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费马最后定理


费马的最后一个定理是费马首先以注释的形式提出的一个定理,该注释潦草地写在他的古希腊文本的边缘算术迪奥芬图斯。这张潦草的便条是在死后发现的,原件是现在迷失了。然而,费马的儿子出版的一本书中保存了一份副本。注意,费马声称发现了一个证据丢番图碱方程式 x^n+y^n=z^n没有整数的解决方案n> 2个x、 y,z=0.

费马的声明全文以拉丁文写成,内容为“Cubum autem in duos cubos,aut quadrao-quadraum in duos-quadroa-quadraos,et generalizer nullam in infiniteum ultra quadraum-potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.Hanc marginis exigitas non-caperet”(纳格尔1951年,第252页)。在翻译中,“一个立方体不可能是两个立方体的和,四次方不可能是两个四次方的和,或者一般来说,任何大于二次方的数都不可能是两个类似幂的和。我发现了一个真正奇妙的证明,证明了这一命题的范围太窄了,无法包含。”

由于费马的旁注丢番图碱方程式

 x^n+y^n=z^n,
(1)

哪里x个,年,z(z),n个整数,没有非零的解决方案n> 2个被称为费马最后定理。它被称为“定理"尽管没有其他数学家数百年来都能证明这一点。

请注意,限制n> 2个显然是必要的,因为有许多基本的生成无穷多个毕达哥拉斯语三元组 (x,y,z)满足以下等式n=2,

 x^2+y^2=z^2。
(2)

可以通过尝试对方程进行因子分解来首次尝试求解方程,给出

 (z^(n/2)+y^(n/2))。
(3)

由于产品是精确的权力,

 {z^(n/2)+y^(n/2)=2^(n-1)p^n;z^。
(4)

解决年z(z)给予

 {z^(n/2)=2^(n-2)p^n+q^n;y^,
(5)

这给了

 {z=(2^(n-2)p^n+q^n)^(2/n);y=。
(6)

然而,由于这些方程的解有理数找到原始方程的解并不容易,这种方法不幸的是,没有提供任何额外的见解。

如果是奇数素数对划分n个,然后是减少

 (x^m)^p+(y^m)
(7)

可以进行,因此重新定义参数会给出

 x^p+y^p=z^p。
(8)

如果没有奇数素数除法n个,然后n个是2的幂,所以4|n个在这种情况下,方程(7)和(8)使用4代替对.自案件发生以来n=4费马证明没有解,这就足够了通过考虑奇数证明费马最后定理首要的权力只有。

类似地,只考虑相对质数 x个,年,z(z),因为方程(1)中的每个项都可以除以GCD(x,y,z)^n,其中GCD(x,y,z)最大的公约数.

该定理的所谓“第一种情况”是指相对质数x个,年、和z(z)(px、y、z)并被威弗里奇考虑。索菲·热尔曼证明了费马最后定理的第一种情况古怪的首要的 对什么时候2p+1也是一个首要的Legendre随后证明如果对是一个首要的这样的话4便士+1,8点+1分,10便士+1,14便士+1,或16便士+1也是一个首要的,然后费马大定理的第一种情况适用于对.这建立了费马最后定理p<1001849年,库默证明了这一点有规律的素数复数其中他们是因素(Vandiver 1929,Ball and Coxeter 1987)。

费马最后一个定理的“第二种情况”是“对划分正好一个属于x个,年,z(z)。请注意p|x、y、z被排除在外x个,年,z(z)相对最优,如果对除以x个,年,z(z),然后它也将第三个除以等式(8).

库默的攻击导致了理想,和Vandiver开发Vandiver标准用于决定如果给定不规则素数满足定理。1852年,Genocchi证明了第一个案例对对如果(p,p-3)不是不规则对.1858年,Kummer证明,如果(p,p-3)(p,p-5)是一个不规则对,随后扩展到包括(p,p-7)(第页,第9页)米里马诺夫(1909)。Vandiver(1920ab)指出库默回忆录中的空白和错误,在他看来,使库默的证明无效费马关于不规则素数37、59和67的最后定理,尽管他声称Mirimanoff对指数37的FLT的证明仍然有效。

Wieferich(1909)证明了如果方程是用整数求解的相对质数奇数素数 对,然后

 2^(p-1)=1(模p^2)。
(9)

(Ball and Coxeter 1987)。这些数字被称为威弗里奇素数米里马诺夫(1909)随后表明

 3^(p-1)=1(模p^2)
(10)

也必须等待解决方案相对质数奇数素数 对,不包括前两个威弗里奇素数1093和3511。1914年,Vandiver

 5^(p-1)=1(模p^2),
(11)

Frobenius将此扩展到

 11^(p-1),17^(p1)=1(模p^2)。
(12)

还表明,如果对是一个首要的 属于表格 6x-1号机组,然后

 7^(p-1),13^(p-1),19^(p1)=1(模p^2),
(13)

尽可能少的抬高对在“第一种情况”中253747889到1941年(罗塞尔1941年)。格兰维尔和莫纳根(1988)显示是否存在首要的 对满足费马最后定理,那么

 q^(p-1)=1(模p^2)
(14)

对于q=5,7, 11, ..., 71.这表明第一种情况对所有人来说都是正确的首要的指数高达714591416091398(瓦尔迪,1991年)。

费马最后定理的“第二种情况”(对于p|x、y、z)事实证明比第一个案例更难。

欧拉证明了定理的一般情况n=3,费马n=4迪里克莱和拉格朗日n=51832年,Dirichlet确立了该案n=14. Then=7Lamé(1839年;Wells 1986年,第70页)证明了该案,使用身份

 (X+Y+Z)^7-(X^7+Y^7+Z^7)=7(X+Y)(X+Z)(Y+Z×[(X^2+Y^2+Z^2+XY+XZ+YZ)^2+XYZ(X+Y+Z)]。
(15)

尽管该证明中存在一些错误,但勒贝格随后于1840年修正了这些错误。在接下来的150年里取得了更多的进步,但没有得到完全普遍的结果。之后被虚假的信心所鼓舞他的证据圆周率超越的,数学家林德曼随后发表了费马最后一部的几个证明定理,所有这些都是无效的(贝尔1937年,第464-465页)。奖品100000德国商标,称为沃尔夫斯凯尔奖项还提供了第一个有效证据(Ball and Coxeter 1987,第72页;巴纳1997;霍夫曼1998年,第193-194和199页)。

最近,Y.Miyaoka(Cipra 1988)对一般证据提出了错误的警告,然而,他的证据被证明是有缺陷的。两者之间的其他尝试证据vos Savant(1993)讨论了专业和业余数学家,尽管vos Savant错误地声称Wiles解决了这个问题(如下所述)无效。到1993年左右,费马大定理的一般情况已证明对所有指数都是正确的4×10^6(Cipra,1993年)。然而,鉴于费马的证明最后一个定理要求真理全部的指数,任何有限数的证明指数不构成证明一般定理(尽管没有找到这么多反例案例极具启发性)。

1993年,投掷了一枚炸弹。那一年,Andrew Wiles(Cipra 1993,Stewart 1993)通过证明半稳定的案例田山秀村猜想.不幸的是,不久后在证据中发现了几个洞Wiles通过田山秀村猜想塞尔默使用称为欧拉系统然而,1994年末,Wiles和R.Taylor绕过了这一难题(Cipra 1994,1995),并发表在Taylor and Wiles(1995)和Wiles(95)上。Wiles的证明成功通过(1)替换椭圆曲线用Galois表示,(2) 将问题简化为类别编号 公式,(3) 证明这一点公式和(4)捆扎松散端这是因为形式主义在最简单的退化案例中失败了(Cipra 1995)。

费马最后定理的证明标志着一个数学时代的结束。由于几乎所有最终用于解决问题的工具都还没有被发明于费马时代,猜测他是否实际上已经掌握了定理的基本证明。根据费马所谓的证据表明,问题如此顽强地抵抗了攻击看起来很可能是虚幻的。这一结论得到了费马为这些案件寻找证据n=4n=5如果他真的是这样的话,这将是多余的拥有一般证据。

在第7季第6集(“恐怖树屋VI”)中,标题为荷马^3动画电视节目阿森一族,方程式1782^(12)+1841^(12)=1922^(12)出现在背景中的某一点。扩展显示,只有扩展的前9位数匹配(Rogers 2005)。辛普森一家第十季第二集(《常青梯田的巫师》)提到3987^(12)+4365^(12)=4472^(12),匹配前10位小数(格林沃尔德)。这两个表达式导致近似整数表达。在开始时属于《星际迷航》:下一代《皇室》,船长皮卡德提到,研究费马最后定理是一个放松的过程。


另请参见

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“费马最后定理。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html

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