 11, 13, 11, 12, 20, 9, 14, 19, 13, 25, 18, 27, 21, 10, 30, 19, 21, 19, 13, 35, 15, 29, 13, 25, 30, 19, 18, 33, 20, 45, 21, 15, 15, 37, 50, 35, 30, 37, 29, 12, 25, ...}

A118965号Fibonacci序列mod中缺失残数

n个

.

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 1, 4, 0, 0, 5, 4, 7, 7, 0, 12, 8, 4, 11, 0, 8, 0, 7, 19, 0, 12, 11, 14, 21, 0, 21, 8, 25, 14, 10, 22, 24, 10, 24, 0, 25, 32, 33, 12, 0, 16, 22, 16, 25, 43, 31, 24, 38, 22, 5, 36, 41, ...}

A079002号数字

n个

斐波那契残留物

F类 (k)模块n个

形成整套

{0, 1, 2, ...,n个− 1}

.

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 14, 15, 20, 25, 27, 30, 35, 45, 50, 70, 75, 81, 100, 125, 135, 150, 175, 225, 243, 250, 350, 375, 405, 500, 625, 675, 729, 750, 875, 1125, 1215, 1250, 1750, 1875, 2025, 2187, ...}

189761年数字

n个

其中的一组残差

｛斐波那契 (k)模块n个,k= 0, 1, 2, ...}

是最小的。

{1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 21, 29, 55, 76, 144, 199, 377, 521, 987, 1364, 2584, 3571, 6765, 9349, 17711, 24476, 46368, 64079, 121393, 167761, 317811, 439204, 832040, 1149851, 2178309, 3010349, 5702887, ...}

A007887号

斐波那契 (n个)9年款

.

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, ...}

A003893号

斐波那契 (n个)10年款

.

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, ...}

A089911型

斐波那契 (n个)12年款

.

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 1, 9, 10, 7, 5, 0, 5, 5, 10, 3, 1, 4, 5, 9, 2, 11, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 1, 9, 10, 7, 5, 0, 5, 5, 10, 3, 1, 4, 5, 9, 2, 11, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 1, 9, 10, 7, 5, 0, 5, 5, 10, 3, 1, 4, 5, 9, 2, 11, 1, 0, ...}

A079345号

斐波那契 (n个)16年款

.

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 5, 2, 7, 9, 0, 9, 9, 2, 11, 13, 8, 5, 13, 2, 15, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 5, 2, 7, 9, 0, 9, 9, 2, 11, 13, 8, 5, 13, 2, 15, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 5, 2, 7, 9, 0, 9, 9, 2, 11, 13, 8, 5, 13, 2, 15, ...}

A105471号

斐波那契 (n个)100年款

.

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 44, 33, 77, 10, 87, 97, 84, 81, 65, 46, 11, 57, 68, 25, 93, 18, 11, 29, 40, 69, 9, 78, 87, 65, 52, 17, 69, 86, 55, 41, 96, 37, 33, 70, 3, 73, 76, 49, 25, 74, 99, 73, 72, 45, ...}

皮萨诺时期

A001175号 皮萨诺时期（或皮萨诺数)：斐波那契数周期mod

n个

.

{1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, 24, 18, 60, 16, 30, 48, 24, 100, 84, 72, 48, 14, 120, 30, 48, 40, 36, 80, 24, 76, 18, 56, 60, 40, 48, 88, 30, 120, 48, 32, 24, 112, 300, 72, 84, 108, ...}

A189767号最小数量

k

这样一组数字

{斐波纳契 (我)模块n个,我= 0 ..k− 1}

包含所有可能的残留物

斐波那契 (我)模块n个

.

{1, 2, 4, 5, 10, 10, 13, 11, 17, 22, 9, 23, 19, 37, 20, 23, 25, 19, 17, 53, 15, 25, 37, 23, 50, 61, 53, 45, 13, 58, 29, 47, 39, 25, 77, 23, 55, 17, 47, 59, 31, 37, 65, 29, 93, 37, 25, 23, 81, 148, 67, 75, 77, 53, 19, ...}

Pisano周期最小的数字

这个Pisano周期最小的数字被推测为109794年

(n个)

,

n个≥ 4

.（请参见{{8月7日的顺序}})

{8, 11, 21, 29, 55, 76, 144, 199, 377, 521, 987, 1364, 2584, 3571, 6765, 9349, 17711, 24476, 46368, 64079, 121393, 167761, 317811, 439204, 832040, 1149851, 2178309, 3010349, 5702887, 7881196, ...}

斐波那契素数

斐波那契素数。

{2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, ...}

斐波那契素数的指数。

{3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, ...}

序列

A065108号可表示为斐波那契数乘积的数字[正整数](A000045美元).

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 26, 27, 30, 32, 34, 36, 39, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 54, 55, 60, 63, 64, 65, 68, 72, 75, 78, 80, 81, 84, 89, 90, 96, ...}

A？？？？？？可表示为斐波那契数的商的数字[正整数](A000045美元).

 ???

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 17, 21, 34, 55, ...}

 ???（可能缺少从1到55的某些术语…）

A178772号斐波那契整数，即可以写成斐波那契数的乘积和/或商的正整数(A000045美元).

{1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、38、39、40、41、42、44、45、46、47、48、49、50…}

另请参见

• 卢卡斯数字
• 黄金比例
• Phi数字系统
• 二元斐波那契兔子序列

• {{斐波那契}}（数学函数模板）

• Tribonacci数