3x+1问题

这个3x+1问题涉及一个迭代函数以及从任何正整数开始时它是否总是达到1的问题。它也被称为Collatz问题或者冰雹问题.

功能是

${\显示样式f（n）={\开始{案例}n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n+1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束｛cases｝｝\，｝{案例}n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n+1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束｛cases｝｝\，｝$

例如，${\显示样式f（3）=10}$.和${\显示样式f（10）=5}$.这导致序列3、10、5、16、4、2、1、4、2,1。。。实际上达到了1。从给定的起始值迭代函数得到的序列有时称为该起始值的“轨迹”。

显然，在任何轨迹中都不可能有连续的奇数，但肯定会有连续的偶数，特别是当轨迹达到4的幂次时，在经过所有2的幂次后，轨迹很快下降到1。（注意，由于2的奇诱导幂与2的模3同余，因此只有将4的幂减半才能达到它们）。

不太明显的是，是否每条轨迹最终都会达到4的幂。

另请参见简化Collatz函数.

Collatz轨迹

纯冰雹数是指那些不发生在较小数量轨道上的，而不纯冰雹数是那些确实发生在较小数量轨道上的。

这个3x+1问题轨迹可能有三种

• 走向无限的轨迹
• 最终变为非平凡（1、4、2、1、4，2…除外）循环的轨迹
• 最终达到2次幂的轨迹（如冰雹一样，直线下降到1，然后经历1、4、2、1、4和2……这个平凡的周期）

朝向无穷大的轨迹

根据考拉兹猜想，没有3x+1问题存在走向无限的轨迹！

最终非平凡循环轨迹

根据考拉兹猜想，没有3x+1问题最终会有非平凡的循环轨迹存在！

但是3x-1问题最终会有非平凡的循环轨迹！

最终达到2次幂的轨迹

这个考拉兹猜想规定所有3x+1问题轨迹最终达到2的幂次方（因此直线下降到1，就像冰雹一样。）

轨迹表

减半和三倍的步骤数${\显示样式\脚本样式n，\ n\，\geq\，1，\，}$达到1英寸3x+1问题（参见。A006577号)是

{0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, 16, 104, 11, 24, 24, 24, 11, 11, 112, 112, 19, 32, 19, 32, ...}

这个纯冰雹数 ${\显示样式\脚本样式n\，}$也就是说，那些没有出现在较小数量的轨道上的，（参见。A061641美元)是

{0, 1, 3, 6, 7, 9, 12, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 27, 30, 33, 36, 37, 39, 42, 43, 45, 48, 51, 54, 55, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 73, 75, 78, 79, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 97, 99, 102, 105, 108, 109, 111, 114, 115, 117, 120, 123, ...}

减半和三倍的步骤数纯冰雹数 ${\显示样式\脚本样式n，\ n\，\ geq\，0，\，}$达到1英寸3x+1问题（即。A006577号（k） ，千=纯冰雹数从A061641号). （参见。A127933号)是

｛0、0、7、8、16、19、9、17、20、20、7、10、23、111、18、26、21、34、8、29、16、11、24、112、112、32、19、107、27、14、22、115、14、35、35、22、9、30、17、17、12、118、25、25、38、113、113、69、33、33…｝

这个不纯冰雹数 ${\显示样式\脚本样式n\，}$即发生在较小数量轨道上的那些，（参见。A134191号)是

{2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 20, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 38, 40, 41, 44, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 56, 58, 59, 61, 62, 64, 65, 67, 68, 70, 71, 74, 76, 77, 80, 82, 83, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 98, ...}

下表给出了迭代Collatz函数从最初的几个开始纯冰雹数（请参见A061641号)

“3x+1问题”轨迹

${\显示样式n\，}$	A编号	弹道 直到知道为止	弹道 直到1	步骤 到1 (A127933号)
1	琐碎的循环	{1, 4, 2, 1, ...}	{1, ...}	0
三	A033478号	{3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	{3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	7
6	—	｛6、3、…｝	{6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	8
7	—	{7、22、11、34、17、52、26、13、40、20、10…}（见n=3）	{7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	16
9	—	{9, 28, 14, 7, ...}	{9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	19
12	—	{12, 6, ...}	{12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	9
15	—	{15、46、23、70、35、106、53、160、80、40…}（参见n=7）	{15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	17
18	—	{18, 9, ...}	{18, 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	20
19	—	{19、58、29、88、44、22…}（参见n=9）	{19，58，29，88，44，22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1，…}	20
21	A033481美元	{21、64、32、16…}（参见n=3）	{21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	7
24	—	{24, 12, ...}	{24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	10
25	—	{25, 76, 38, 19, ...}	{25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	23
27	A008884号	{27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, ...} （见n=15）	{27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	111
30	—	{30, 15, ...}	{30, 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	18
33	A008880型	{33, 100, 50, 25...}	{33, 100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	26
36	—	{36, 18, ...}	{36, 18, 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	21
37	—	{37, 112, 56, 28, 14, 7, ...}	{37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	21
39	A008878号	{39、118、59、178、89、268、134、67、202、101、304、152、76…}（参见n=25）	｛39、118、59、178、89、268、134、67、202、101、304、152、76、38、19、58、29、88、44、22、11、34、17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、4、2、1、…｝	34
42	—	{42, 21, ...}	{42, 21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	8
43	—	{43, 130, 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, ...}	{43, 130, 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	29
45	—	{45、136、68、34…}（参见n=7）	{45, 136, 68, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	16
48	—	{48, 24, ...}	{48, 24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	11
51	A008883号	{51、154、77、232、116、58…}（参见n=19）	{51, 154, 77, 232, 116, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	24
54	—	{54, 27, ...}	{54、27、82、41、124、62、31、94、47、142、71、214、107、322、161、484、242、121、364、182、91、274、137、412、206、103、310、155、466、233、700、350、175、526、263、790、395、1186、593、1780、890、445、1336、668、334、167、502、251、754、377、1132、566、283、850、425、1276、638、319、958、479、1438、719、2158、1079，3238、1619、4858、2429、7288、，3644、1822、911、2734、1367、4102、2051、6154、3077、9232、4616、2308、1154、577、1732、866、433、1300、650、325、976、488、244、122、61、184、92、46、23、70、35、106、53、160、80、40、20、10、5、16、8、4、2、1、…}	112
55	A008873号 （n=97）	{55、166、83、250、125、376、188、94…}（参见n=27）	{55, 166, 83, 250, 125, 376, 188, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	112
57	A008877号	{57, 172, 86, 43, ...}	{57, 172, 86, 43, 130, 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	32
60	—	{60, 30, ...}	{60, 30, 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...}	19

A008908号给出了所需的步骤数${\显示样式\脚本样式n\，}$达到1，同时A006666号和A006667号分别给出减半步数和三倍步数。具有记录步骤数的数字由下式给出A006877号.

A135282号记录最大指数${\显示样式\脚本样式k\，}$使得${\显示样式\脚本样式2^{k}\，}$出现在从开始的轨迹中${\显示样式\脚本样式n\，}$人们认为这些指数只是奇数${\显示样式\脚本样式k\，}$什么时候${\显示样式\脚本样式n\，}$它本身就是${\显示样式\脚本样式2^{k}，\，k\，}$奇怪。这意味着，如果“猜想”是真的，那么给定的2的奇诱导幂如果不是从给定的开始，则通过Collatz函数的迭代无法实现2的奇诱导幂最初。如果我们称之为2的力量，${\显示样式\脚本样式2^{k}，\k\，\geq\，0\，}$，Collatz函数的平凡参数值（在${\显示样式\脚本样式k\，}$步骤，）“猜想”意味着对于Collatz函数的每个重要参数值，我们必须达到4的幂（2的均匀诱导功率）考拉兹猜想这是真的。

对于中提供的有限列表A135282号，即。${\显示样式\脚本样式n\，\在\，\，}$[1..105]，如果我们只考虑${\显示样式\脚本样式n\，}$，因此${\显示样式\脚本样式n\，}$不是2^{${\显示样式\脚本样式k\，}$}，看起来最大的${\显示样式\脚本样式k\，}$主要是4，{21，42，84}是6的几倍（它继续是126，168，…？），{75，85}是8的几倍。在A135282号，Masahiko Shin提到，前一万个术语中大多数是4，在范围中只出现了4、6、8和10（很少有例外术语，例如a（10920）=12，a（10922）=14，），除非${\显示样式\脚本样式n\，}$是2的幂，似乎所有项都是相等的，除非${\显示样式\脚本样式n\，}$是一个2的奇诱导幂因此，对于非平凡的参数值来说，冰雹的最终降落似乎本质上是撞击非常低的结果4的幂（平均诱导幂为2。）对于一个典型的非平凡参数值，我们很有兴趣知道冰雹是否经历了几个大滴大滴高均匀度或者经历了许多小的下跌低均匀度在它达到一个非常低的水平之前4的幂也可能是每一个非平凡的论点${\显示样式\脚本样式n\，}$我们以非常复杂的方式获得了包含这两种情况的冰雹历史。

迭代Collatz函数生成的序列似乎达到了无法预测的高度。一些起始值给出的序列会急剧上升，然后下降并在起始值附近波动，然后到达2的幂然后按预期向1前进。

因此，“冰雹”一词有时被用来指代这个问题。但也有一些起始值直到很久以后，接近最后的秋天才会显著上升。A025586美元给出了从每个序列开始的此类序列中遇到的最大值${\显示样式\脚本样式n\，}$反过来，同时A033493号给出该序列中所有值的总和${\显示样式\脚本样式n\，}$到1的第一个实例。

由于二的幂给出了一个可预测的元素，所以Collatz序列的树图自然会将二的幂放在中心轴上，或者至少将它们排成一行。

在上面的树图中，一半的步骤用黑线表示，而蓝线表示三倍的步骤（加上1）。上面每列的顶部数字可以在A033491号，当然是从${\显示样式\脚本样式n\，=\，0\，}$向前而不是向后${\显示样式\脚本样式n\，=\，13\，}$.

减少Collatz轨迹

“3x+1问题”减少轨迹

${\显示样式2n-1\，}$	A编号	减少的轨迹 直到知道为止	减少的轨迹 直到1	步骤 到1 （答：）
1	琐碎的循环	{1, ...}	{1, ...}	0
三	—	{3, 5, 1, ...}	{3, 5, 1, ...}	2
5	—	{5, 1, ...}	{5, 1, ...}	1
7	—	{7, 11, 17, 13, 5, ...}	{7, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	5
9	—	{9, 7, ...}	｛9、7、11、17、13、5、1、…｝	6
11	—	｛11、17、13、5、…｝	{11, 17, 13, 5, 1, ...}	4
13	—	{13, 5, ...}	{13, 5, 1, ...}	2
15	—	{15, 23, 35, 53, 5, ...}	{15, 23, 35, 53, 5, 1, ...}	5
17	—	{17, 13, ...}	{17, 13, 5, 1, ...}	三
19	—	{19, 29, 11, ...}	{19, 29, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	6
21	—	{21, 1, ...}	{21, 1, ...}	1
23	—	{23, 35, 53, 5, ...}	{23, 35, 53, 5, 1, ...}	4
25	—	{25, 19, ...}	{25, 19, 29, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	7
27	—	{27, 41, 31, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, ...}	{27, 41, 31, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5, 1, ...}	41
29	—	{29, 11, ...}	{29, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	5
31	—	{31, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, ...}	{31, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5, 1, ...}	39
33	—	{33, 25...}	{33, 25, 19, 29, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	8
35	—	｛35、53、27、…｝	{35, 53, 27, 41, 31, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5, 1, ...}	43
37	—	{37, 7, ...}	{37, 7, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	6
39	—	{39, 59, 89, 67, 101, 19, ...}	{39, 59, 89, 67, 101, 19, 29, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	11
41	—	{41, 31, ...}	{41, 31, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5, 1, ...}	40
43	—	{43, 65, 49, 37, ...}	{43, 65, 49, 37, 7, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	9
45	—	{45, 17, ...}	{45, 17, 13, 5, 1, ...}	4
47	—	{47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, ...}	｛47、71、107、161、121、91、137、103、155、233、175、263、395、593、445、167、251、377、283、425、319、479、719、1079、1619、2429、911、1367、2051、3077、577、433、325、61、23、35、53、5、1、…｝	38
49	—	｛49、37、…｝	{49, 37, 7, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	7
51	—	{51, 77, 29, ...}	{51, 77, 29, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	7
53	—	{53, 27, ...}	{53, 27, 41, 31, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5, 1, ...}	42
55	—	{55, 83, 125, 47, ...}	{55, 83, 125, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 137, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 1367, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5, 1, ...}	41
57	—	{57, 43, ...}	{57, 43, 65, 49, 37, 7, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	10
59	—	{59, 89, 67, 101, 19, ...}	{59, 89, 67, 101, 19, 29, 11, 17, 13, 5, 1, ...}	10

考拉兹猜想

1937年，洛塔·科拉茨提出了这个猜想

猜想（Collatz猜想，1937）。 (科拉茨)

在3x+1问题中，无论你从哪个数字开始，最终都会达到1。

保罗·埃尔德关于科拉茨猜想，他说：“数学还没有准备好解决这样的问题。”。泛化${\显示样式\脚本样式3x+1\，}$问题已被证明是计算上无法解决的问题.

计算机通常无法识别无限循环f（1）：=1在这个问题的调查中是硬编码的，否则他们可能会在4、2、1周期中陷入困境。

当然，在寻找反例根据Collatz猜想，必须对它们进行编程，以跟踪序列中以前遇到的数字，并将其与新值进行比较。无论如何，在人类数学家确定反例所需的属性后，计算机首先必须被定向到特定的数字。

显然，反例（如果存在的话）一定不是2的幂但我们怎么知道给定数字的序列不会达到2的幂呢？通过允许${\显示样式\脚本样式n\，}$如果是负值，建议使用一些可能性：不是所有序列都是负值${\显示样式\脚本样式n\，}$达到${\显示样式-1}$.某些值的序列，例如${\显示样式-36}$，最终进入此循环：

（允许${\显示样式\脚本样式n\，<\，0\，}$相当于将“三步法”更改为${\显示样式\脚本样式3n-1\，}$同时保持对正数的限制；看见A008894号).

概括

M/n序列

囊性纤维变性。M/n序列.

其他概括？

Collatz函数的可能推广${\显示样式\脚本样式i\，}$ 第个 首要的,${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，1，\，}$将是

${\显示样式f{p{i}}（n）={\开始{案例}n/p{i}&{mbox{if}}n等于0{pmod{p{i{}}}，\\p{i+1}\cdotn+[p_{我}-（p_{i+1}\cdot n）\，{\bmod{\，}}p_{i}]&{\mbox{if}}n\equivk{\pmod{p_{i}}，\，k\neq0.\end{cases}}\，}{案例}n/p{i}&{mbox{if}}n等于0{pmod{p{i{}}}，\\p{i+1}\cdotn+[p_{我}-（p_{i+1}\cdot n）\，{\bmod{\，}}p_{i}]&{\mbox{if}}n\equivk{\pmod{p_{i}}，\，k\neq0.\end{cases}}\，}$

Collatz函数${\显示样式\脚本样式f（n）\，}$因此与$｛\displaystyle\scriptstylef_{p_{1}｝（n）\，=\，f_{2}（n）.\，｝$

另请参见

• 3x-1问题
• m/n序列（包括m/n=3/2的特殊情况）

外部链接

• 杰弗里·拉加里亚斯（1985年1月），3x+1问题及其推广，《美国数学月刊》92（1）：3–23。
• 格哈德·奥菲尔，Collatz 3n+1问题的分析方法，提交给《计算数学》，“2011年5月。