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正则连分式

正则连分数是简单的连续分数

x=b_0+1/（b_1+1/（b2+1/（B3+…）））
(1)
=K_（K=1）^（infty）1/（b_K）
(2)
=[b_0；b_1，b_2，…]，
(3)

哪里b_0（b_0）是一个整数和b_k（英国）是一个正整数对于k> 0个（Rockett和SzüSz，1992年，第3页）。

虽然正则连分数并不是实数以整数序列表示的唯一可能形式（其他包括十进制的膨胀和恩格尔扩张)，它们是非常常见的此类表示，最常见于数理论.洛赫定理联系效率正则连续分式展开式与十进制的膨胀在表示实数时。

有限正则连分式表示在有限个项之后终止，因此对应于有理数.（巴赫和沙利特（1996）展示了如何计算雅各比符号用a的简单连分式表示理性的数 账户.)另一方面，无限正则连分数表示唯一的无理数、和每个不合理的数有一个唯一的无限连分式。无限周期性的连分数具有许多特殊属性。

正则连分式对于发现具有不同周期的事件之间的近似可公度性也很有用。例如，用于日历的Metonic循环希腊人的目的包括235个农历月，几乎相当于19个太阳月年，235/19是第六个收敛的比率的月相（同向）周期和太阳周期（365.2425/29.53059）。常规连分数也可用于计算传动比，并用于古希腊人的这一目的（Guy 1990）。

用给定值近似一个数时的误差收敛的大致是乘法逆属于的正方形分母第一个被忽视的任期。

拉格朗日连分式定理声明a二次曲面有一个终结者周期连分式例如，这个毕达哥拉斯常数 平方（2）=1.41421356。。。具有连续部分[1；2，2，2，2，...]. 因此，数字常量的精确表示有时可以是如果怀疑它代表未知二次的苏德.

在某种意义上，正则连分数提供了一系列对无理数.功能也可以写成(简单的或广义的)连分数，提供一系列更好的有理逼近。连分数也有在证明数字的某些性质方面被证明是有用的，例如e（电子）和圆周率(圆周率).

使用开始对正则连分式进行索引b_0（b_0）,

b_0=|_x_|
(4)

是的整数部分x，其中|_x个_|是楼层功能,

b_1=|1/（x-b_0）_|
(5)

是相互的属于x-b0,

b2=|1/（1/（x-b0）-b1）_|
(6)

是余数等倒数的组成部分。写余数根据递推关系

r_0（零）=x
(7)
序号=1/（r（n-1）-b（n-1
(8)

给出了简明的公式

b_n=|_r_n_|。
（9）

数量b_n（b_n）被称为偏商,以及通过包括n个连分数项

cn（立方厘米）=（A_n）/（B_n）
(10)
=[b_0；b_1，…，b_n]
(11)
=b_0+1/（b_1+1/（b2+1/（…+1/（b_n）））
(12)

被称为n个第个收敛的.

例如，考虑以下连续分数的计算圆周率，由提供pi=[3；7,15,1292,1,1，…].

学期价值资格预审收敛的价值
b_0（b_0）|_pi_|=3[3]三3
b_1|_1/（pi-3）_|=7[3;7]（22）/73.14286
b2类|_1/（1/（pi-3）-7）_|=15[3;7,15](333)/(106)3.14151

让简单连分数x被写入[b_0；b_1，…，b_n].则极限值为几乎总是这样 钦钦常数

K=lim_（n->infty）（b_1b_2…b_n）^（1/n）=2.68545。。。
(13)

（组织环境信息系统A002210型).

类似地，采用n个分母的th根B_n（B_n）的n个第个收敛的作为n->不完整几乎总是给出勒维常数

lim_（n->infty）B_n^（1/n）=e^（pi^2/（12ln2））=3.275823。。。
(14)

（组织环境信息系统A086702号).

对数 对数_（b_1）b_0可以通过定义b2类, ... 和正整数 氮1,……这样

b_1^（n_1）<b_0<b_1 ^（n_1+1）b2=（b_0）/（b_1）
(15)
b2（n2）<b1<b2（n（2+1）b3=（b1）/（b2）
(16)

等等。然后

log_（b_1）b_0=[n_1，n_2，n_3，…]。
(17)
连续分数格

简化的几何解释分数 年/年由字符串通过晶格个点的结束于(1,0)和（x，y）（克莱因1896年、1932年；斯坦豪斯1999年，第40页；加德纳1984年，第210-211页，鲍尔和Coxeter 1987，第86-87页；达文波特1992）。这种解释与与类似的最大共同点除数.它压住的钉子（x i，y i）给予替代者收敛 y_i/x_i,而另一个收敛是从它压住的钉子，起始端为（0,1）。上述绘图用于电子2，它有收敛点0，1，2/3，3/4，5/7。。。。

连分式可用于表示积极的 根任何多项式的等式。连分式也可用于求解线性丢番图碱方程和Pell方程.

Gosper发明了一种算法用于执行分析附加,减法,乘法、和分开使用连分数。它需要跟踪8个整数它们在概念上安排在多面体顶点的立方体。尽管如此算法还没有出现在印刷品上，Vuillemin已经构建了类似的算法（1987）和Liardet和Stambul（1998）。

计算连续分式的Gosper算法（ax+b）/（cx+d）从的连分数xGosper（1972）、Knuth（1998，练习4.5.3.15，第360和601页）和Fowler（1999）。（在Knuth解的第9行中，X_k<-|_A/C_|应替换为X_k<-分钟（|_A/C_|，|_（A+B）/（C+D）_|）Gosper（1972）和Knuth（1981）还提到了双变量情况（axy+bx+cy+d）/（axy+bx+cy+d）.

另请参见

续分数,收敛,广义连分式,钦钦常数,拉格朗日连分式定理,Lévy常数,洛斯定理,部分分母,周期连分式,简单连分式

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参考文献

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“常规连分数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RegularContinuedFraction.html

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