搜索： a323454-编号：a323453
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相应的步骤数为0、1、11、12、13、14、15、16。
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链接
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埃里克·安吉利尼（Eric Angelini）、拉尔斯·布隆伯格（Lars Blomberg）、查理·内德（Charlie Neder）、雷米·西格里斯特（Remy Sigrist）和N.J.A.Sloane，“Choix de Bruxelles”：一种新的正整数运算，arXiv:1902.01444，2019年2月；小谎。夸脱。57:3 (2019), 195-200.
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例子
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a（4）=99是指使用Choix de Bruxelles（版本2）操作从1到99需要12个步骤，并且所有小于99（并且不以0或5结尾）的数字都可以通过不到12个步骤从1到。
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交叉参考
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关键字
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非n,基础,更多
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作者
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A323286型
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| Choix de Bruxelles（版本1）：按行读取的不规则表，其中第n行列出了通过将n的十进制展开式的某些子字符串减半或加倍可以达到的所有合法数字。 |
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(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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取n的十进制展开式，例如n=d_1 d_2。。。d_k。我们可以选择将其映射到通过以下过程可以获得的任何数字。取任意子串d_i，d_{i+1}。。。，不以0开头的dj。如果此子字符串表示的数字是奇数，请将其替换为数字的两倍。如果是一半或两倍。
子串的长度可以增加或减少。如果长度减小，我们不会用零填充它。
例如，如果n=20129，那么通过作用于一位数子字符串，我们得到10129、40129、20229、20119、20149、201218。对2位数子串进行加法运算，得到2069（12减半！）、20249、20158。从3位数的子字符串中，我们还得到4022920258；从4位数子串中我们得到40249；从5位数的子串中我们得到40258。
埃里克·安吉利尼如果我们从1开始并重复应用这个过程，那么达到n所需的最小步骤数是多少？我们可以在1步中达到2，在2步中达到4，在5步中达到13，依此类推。
2019年1月15日更新：Lorenzo Angelini发现，可以通过11个步骤从1达到3：1、2、4、8、16、112、56、28、14、12、6、3。不可能有更短的路径。
定理：如果k>1不以0或5结尾，则可以从1开始计算。
证明：假设不是，让k是这样的最小数。请注意，允许的操作是可逆的：如果a->b，那么也是b->a
***k的所有后代都必须大于k***
（如果有一个后代<k，那么它也将无法从1到达，这与k是最小的矛盾）。
k的所有数字都必须是奇数（如果有一个偶数大于0，则将其减半，得到一个较小的数字；如果有一位零数字，即我们看到a0，则我们将a0减半，得出一个较小数字）。
如果k的所有数字都是1，则执行111…1->111…2->55..56，这是一个较小的数字。
如果有一个数字3、7或9，我们知道可以将这个数字降为1（参见A323454型)这又是一个矛盾。
但不可能所有的数字都是5。QED（结束）
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参考文献
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Eric Angelini，给N.J.A.Sloane的电子邮件，2019年1月14日。
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链接
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Eric Angelini、Lars Blomberg、Charlie Neder、Remy Sigrist和N.J.A.Sloane，“Choix de Bruxelles”：一种新的正整数运算，arXiv:1902.01444[math.NT]，2019年2月；小谎。夸脱。57:3 (2019), 195-200.
布雷迪·哈兰和尼尔·斯隆，布鲁塞尔选择，数字视频（2020）
N.J.A.Sloane，《协调序列、规划数和其他近期序列（II）》，罗格斯大学实验数学研讨会，2019年1月31日，第一部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
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例子
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三角形开始于：
2;
1, 4;
6;
2, 8;
10;
3, 12;
14;
4, 16;
18；
5, 20;
12, 21, 22;
6, 11, 14, 22, 24;
16, 23, 26;
7, 12, 18, 24, 28;
25, 30, 110;
8, 13, 26, 32, 112;
27, 34, 114;
9, 14, 28, 36, 116;
29, 38, 118;
10, 40;
11, 22, 41, 42;
11, 12, 21, 24, 42, 44;
...
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黄体脂酮素
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（PARI）参见Sigrist链接。
（Python）
定义cdb（n）：
s、 输出=str（n），set（）
对于范围（1，长度+1）中的l：
对于范围内的i（len（s）+1-l）：
如果s[i]==“0”：继续
t=int（s[i:i+l]）
out.add（int（s[：i]+str（2*t）+s[i+l:]）
如果t&1==0：out.add（int（s[：i]+str（t//2）+s[i+l:]））
返回已排序（out）
打印（[c代表范围（1,25）中的n代表cdb（n）中的c]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月24日
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作者
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经核准的
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A323460型
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| Choix de Bruxelles，版本2：按行读取的不规则表，其中第n行列出了通过将n的十进制展开式（包括空字符串）的某些子字符串减半或加倍可以达到的所有合法数字。 |
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1, 2, 1, 2, 4, 3, 6, 2, 4, 8, 5, 10, 3, 6, 12, 7, 14, 4, 8, 16, 9, 18, 5, 10, 20, 11, 12, 21, 22, 6, 11, 12, 14, 22, 24, 13, 16, 23, 26, 7, 12, 14, 18, 24, 28, 15, 25, 30, 110, 8, 13, 16, 26, 32, 112, 17, 27, 34, 114, 9, 14, 18, 28, 36, 116, 19, 29, 38
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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对定义的轻微修改使分析更简单。
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埃里克·安吉利尼（Eric Angelini）、拉尔斯·布隆伯格（Lars Blomberg）、查理·内德（Charlie Neder）、雷米·西格里斯特（Remy Sigrist）和N.J.A.Sloane，“Choix de Bruxelles”：一种新的正整数运算，arXiv:1902.01444[math.NT]，2019年2月；小谎。夸脱。57:3 (2019), 195-200.
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例子
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第1行到第20行是：
1, 2,
1, 2, 4,
3, 6,
2, 4, 8,
5, 10,
3, 6, 12,
7, 14,
4, 8, 16,
9, 18,
5, 10, 20,
11, 12, 21, 22,
6, 11, 12, 14, 22, 24,
13, 16, 23, 26,
7, 12, 14, 18, 24, 28,
15, 25, 30, 110,
8, 13, 16, 26, 32, 112,
17, 27, 34, 114,
9、14、18、28、36、116，
19, 29, 38, 118,
10, 20, 40
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黄体脂酮素
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（Python）
定义cdb2（n）：
s、 输出=str（n），{n}
对于范围（1，长度+1）中的l：
对于范围内的i（len（s）+1-l）：
如果s[i]==“0”：继续
t=整数（s[i:i+l]）
out.add（int（s[：i]+str（2*t）+s[i+l:]）
如果t&1==0：out.add（int（s[：i]+str（t//2）+s[i+l:]））
返回已排序（out）
打印（[c代表cdb2（n）中c的范围（1,21）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月24日
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交叉参考
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关键字
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非n,基础,标签
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作者
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经核准的
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A337321型
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| a（n）是在k（k）形式的子串替换下，从n开始达到1所需的最少步数（其中，k表示第k个素数）。 |
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0, 1, 2, 10, 3, 7, 9, 10, 8, 10, 4, 5, 6, 8, 7, 9, 8, 9, 9, 9, 5, 6, 7, 8, 8, 10, 7, 10, 9, 10, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 6, 9, 10, 8, 7, 8, 7, 9, 8, 9, 8, 9, 8, 10, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 7, 10, 9, 11, 8, 9, 9, 9, 10, 8, 8, 10, 9, 9, 8, 7, 6, 10, 7, 10, 9, 10, 7, 9, 9, 9
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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该序列是“Choix de Bruxelles”的变体（其中我们考虑形式为k<->2*k的子串替换，请参见A323286型):
-我们将一个正数n映射到可以获得的任意数，如下所示：
-取n的十进制表示中的非空子串s（不带前导零），
-如果s的值对应于一个素数，比如第k个素数。然后用k或素数替换s，
-否则用质数替换s。
例如，数字17可以映射到这些值中的任何一个：
-27（将前导的1替换为素数（1）=2），
-14（将后面的7=质数（4）替换为4），
-117（通过用质数（7）=17替换尾随的7），
-7（将17=质数（7）替换为7），
-59（将17替换为素数（17）=59）。
该序列定义明确：
-通过考虑以下（最小）路径，可以很好地定义任意数<=11的序列：
1
2 -> 1
3 -> 2 -> 1
4 -> 7 -> 17 -> 27 -> 37 -> 12 -> 11 -> 5 -> 3 -> 2 -> 1
5 -> 3 -> 2 -> 1
6 -> 13 -> 12 -> 11 -> 5 -> 3 -> 2 -> 1
7 -> 17 -> 27 -> 37 -> 12 -> 11 -> 5 -> 3 -> 2 -> 1
8->19->67->137->127->31->11->5->3->2->1
9 -> 23 -> 13 -> 12 -> 11 -> 5 -> 3 -> 2 -> 1
10 -> 20 -> 71 -> 41 -> 13 -> 12 -> 11 -> 5 -> 3 -> 2 -> 1
11 -> 5 -> 3 -> 2 -> 1
-因此，对于任何数字n：
-我们可以将其任何非零数字>1转换为数字1，
-一旦我们有一个只有1和0的数字：
-当这个数字大于1时，它要么以“10”开头，要么以“11”开头，
我们可以将这个前缀转换为“1”，
-最终我们将达到1。
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链接
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配方奶粉
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a（素数（n））<=1+a（n）。
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黄体脂酮素
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（PARI）请参阅链接部分。
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交叉参考
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关键字
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非n,基础
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作者
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经核准的
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0, 1, 11, 2, 11, 12, 8, 3, 10, 12, 9, 11, 7, 9, 10, 4, 9, 10, 10, 13, 10, 10, 7, 10, 8, 6, 9, 9, 9, 9, 8, 5, 10, 8, 11, 9, 10, 9, 11, 14, 11, 11, 8, 10, 8, 7, 10, 9, 9, 9, 9, 6, 9, 9, 11, 8, 9, 10, 10, 10, 9, 7, 12, 6, 11, 11, 11, 7, 11, 12, 10, 10, 11, 10, 13
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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序列定义得很好，因为我们可以从5开始达到5的任意倍数。
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链接
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埃里克·安吉利尼（Eric Angelini）、拉尔斯·布隆伯格（Lars Blomberg）、查理·内德（Charlie Neder）、雷米·西格里斯特（Remy Sigrist）和N.J.A.Sloane，“Choix de Bruxelles”：一种新的正整数运算，arXiv:1902.01444，2019年2月；小谎。夸脱。57:3 (2019), 195-200.
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交叉参考
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关键字
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非n,基础
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作者
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经核准的
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A337357飞机
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| “Choix de Collatz”：a（n）是在形式k->T（k）的子串替换下，从n开始达到1所需的最少步数（其中T是Collatz映射，A006370号). |
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三
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0, 1, 7, 2, 5, 8, 9, 3, 11, 6, 7, 8, 9, 9, 7, 4, 7, 10, 8, 7, 7, 8, 10, 9, 8, 5, 7, 10, 8, 8, 7, 5, 11, 6, 9, 11, 6, 7, 8, 8, 7, 8, 11, 9, 9, 6, 8, 10, 8, 9, 8, 6, 11, 7, 9, 9, 9, 8, 11, 9, 7, 6, 11, 6, 9, 12, 7, 7, 9, 10, 8, 7, 10, 7, 10, 8, 10, 8, 10, 9, 8
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,3
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评论
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该序列是“Choix de Bruxelles”的变体（其中我们考虑形式为k<->2*k的子串替换，请参见A323286型):
-我们将一个正数n映射到可以获得的任意数，如下所示：
-取n的十进制表示中的非空子串s（不带前导零），
-如果s的值对应于偶数，则用s/2替换s，
-否则将s替换为3*s+1。
顺序明确：
-这里要考虑的初始路径如下：
1
2 -> 1
3 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
4->2->1
5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
6 -> 3 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 32 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
8 -> 4 -> 2 -> 1
9 -> 28 -> 24 -> 22 -> 21 -> 64 -> 32 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
11 -> 34 -> 32 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）请参阅链接部分。
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交叉参考
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关键字
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 8, 16, 13, 23, 26, 46, 43, 83, 86, 166, 133, 136, 68, 34, 17, 27, 47, 87, 167, 137, 174, 172, 171, 271, 272, 236, 118, 19, 29, 49, 89, 169, 139, 178, 278, 239, 269, 469, 439, 478, 474, 237, 267, 467, 437, 837, 867, 1667, 1337, 1367, 687, 347, 177, 277, 477, 877, 1677, 1377, 1747, 1727, 1717, 1734, 1732, 866, 433, 233, 263, 163, 323, 313, 316, 38, 76, 73, 143, 123, 63, 33, 36, 18, 9
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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Choix de Bruxelles将一些十进制数字子字符串和A323286型都是可以做到的。
序列是有限的，因为达到18->9后，9的唯一Choix将回到序列中的18。
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链接
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埃里克·安吉利尼（Eric Angelini）、拉尔斯·布隆伯格（Lars Blomberg）、查理·内德（Charlie Neder）、雷米·西格里斯特（Remy Sigrist）和N.J.A.Sloane，“Bruxelles合唱团”：一项针对正整数的新手术，arXiv:1902.01444[math.NT]，2019年2月；小谎。夸脱。57:3 (2019), 195-200.
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例子
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下面，方括号[]表示乘以2（例如，[6]=12）；花括号{}表示除以2（例如，{6}=3）；括号外的数字不受乘法或除法的影响（例如，1[6]=112和1{14}=17）。
我们从1开始，在每一步中，我们都会找到序列中尚未出现的最小数字：
1 --> [1] = 2
2 --> [2] = 4
4 --> [4] = 8
8 --> [8] = 16
16 --> 1{6} = 13
13 --> [1]3 = 23
23 --> 2[3] = 26
26 --> [2]6 = 46
…等等。
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黄体脂酮素
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（C#）//（请参阅链接中的）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,基础,完成,满的
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作者
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状态
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经核准的
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评论
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相应的步骤数为0、1、11、12、13、14、15、16、17。
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链接
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Eric Angelini、Lars Blomberg、Charlie Neder、Remy Sigrist和N.J.A.Sloane，“Choix de Bruxelles”：一种新的正整数运算，arXiv:1902.01444，2019年2月；小谎。夸脱。57:3 (2019), 195-200.
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例子
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a（4）=20是指使用Choix de Bruxelles（版本2）操作，从5到100需要13个步骤，而从5到小于100的所有倍数都可以在不到13个步骤的情况下实现。
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交叉参考
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关键字
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非n,基础,更多
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 8, 16, 13, 23, 17, 14, 7, 6, 3, 99, 369, 999, 1999, 9879
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0.2个
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链接
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埃里克·安吉利尼（Eric Angelini）、拉尔斯·布隆伯格（Lars Blomberg）、查理·内德（Charlie Neder）、雷米·西格里斯特（Remy Sigrist）和N.J.A.Sloane，“Choix de Bruxelles”：一种新的正整数运算，arXiv:1902.01444，2019年2月；小谎。夸脱。57:3 (2019), 195-200.
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配方奶粉
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例子
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通过应用0,1,2,3,4步骤，a（0）-a（4）=1,2,4,8,16：1->2->4->8->16。
a（5）=13，通过应用5个步骤：1->2->4->8->16->13（将16中的6减半）。
a（11）=3，通过应用11个步骤从1达到3。
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交叉参考
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关键字
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非n,基础,更多
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作者
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状态
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经核准的
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