3x-1问题

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这个

三 x个 −  1

问题是在三 x个+ 1问题（或排序规则问题).
这个Collatz问题，以以下名称命名科拉茨谁在1937年首次提出这一建议，他问道迭代的Collatz函数

（f）  (n个)

总是到达1什么时候

n个> 0

，使用Collatz函数定义为

${\显示样式f（n）={\开始｛个案例｝n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n+1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束{cases}}\，}｛个案例｝n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n+1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束{cases}}\，}$

这个

三 x个 −  1

问题使用迭代的功能

${\显示样式f（n）={\开始｛个案例｝n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n-1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束{cases}}\，}｛个案例｝n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n-1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束{cases}}\，}$

这个三 x个 −  1问题轨迹

这个

三 x个 −  1

问题轨迹可能有三种

• 走向无限的轨迹；
• 最终变得不平凡的轨迹(1, 2, 1, 2, 1, 2, ...排除）循环；
• 轨迹最终达到2（因此直接下降到1就像冰雹，然后经历一个微不足道的循环1, 2, 1, 2, 1, 2, ...).

走向无限的轨迹

做

三 x个 −  1

走向无穷大的问题轨迹是否存在？

最终非平凡循环轨迹

这个

三 x个 −  1

这个问题最终会有非平凡的循环轨迹！
A003124号中的一个基本循环（长度为18）

x个↦ 三 x个 −  1

( 

x个

奇数）或

x个 / 2

( 

x个

偶数）问题。

{17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 272, 136, 68, 34}

&

{17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 272, 136, 68, 34}

&。。。

轨迹最终达到2

但就像三 x个+ 1问题，的

三 x个 −  1

问题的轨迹最终会达到2（因此直接下降到1（如冰雹）。除了显而易见的例子外，最容易找到的例子是表格的数字

${\显示样式{\ frac{2^{2n+1}+1}{3}}\cdot2^{k}，\quadn\geq0，\k\geq0\，}$

它总是击中

2 2n个 +1

.

轨迹表

“

三 x个 −  1

问题“轨迹

n个	A编号	轨迹（直到已知）	注释
1	-	{1, 2, 1, ...}	琐碎的循环{1, ..., 1}长度为2
三	-	{3, 8, 4, 2, 1, ...}	点击次数2 三
5	A003079号	{5, 14, 7, 20, 10, 5, ...}	循环（Cyclic）{5, ..., 5}长度为5
6	-	｛6、3、…｝	点击次数2 三
9	-	{9, 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, ...}	最终循环{14, ..., 14}长度为5
11	-	{11, 32, 16, 8, ...}	点击次数2 5
12	-	{12, 6, ...}	点击次数2 三
15	-	{15, 44, 22, 11, ...}	点击次数2 5
17	A003124号	{17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 272, 136, 68, 34, 17, ...}	循环（Cyclic）{17, ..., 17}长度为18
18	-	{18, 9, ...}	最终循环{14, ..., 14}长度为5
21	-	{21, 62, 31, 92, 46, 23, 68, ...}	最终循环{68, ..., 68}长度为18
24	-	{24, 12, ...}	点击次数2 三
27	-	{27, 80, 40, 20, ...}	最终循环{20, ..., 20}长度为5
29	-	{29, 86, 43, 128, 64, 32, ...}	点击次数2 7
30	-	{30, 15, ...}	点击次数2 5
33	-	｛33、98、49、146、73、218、109、326、163、488、244、122…｝	最终循环{122, ..., 122}长度为18
35	-	{35, 104, 52, 26, ...}	最终循环{14, ..., 14}长度为5
36	A008894号	{36, 18, ...}	最终循环｛14，…，14｝长度为5

另请参见

• 三 x个+ 1问题