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图形交叉数


给出一个“好”图表 克(即,一个所有交叉 图形边在一个点相交并从四个不同的图形顶点),交叉编号是与之交叉的最小可能数量图表可以绘制,包括使用弯曲(非直线)边。几个符号文献中存在惯例,其中一些更常见cr(G)(例如,Pan and Richter 2007;Clancy等。2019),CR(G),cr_(0)(G)(例如,Pach和Tóth 2005),以及努(G).

A类图表交叉编号为0的称为平面图。在标准用法中,似乎没有用于图交叉的图形的术语数字1。特别是,术语“几乎平面”和“1-平面”在文献中用于其他概念。因此,在本工作中,术语单叉图将用于具有1号道口。交叉数为2的图称为双杂交图表这些术语汇总在下表中。

交叉口编号学期
0平面图表
1单交图表
2双杂交图表

Garey和Johnson(1983ab)表明,确定交叉数是一个NP-完全问题巴赫海姆等。(2008)使用整数线性规划公式找到可证明最优交叉数的第一个精确算法。奇马尼et(等)阿尔。随后给出了一个实用的整数线性规划公式有效到交叉数37,试图确定交叉数通过基于Buchheim的分支和降价等。(2008),奇马尼et(等)阿尔。以及作者的相关工作。作者提供了一个web表单请求将此算法应用于提交的图(Chimani和Wiedera)。相反,Haythorpe及其同事实现了一种称为QuickCross的快速启发式方法设计用于找到图的最佳或近最佳嵌入,如克兰西所讨论的等。(2018),可供下载。

虽然图形交叉数允许图形嵌入任意形状的边(例如曲线),但直线交叉 nu^_(G)是一个直的线路嵌入图形的。当(非直线)图的交叉数满足cr(G)<=3,rcr(G)=cr(G)(Bienstock和Dean,1993年)。虽然比恩斯托克和迪恩并没有真正证明这一点rcr(G)=3,他们表示,可以类似于rcr(G)<=2。结果不能扩展到cr(G)<=4,因为存在图形克具有cr(G)=4但是rcr(G)=米对于任何m> =4.

阿吉泰等。(1982)表明存在一个绝对常数c> 0个这样的话

 铬>(cm^3)/(n^2)

对于每个图顶点计数 n个边缘计数 m> =4个.阿吉台等。(1982)确定了不平等等待c=1/100,随后提高到1/64(参见克兰西等。2019).

盖伊猜想完全图 K_n(未知)扎兰基维奇的猜想完成二部图 K_(m,n).交叉数的一个猜想闭式这个环面网格图 C_m平方C_n也已提出。


另请参见

双交叉图,盖伊的猜想,克莱因瓶交叉编号,平面直线埋设,投影平面交叉数,直线交叉数,单十字图表,最小立方体交叉数字图表,直线嵌入,环形交叉数,扎兰基维奇的猜想

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参考Wolfram | Alpha

图形交叉数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“图形交叉编号。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GraphCrossingNumber.html

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