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3x+1问题

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这个3x+1问题涉及迭代函数和从任何正整数开始时它是否总是达到1的问题。它也被称为Collatz问题雹问题.

功能是

例如,. . 这导致序列3, 10, 5,16, 4, 2,1, 4, 2,1,…实际上达到了1。通过从给定的起始值迭代函数获得的序列有时被称为起始值的“轨迹”。

显然,在任何轨迹中都不可能有连续奇数,但可能有连续的偶数,特别是当轨迹达到4的功率时,在经过2的所有介入功率后,轨迹迅速下降到1。(注意,由于2的奇数索引幂与2模3一致,它们只能从4的幂减半)。

不那么明显的是,每一个轨道最终是否达到4的功率。

也见约化Collatz函数.

Collatz轨迹

纯冰雹数是那些不发生在较小数量的轨道上的,而不纯冰雹数是那些在更小数量的轨道中发生的。

这个3x+1问题轨迹可能有3种

  • 走向无穷远的轨迹
  • 最终成为非平凡的轨迹(1, 4, 2,1, 4, 2,……)除外)循环
  • 最终命中2的轨迹(因此直线下降到1,像冰雹,然后穿过平凡的周期1, 4, 2,1, 4, 2,…)

走向无穷远的轨迹

根据考拉兹猜想没有3x+1问题走向无限的轨迹存在!

最终非平凡循环轨迹

根据考拉兹猜想没有3x+1问题最终,非平凡循环轨迹存在!

但是3X-1问题最终有非平凡的循环轨迹!

最终命中2的轨道

这个考拉兹猜想规定所有3x+1问题轨迹最终达到2的功率(因此直线下降到1,就像冰雹一样)。

轨线表

半衰期和三倍步数达到13x+1问题(Cf.A000 65 77

{ 0, 1, 7,2, 5, 8,16, 3, 19,6, 14, 9,9, 17, 17,4, 12, 20,20, 7, 7,15, 15, 10,23, 10, 111,18, 18, 18,106, 5, 26,13, 13, 21,13, 13, 21,γ,y,y,y,y,y,…,}

这个纯冰雹数 ,即那些不发生在较小数量的轨迹中的(参见)。A061641

{ 0, 1, 3,6, 7, 9,12, 15, 18,19, 21, 24,25, 27, 30,33, 36, 37,39, 42, 43,45, 48, 51,54, 55, 57,60, 63, 66,69, 72, 73,75, 78, 79,75, 78, 79,γ,γ,γ,γ,…,}

半衰期和三倍步数纯冰雹数 达到13x+1问题(即A000 65 77(k),k=纯冰雹数A061641(Cf.A127933

{ 0, 0, 7,8, 16, 19,9, 17, 20,20, 7, 10,23, 111, 18,26, 21, 21,34, 8, 29,16, 11, 24,112, 112, 32,19, 107, 27,14, 22, 115,14, 35, 35,14, 35, 35,γ,γ,γ,…,}

这个不纯冰雹数 ,即那些发生在较小数量的轨迹中的(参见)。A134191

{ 2, 4, 5,8, 10, 11,13, 14, 16,17, 20, 22,23, 26, 28,29, 31, 32,34, 35, 38,40, 41, 44,46, 47, 49,50, 52, 53,56, 58, 59,61, 62, 64,61, 62, 64,γ,γ,γ,γ,γ,…}

下表给出了迭代的序列。Collatz函数从前几个开始纯冰雹数(见A061641

“3x+1问题”轨迹
A数 弹道

直到知道

弹道

直到1

步骤

到1

A127933

平凡循环 { 1, 4, 2,1,…} { 1,…}
A0334 78 { 3, 10, 5,16, 8, 4,2, 1,…} { 3, 10, 5,16, 8, 4,2, 1,…}
- { 6, 3,…} { 6, 3, 10,5, 16, 8,4, 2, 1,…}
- { 7, 22, 11、34, 17, 52、26, 13, 40、20, 10、…}(见n=3) { 7, 22, 11、34, 17, 52、26, 13, 40、20, 10, 5、16, 8, 4、2, 1、…} 十六
- { 9, 28, 14,7,…} { 9, 28, 14、7, 22, 11、34, 17, 52、26, 13, 40、20, 10, 5、16, 8, 4、2, 1、…} 十九
十二 - { 12, 6,…} { 12, 6, 3、10, 5, 16、8, 4, 2、1、…}
十五 - { 15, 46, 23、70, 35, 106、53, 160, 80、40、…}(见n=7) { 15, 46, 23、70, 35, 106、53, 160, 80、40, 20, 10、5, 16, 8、4, 2, 1、…} 十七
十八 - { 18, 9,…} { 18, 9, 28、14, 7, 22、11, 34, 17、52, 26, 13、40, 20, 10、5, 16, 8、4, 2, 1、…} 二十
十九 - { 19, 58, 29,88, 44, 22,…}(见n=9) { 19, 58, 29、88, 44, 22、11, 34, 17、52, 26, 13、40, 20, 10、5, 16, 8、4, 2, 1、…} 二十
二十一 A033 81 { 21, 64, 32,16,…}(见n=3) { 21, 64, 32,16, 8, 4,2, 1,…}
二十四 - { 24, 12,…} { 24, 12, 6、3, 10, 5、16, 8, 4、2, 1、…}
二十五 - { 25, 76, 38,19,…} { 25, 76, 38、19, 58, 29、88, 44, 22、11, 34, 17、52, 26, 13、40, 20, 10、5, 16, 8、4, 2, 1、…} 二十三
二十七 A000 88 84 { 27, 82, 41、124, 62, 31、94, 47, 142、71, 214, 107、322, 161, 484、242, 121, 364、182, 91, 274、137, 412, 206、103, 310, 155、466, 233, 700、350, 175, 526、263, 790, 395、350, 175, 526、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、…}(参见n=1) { 27, 82, 41,124, 62, 31,94, 47, 142,71, 214, 107,322, 161, 484,242, 121, 364,182, 91, 274,137, 412, 206,103, 310, 155,466, 233, 700,350, 175, 526,263, 790, 395,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,…,} 一百一十一
三十 - { 30, 15,…} { 30, 15, 46、23, 70, 35、106, 53, 160、80, 40, 20、10, 5, 16、8, 4, 2、1、…} 十八
三十三 A000 88 80 { 33, 100, 50,25…} { 33, 100, 50、25, 76, 38、19, 58, 29、88, 44, 22、11, 34, 17、52, 26, 13、40, 20, 10、5, 16, 8、4, 2, 1、…} 二十六
三十六 - { 36, 18,…} { 36, 18, 9、28, 14, 7、22, 11, 34、17, 52, 26、13, 40, 20、10, 5, 16、8, 4, 2、1、…} 二十一
三十七 - { 37, 112, 56,28, 14, 7,…} { 37, 112, 56、28, 14, 7、22, 11, 34、17, 52, 26、13, 40, 20、10, 5, 16、8, 4, 2、1、…} 二十一
三十九 A000 88 78 { 39, 118, 59、178, 89, 268、134, 67, 202、101, 304, 152、76、…}(见n=25) { 39, 118, 59、178, 89, 268、134, 67, 202、101, 304, 152、76, 38, 19、58, 29, 88、44, 22, 11、34, 17, 52、26, 13, 40、20, 10, 5、16, 8, 4、2, 1、…} 三十四
四十二 - { 42, 21,…} { 42, 21, 64,32, 16, 8,4, 2, 1,…}
四十三 - { 43, 130, 65,196, 98, 49,148, 74, 37,…} { 43, 130, 65、196, 98, 49、148, 74, 37、112, 56, 28、14, 7, 22、11, 34, 17、52, 26, 13、40, 20, 10、5, 16, 8、4, 2, 1、…} 二十九
四十五 - { 45, 136, 68,34,…}(见n=7) { 45, 136, 68、34, 17, 52、26, 13, 40、20, 10, 5、16, 8, 4、2, 1、…} 十六
四十八 - { 48, 24,…} { 48, 24, 12、6, 3, 10、5, 16, 8、4, 2, 1、…} 十一
五十一 A000 88 85 { 51, 154, 77,232, 116, 58,…}(见n=19) { 51, 154, 77、232, 116, 58、29, 88, 44、22, 11, 34、17, 52, 26、13, 40, 20、10, 5, 16、8, 4, 2、1、…} 二十四
五十四 - { 54, 27,…} { 54, 27, 82,41, 124, 62,31, 94, 47,142, 71, 214,107, 322, 161,484, 242, 121,364, 182, 91,274, 137, 412,206, 103, 310,155, 466, 233,700, 350, 175,526, 263, 790,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,…,} 一百一十二
五十五 A000 88

(n=97)

{ 55, 166, 83,250, 125, 376,188, 94,…}(见n=27) { 55, 166, 83,250, 125, 376,188, 94, 47,142, 71, 214,107, 322, 161,484, 242, 121,364, 182, 91,274, 137, 412,206, 103, 310,155, 466, 233,700, 350, 175,526, 263, 790,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,y,…,} 一百一十二
五十七 A000 88 77 { 57, 172, 86,43,…} { 57, 172, 86、43, 130, 65、196, 98, 49、148, 74, 37、112, 56, 28、14, 7, 22、11, 34, 17、52, 26, 13、40, 20, 10、5, 16, 8、4, 2, 1、…} 三十二
六十 - { 60, 30,…} { 60, 30, 15、46, 23, 70、35, 106, 53、160, 80, 40、20, 10, 5、16, 8, 4、2, 1、…} 十九


A000 8908给出所需的步骤数。达到1,而A000 66 66A000 66 67分别给出减半步数和三步数。具有记录数目的步骤的数字由A000 68 77.

A135228记录最大指数这样出现在轨迹中开始. 人们相信这些指数只有奇数。什么时候?本身就是奇数如果“猜想”是真的,那就意味着奇指数幂2如果不从给定函数开始,则通过CalaTZ函数的迭代是不可达的。奇指数幂2最初。如果我们称之为2的力量,Caltz函数的平凡参数值(平凡地下降到1)。步骤,)“猜想”将意味着,对于Caltz函数的每个非平凡的参数值,我们必须达到4的力量(甚至索引幂为2)考拉兹猜想是真的。

对于提供的有限列表A135228,即[ 1…105 ],如果我们只考虑非平凡的参数值因此不是2看来最大的主要是4,{ 21, 42, 84 }的几倍6(它继续作为126, 168,…?)8为{ 75, 85 }(是否继续为155, 165,…?)进入A135228Masahiko Shin提到,前一万个词中的大多数都是4个,在范围内只出现4、6、8和10个(很少有例外词,例如A(10920)=12,A(10922)=14),除非是2的幂,似乎所有的术语都是偶数,除非是一个奇指数幂2. 对于非平凡的论证值,冰雹的最终坠落似乎基本上是命中很低的结果。4的权力(甚至2的索引幂)对于一个典型的非平凡的论证值来说,有趣的是,冰雹是否经历了几次大落差?高均匀度或是通过许多小点滴低均匀度在它最终击中其中一个非常低之前4的权力. 或者对于每一个非平凡的论点我们用一种非常复杂的方式获得了包含两种情况的冰雹史。

通过迭代CalaTz函数生成的序列似乎达到不可预知的高度。〔1〕一些起始值给出了跳跃的序列,然后在开始击中之前,在开始值附近出现波动和波动。2的力量然后可以预见到1。


来自37.PNG的Collatz


因此,术语“冰雹”有时被用来指这个问题。但也有一些重要的数值,直到最近的最后一次跌落之后才大幅上升。A025586A给出了这样的序列中遇到的最大值。反过来,同时A0334给出这样一个序列中所有值的和。到1的第一个例子。

由于两个幂给出了一个可预测性的元素,很自然地,Calaz序列的树图将两个幂放在中心轴上,或者至少将它们排列起来。

Caltz树剖面

在上面的树图中,减半步骤由黑线表示,而蓝线表示三倍步骤(加上1)。上面每个列的顶部数字可以在A0334 91虽然当然是从向前而不是向后.

约化Collatz轨迹

“3x+1问题”减少了轨迹
A数 简化轨迹

直到知道

简化轨迹

直到1

步骤

到1

(a)????????)

平凡循环 { 1,…} { 1,…}
- { 3, 5, 1,…} { 3, 5, 1,…}
- { 5, 1,…} { 5, 1,…}
- { 7, 11, 17,13, 5,…} { 7, 11, 17,13, 5, 1,…}
- { 9, 7,…} { 9, 7, 11,17, 13, 5,1,…}
十一 - { 11, 17, 13,5,…} { 11, 17, 13,5, 1,…}
十三 - { 13, 5,…} { 13, 5, 1,…}
十五 - { 15, 23, 35,53, 5,…} { 15, 23, 35,53, 5, 1,…}
十七 - { 17, 13,…} { 17, 13, 5,1,…}
十九 - { 19, 29, 11,…} { 19, 29, 11,17, 13, 5,1,…}
二十一 - { 21, 1,…} { 21, 1,…}
二十三 - { 23, 35, 53,5,…} { 23, 35, 53,5, 1,…}
二十五 - { 25, 19,…} { 25, 19, 29,11, 17, 13,5, 1,…}
二十七 - { 27, 41, 31、47, 71, 107、161, 121, 91、137, 103, 155、233, 175, 263、395, 593, 445、167, 251, 377、283, 425, 319、479, 719, 1079、1619, 2429, 911、1367, 2051, 3077、577, 433, 325、577, 433, 325、…} { 27, 41, 31、47, 71, 107、161, 121, 91、137, 103, 155、233, 175, 263、395, 593, 445、167, 251, 377、283, 425, 319、479, 719, 1079、1619, 2429, 911、1367, 2051, 3077、577, 433, 325、577, 433, 325、γ、…} 四十一
二十九 - { 29, 11,…} { 29, 11, 17,13, 5, 1,…}
三十一 - { 31, 47, 71、107, 161, 121、91, 137, 103、155, 233, 175、263, 395, 593、445, 167, 251、377, 283, 425、319, 479, 719、1079, 1619, 2429、911, 1367, 2051、3077, 577, 433、325, 61, 23、…} { 31, 47, 71、107, 161, 121、91, 137, 103、155, 233, 175、263, 395, 593、445, 167, 251、377, 283, 425、319, 479, 719、1079, 1619, 2429、911, 1367, 2051、3077, 577, 433、325, 61, 23、325, 61, 23、γ、…} 三十九
三十三 - { 33, 25…} { 33, 25, 19,29, 11, 17,13, 5, 1,…}
三十五 - { 35, 53, 27,…} { 35, 53, 27,41, 31, 47,71, 107, 161,121, 91, 137,103, 155, 233,175, 263, 395,593, 445, 167,251, 377, 283,425, 319, 479,719, 1079, 1619,2429, 911, 1367,2051, 3077, 577,2051, 3077, 577,γ,γ,…} 四十三
三十七 - { 37, 7,…} { 37, 7, 11,17, 13, 5,1,…}
三十九 - { 39, 59, 89,67, 101, 19,…} { 39, 59, 89、67, 101, 19、29, 11, 17、13, 5, 1、…} 十一
四十一 - { 41, 31,…} { 41, 31, 47、71, 107, 161、121, 91, 137、103, 155, 233、175, 263, 395、593, 445, 167、251, 377, 283、425, 319, 479、719, 1079, 1619、2429, 911, 1367、2051, 3077, 577、433, 325, 61、433, 325, 61、γ、…} 四十
四十三 - { 43, 65, 49,37,…} { 43, 65, 49、37, 7, 11、17, 13, 5、1、…}
四十五 - { 45, 17,…} { 45, 17, 13,5, 1,…}
四十七 - { 47, 71, 107、161, 121, 91、137, 103, 155、233, 175, 263、395, 593, 445、167, 251, 377、283, 425, 319、479, 719, 1079、1619, 2429, 911、1367, 2051, 3077、577, 433, 325、61, 23、…} { 47, 71, 107、161, 121, 91、137, 103, 155、233, 175, 263、395, 593, 445、167, 251, 377、283, 425, 319、479, 719, 1079、1619, 2429, 911、1367, 2051, 3077、577, 433, 325、61, 23, 35、61, 23, 35、…} 三十八
四十九 - { 49, 37,…} { 49, 37, 7,11, 17, 13,5, 1,…}
五十一 - { 51, 77, 29,…} { 51, 77, 29,11, 17, 13,5, 1,…}
五十三 - { 53, 27,…} { 53, 27, 41,31, 47, 71,107, 161, 121,91, 137, 103,155, 233, 175,263, 395, 593,445, 167, 251,377, 283, 425,319, 479, 719,1079, 1619, 2429,911, 1367, 2051,3077, 577, 433,3077, 577, 433,γ,γ,…} 四十二
五十五 - { 55, 83, 125,47,…} { 55, 83, 125、47, 71, 107、161, 121, 91、137, 103, 155、233, 175, 263、395, 593, 445、167, 251, 377、283, 425, 319、479, 719, 1079、1619, 2429, 911、1367, 2051, 3077、577, 433, 325、577, 433, 325、γ、…} 四十一
五十七 - { 57, 43,…} { 57, 43, 65、49, 37, 7、11, 17, 13、5, 1、…}
五十九 - { 59, 89, 67,101, 19,…} { 59, 89, 67、101, 19, 29、11, 17, 13、5, 1、…}


考拉兹猜想

1937,Lothar Collatz提出了猜想。

猜想(Cultz猜想,1937)。γ科拉茨

在3x+1问题中,不管你用什么数字,你总是会达到1。
保罗·埃德斯谈到Collatz猜想:“数学还没有准备好解决这些问题”,他提出了500美元的解决方案。〔2〕一个推广问题已被证明是计算不可解问题.〔3〕

计算机通常不能识别无限循环,通常有F(1):=1硬编码研究这个问题,〔4〕或者他们可能陷入4, 2, 1周期。

Collatz 421环

当然,在寻找一个反例对于CalaTz猜想,它们必须被编程以跟踪序列中遇到的以前的数字,以将它们与新值进行比较。不管怎样,在人类数学家确定反例需要的属性之后,计算机首先必须指向特定的数字。

显然,反例,如果存在的话,肯定不是2的力量. 但是我们怎么知道一个给定的数字序列不会达到2的幂?通过允许为了否定,提出了一些可能性:不是所有的负值序列。达到. 某些值的序列,例如最终进入这个循环:

CONATZ NE51472010 CYCRE.PNG

(允许等同于将“三重步骤”改为同时保持对正数的限制;参见A000 8894

概括

M/N序列

囊性纤维变性。M/N序列.

其他概括?

Caltz函数的一个可能推广第四 首要的将是

Collatz函数因此将对应于

也见

笔记

  1. γ P. Giblin素数与编程:数论与计算导论剑桥大学出版社(1993)第32页。
  2. γ 拉加里斯(1985)
  3. γ 拉加里斯(1985)
  4. γ f〔1〕:=1在Mathematica或F(1)=1在C、Java等中。

外部链接