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近似整数

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几乎整数是一个非常接近于整数.

接近解决方案费马最后定理提供了一些引人注目的几乎整数。第七季第六集（“树屋恐怖六号”）部分，标题为荷马^3动画电视节目阿森一族,方程式1782^(12)+1841^(12)=1922^(12)出现在背景中的某一点。展开显示只有前9位小数数字匹配（Rogers，2005年）。辛普森一家第十季第二集（《巫师》常青梯田”）提到3987^(12)+4365^(12)=4472^(12)，它不仅与前10位小数，但最后一位也很容易检查（格林沃尔德）。相应的几乎整数是

(1782^(12)+1841^(12))/(1922^(12))=0.99999999972...
(1)
(3987^(12)+4365^(12))/(4472^(12))=1.0000000000189....
(2)

一些令人惊讶的几乎整数由以下公式给出

sin（11）=-0.99999 0206。。。，
(3)

等于-1到5位数以内

sin（2017RadicalBox[2,5]）=-0.999999999999999 785。。。，
(4)

这等于-1不超过16位（M.Trott，pers.comm.，2004年12月7日）。第一个这些来自半角公式身份

sin^211=1/2（1-cos22），
(5)

其中22是收敛22/7到圆周率，所以cos22近似cos（7pi）=cospi=近似-1因此，它如下任何pi近似 x个给出了形式的近似恒等式cosx近似值-1.

另一个令人惊讶的例子涉及这两者e（电子）和圆周率是

e^pi-pi=19.999099979。。。
(6)

（参见Maze和Minder 2005），也可以写成

（pi+20）^i=-0.9999999992-0.0000388927i
(7)
cos（ln（π+20）） 大约 -0.9999999992.
(8)

在这里，e ^π是Gelfond常数。这一接近一致性是显然，在1988年左右，新泽西州几乎同时注意到了这一点。答：。斯隆，J.H。Conway和S.Plouffe。它的起源可以连接到与有关的金额雅可比θ函数

sum_（k=1）^infty（8pik^2-2）e^（-pik^2）=1。
(9)

第一个术语占主导地位，因为其他术语只起作用

sum_（k=2）^系数（8pik^2-2）e^（-pik^2）约为0.0003436，
(10)

给

e^（-pi）（8pi-2）=0.999656…约为1。
(11)

改写为

e^pi约8pi-2=pi+7pi-2
(12)

并使用近似值圆周率约22/7然后给出

e^pi约为pi+22-2=pi+20
(13)

（A.Doman，2023年9月18日；D.Bamberger于2023年11月26日传达）。有趣的是，选择pi约为22/7（与之相比在数学上不显著选择其他选项，但它使最终形式非常简单）使公式的精度达到一个数量级。

通过应用余弦再多次。，

cos（皮科斯（皮科斯（ln（pi+20）））约为-1+3.9321609261×10^（-35）。
(14)

另一个嵌套余弦近似整数由下式给出

2cos（cos（cos（cos，cos（cos（cos5））））^2=0.999995254797000...
(15)

（P.Rolli，pers.comm.，2004年2月19日）。

Ramanujan的一个例子是

22pi^4=2143+2.748…×10^（-6）。
(16)

涉及整数和对数是

510日志_（10）7=431.00000040...
(17)
88英镑89=39500000053。。。
(18)
272log_pi97=1087.000000204...,
(19)

分别为6、6和6位小数（K.Hammond，pers.comm.，2006年1月4日和3月23日至24日）。

下面给出了一个有趣的近恒等式

1/4[余弦（1/（10））+余弦（1/10））+2余弦（1/2（20）sqrt（2））余弦（1/4（20）m2）]=1+2.480…×10^（-13）
(20)

（W.Dubuque，pers.comm.）。

近身份涉及e（电子）和圆周率由提供

e^6-pi^4-pi^5=0.000017673。。。
(21)

（D.Wilson，pers.comm.），

（pi^9）/（e^8）=9.9998387。。。
(22)

（D.Ehlke，pers.comm.，2005年4月7日），

10tanh（（28）/（15）pi）-（pi^9）/（e^8）约6.005×10^（-9）
(23)

（Povolotsky，pers.comm.，2008年5月11日），以及

（e^pi-ln3）/（ln2）-4/5=31.00000000 33。。。
(24)

（精确到8位数；M.Stay，pers.comm.，2009年3月17日）或同等数字

（10（e^pi-ln3））/（ln2）=318.00000033。。。，
(25)

其他显著的近似恒等式由

（5（1+平方（5））[伽马（3/4）]^2）/（e^（5pi/6）平方（pi））=1+4.5422…×10^（-14），
(26)

哪里伽马（z）是伽马函数（S.Plouffe，pers.comm.），

ln2+log_（10）2=0.994177。。。
(27)

（D.Davis，pers.comm.），

（163）/（ln163）=31.99999 87384。。。
(28)

（发布到sci.马赫；来源不明），

eC^（5/7-伽马）pi^（-（2/7+伽马））约1.00014678
(29)
（C^（γ-19/7）pi^（2/7+γ））/（2phi）约1.00105
(30)
伽马菲（Cpi）^（-（2/7+伽马））约为1.01979，
(31)

哪里C类是加泰罗尼亚常数,伽马射线是尤勒·马切罗尼常数、和φ是黄金比率（D.Barron，个人通讯社），和

163（pi-e）=68.999664。。。
(32)
（53453）/（ln53453。。。
(33)
[（2-1）^2+（（5^2-1））^2）/（6^2+1）]e-[（2+1）^2+=（613）/（37）e-（35）/（991）
(34)
=44.9999999999 3962。。。
（35）

（E.Stoschek，pers.comm.）。Stoschek还给出了一个有趣的近恒等式，涉及精细结构常数阿尔法和费根鲍姆常数 三角洲,

（28-δ（-1））（α（-1）-137）约0.999998。
(36)

E.Pegg Jr.（pers.comm.，2002年3月4日）发现了有趣的近恒等式

((91)/(10))^(1/4)-(33)/(19)=3.661378...×10^(-8)
(37)

和

（23）/9）^5=（6436343）/（59049）约109.00003387。
(38)

近同一性

3平方码（2）（平方码（5）-2）=1.0015516。。。
(39)

通过注意到增加比率（r+h）/h=3（平方码（5）-2）在中增加的十二面体形成伟大的十二面体大约等于1/平方米（2）。另一个近似身份由

zeta（3）近似γ^（-1/3）+pi^（-1-4）（1+2gamma-2/（130+pi^2））^（-3），
(40)

哪里泽塔（3）是阿佩里常数和伽马射线是尤勒·马切罗尼常数，精确到四位数（P.Galliani，pers.comm.，April19, 2002).

J.DePompeo（pers.comm.，2004年3月29日）发现

（5phie）/（7pi）=1.0000097。。。，
(41)

其等于1至5位数字。

M.Hudson（pers.comm.，2004年10月18日）注意到几乎是整数

lnK-lnlnK=1.0000744。。。，
（42）

哪里K（K）是钦钦常数，以及

（sqrt（45））^伽马=3.000060964。。。，
(43)

（pers.comm.，2005年2月4日），其中伽马射线是尤勒·马切罗尼常数.

M.Joseph发现

erfi（erfi，1/3sqrt（3））=1.0000208。。。，
(44)

它等于1到4位数字（pers.comm.，2006年5月18日）。M.Kobayashi（pers.comm.，2004年9月17日）发现

10（伽玛^（-1/2）-1）^2=0.99999 80。。。，
(45)

等于1到5位数。相关表达式

（10） /（81）（11-2sqrt（10））-γ=-2.72×10^（-7），
(46)

它等于0到6位数字（E.Pegg Jr.，pers.comm.，2004年9月28日）。S.M.公司。Edde（pers.comm.，2007年9月7日）指出

exp[-psi_0（1/4（2+sqrt（3）））]=1.999999 69。。。，
（47）

哪里psi0（x）是地高玛函数.

东-西。Weisstein（2003年3月17日）发现了几乎整数

2.78768×10^(-6) 大约 7/（64）ln2-（131）/（1728）
(48)
2.84186×10^(-6) 大约 （80497）/（40320）-（43）/（144）pi^2+（3293）/（1260）ln2-（43）或（24）（ln2）^2
(49)
9.80710×10^(-6) 大约 （2411287）/（30240）-（100）/9pi^2+（1877）/（21）ln2-（200）/3（ln2）^2
(50)

作为积分区域分解中的单个积分，计算三角形的平均面积三角形三角形拾取.

液化天然气和3^(1/3)给出近似整数

1/（3^（1/3）ln2）=1.00030887。。。
(51)

（E.W.Weisstein，2005年2月5日）。

普鲁德尼科夫等。（1986年，第757页）无意中给出了一个近似整数错误地识别无限乘积

产品_（k=1）^infty（1-e^（-2pik/sqrt（3）））=（e^，
(52)

哪里（q） _（_F）是一个q个-Pochhammer符号，作为存在平等的3^（1/4）e^（-pi/（6sqrt（3）））,与正确结果不同的是

3^（1/4）e^（-pi/（6sqrt（3）））-（e^。
(53)

与八曲线是跳入的位置

Pi（1/2i（i+sqrt（7））；isinh^（-1）（平方（-（2i）/（i+sqrt（7））常数），k），
(54)

哪里

k=sqrt（（i+sqrt（7））/（i-sqrt（7））
(55)

和Pi（n；φ，k）是一个第三类椭圆积分友善的，即1.3333292798…，或在4.1×10^(-6)第4/3页（E.W.Weisstein，2006年4月）。另一个稍微模糊的是x个需要给出99.5%信心间隔对于学生'秒 t吨-分配具有样本大小30，即2.7499956…，或在4.4×10^(-6)11/4（E.W.Weisstein，2006年5月2日）。

让我^_是一条直线的平均长度三角形线条采摘对于等腰直角三角形,然后

l^_=1/（30）[2+4sqrt（2）+（4+sqert（2））sinh^（-1）1]约0.4142933026，
(56)

在8×10^(-5)属于平方（2）-1=0.4142135624。。。.

D.Terr（pers.comm.，2004年7月29日）发现了近似整数

φ/（2^（ln2））=1.0007590。。。，
(57)

哪里φ是黄金比率和液化天然气是自然对数第页，共2页.

由D.Hickerson生成的一组几乎是整数属于表格

h_n=（n！）/（2（ln2）^（n+1））
(58)

对于1<=n<=17,如下表所示。

n个hn（小时）
00.72135
11.04068
23.00278
312.99629
474.99874
5541.00152
64683.00125
747292.99873
8545834.99791
97087261.00162
10102247563.00527
111622632572.99755
1228091567594.98157
13526858348381.00125
1410641342970443.08453
15230283190977853.03744
165315654681981354.51308
17130370767029135900.45799

这些数字接近整数，因为商是无穷级数中的主导项，用于表示两个种族之间可能的结果数n个人（允许打领带的地方）。打电话这个号码f（n）,由此可见

f（n）=总和（k=1）^n（n；k）f（n-k）
(59)

具有f（0）=1,哪里（n；k）是一个二项式系数。由此，我们获得指数生成函数对于（f）

sum_（n=0）^inff（f（n））/（n！）z^n=1/（2-e^z），
(60)

然后通过等高线积分它可能是显示出

f（n）=1/2（-1）^（n+1）n！sum_（k=-infty）^infty1/（（ln2+2piik）^（n+1））
(61)

对于n> =1,哪里我是的平方根-1和大于所有整数k个（这里是k个和-k相互抵消，所以这个总数是真实的）。这个k=0术语占主导地位，所以f（n）渐近于不/（2（ln2）^（n+1））。总和可以明确表示为

f（n）=（（-1）^（n+1）英寸！）/（π^（n+1）2^（n+2））[i^nzeta（n+1，1+（iln2）/（2pi））-，
(62)

哪里泽塔（s，a）是Hurwitz zeta函数事实上其他条款对于n个从1到15，所以f（n）是最接近的整数不/（2（ln2）^（n+1））对于这些值，由序列1给出，3, 13 75, 541, 4683, ... （组织环境信息系统A034172号).

一大类不合理的“几乎整数”可以用模块化功能,Ramanujan（1913-14）给出了一些相当壮观的例子。此类近似值Hermite（1859）、Kronecker（1863）和Smith（1965）也对其进行了研究。他们可以使用j个-函数.一些最接近的数字整数是e ^（活塞（163））（有时被称为拉马努扬常数与字段相对应Q（平方米（-163））其中有类别编号1并且是虚二次场最大判别式），e^（活塞（22））,e ^（第37页）、和e ^（活塞（58）），其中最后三个有班数2和应支付给Ramanujan（Berndt 1994，Waldschmidt 1988ab）。

的属性j个-函数也给予上升到壮观的身份

[（ln（640320^3+744））/pi]^2=163+2.32167……×10^（-29）
(63)

（Le Lionnais 1983年，第152页；Trott 2004年，第8页）。

下面的列表给出了数字表单的 x=e^（活塞（n））对于n<=1000为此|九（x）-x|<=10^（-3）.

n个|nint（x）-x|
25-0.00066
37-0.000022
43-0.00022
58-1.8×10^(-7)
67-1.3×10^(-6)
74-0.00083
1480.00097
163-7.5×10^(-13)
232-7.8×10^(-6)
2680.00029
522-0.00015
6521.6×10^(-10)
719-0.000013

Gosper（pers.comm.）指出

1-262537412640768744e^（-pisqrt（163））-196884e^。
(64)

不同于整数仅仅1.6×10^（-59）.

AlmostInteger三角形剖切

E.Pegg Jr.指出三角剖切上图有长度

d日=1/2平方（1/（30）（61421-23sqrt（5831385））
(65)
=7+8.574×10^(-8),
(66)

这几乎是一个整数。

博文和博文（1992）以及博文等。（2004年，第11-15页）给出近似真实的序列标识示例。例如，

sum_（n=1）^infty（|_ntanhpi_|）/（10^n）=1/（81）-1.11…×10^（-269）
(67)

这是真的，因为tanhpi=0.9962。。。和|_tanhpi=n-1对于正整数n<268.事实上，最初的几个值是n个在其中|_tanhpi=（n+1）tanhpi_|是268536804107213411609，…（OEIS）A096613年).

（非常）近整数的一个例子是

sum_（k=-infty）^（infty）1/（10^（（k/100）^2））=θ3（0,10^（-1/10000））
(68)
大约 100平方米（pi/（ln10））+1.3809×10^（-18613）
(69)

（Borwein和Borwein1992；Maze和Minder 2005）。

Maze和Minder（2005）发现了从

u_k=ln2sum_（n=-infty）^infty1/（（2^（k/2）+2^（-k/2））^n）
(70)

作为

u_1=3.14159265359518238328842...
(71)
=pi+5.3…×10^（-12）
(72)
二氧化铀=1.00000000004885109041382...
(73)
=1+4.8...×10^(-11)
(74)
u_3=pi/（2^3）+2.2…×10^（-10）
(75)
四氧化二铀=1/6+6.7…×10^（-10）
(76)
u5型=（3pi）/（2^7）+1.5…×10^（-9）
(77)
u_6型=1/(30)+2.9...×10^(-9)
(78)

（组织环境信息系统A114609型和A114610号). 在这里，超额可以计算为通过重现关系，前几个是

r_1=2pisum_（k=1）^（infty）秒（（2kpi^2）/（ln2））
(79)
第2段=（2pi）/（ln2）总和_（k=1）^（infty）2kpicsch（（2kpi^2）/（n2））
（80）

（Maze和Minder，2005年）。这些总和也可以使用q个-多囊膜功能 psiq^（（k））（z）,举个例子

第1段=-2ipsi（sqrt（2））（-ipil_2）-2ipsi（m2））（ipil_2）-1/2l_2^（-1）-3pi
(81)
第2段=-2l_2pis_（sqrt（2））^（（1））（-ipil_2）-2l_2pis_（sqrt（2））^（（1））（ipil2）-1/4l_2^（-1）+1，
(82)

具有l2=ln2.

一个有趣的涉及长度单位的几乎整数由下式给出

（英寸/英里）/（天文单位/光年）=0.99812。。。，
(83)

其中涉及长度、时间和速度的公式为

（（天文单位/天）^2）/（（光速）（米/秒））=10000.06。。。
(84)

（J.Martin-Garcia，pers.comm.，2022年6月25日）。

如果允许物理常数和数学常数的组合，并以SI单位表示，则以下数量具有接近整数的数字前缀

（塞克）/小时=1.0008米A/（s K）
(85)
（P_b+7/9）（epsilon_0R_infty^2）=1000.0层/m^3
(86)

（M.Trott，pers.comm.2011年4月28日），第一次明显是由Weisskopf注意到的。在这里，c（c）是光速，e（电子）是基本电荷，k个是玻尔兹曼常数，小时普朗克常数，P_b（_b）是4维超立方体的键渗流阈值格子，ε_0是真空介电常数，以及红色（_I）是里德堡常数。另一个著名的例子排序为怀勒常数，它近似于用基本数学常数表示的（无量纲的）精细结构常数。

另请参见

几乎达到最佳状态,几乎为零,Apéry常数逼近,加泰罗尼亚常数近似,类别编号,e（电子）近似值,爱丁顿数,尤勒·马切罗尼恒定近似值,费根鲍姆恒定近似值,楼层功能,黄金比率近似,j个-功能,钦钦常数近似,Pi近似值,皮索编号,三角形解剖,均匀性猜想,怀勒常数

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伯恩特，B.C。拉马努扬的笔记本，第四部分。纽约：Springer-Verlag，第90-91页，1994年。博文，J。；Bailey，D。；和Girgensohn，R.《高精度欺诈》第1.4节实验数学：发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，第11-15页，2004年。J.M.博文。和Borwein，P.B。“奇怪系列和高精度欺诈。"阿默尔。数学。每月 99在622-640中，1992Cohen，H.《椭圆曲线》发件人数论到物理学（编辑M.Waldschmidt，P.Moussa，J.-M.Luck，和C.Itzykson）。纽约：Springer-Verlag，第212-237页，1992年。格林沃尔德，S.“莎拉博士的未来派克--3000年数学。”http://www.mathsci.appstate.edu/~sjg/futurama（未来）/.赫米特，C.“模块化的四个方面”康普茨Rendus学院。科学。巴黎 481079-1084年和1095-11021859年。赫米特，C.“Sur la théorie deséquations modulares”康普茨Rendus学院。科学。巴黎 49、16-24、110-118和141-144、1859。克罗内克，L.“如果是Klassenzahl der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen扎伦。"莫纳茨伯。K.普鲁斯。阿卡德。威斯。柏林, 340-345. 1863勒Lionnais，F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎：赫尔曼，1983年。Maze，G.和Minder，L.《几乎相同的新家族》，2005年6月28日。http://www.arxiv.org/abs/math.GM/0409014/.佩格，小E。http://www.mathpuzzle.com/WIWWTP.gif.佩格，小E。《数学游戏：基恩近似》，2005年2月14日。http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgrames_02_14_05.html.普鲁德尼科夫，A.P.公司。；于·布里奇科夫。答：。；和O.I.Marichev。积分和系列，第1卷：基本函数。纽约：Gordon&Breach，1986Ramanujan，S.“模方程和近似圆周率”夸脱。J.纯应用。数学。 45,350-372, 1913-14.J.罗伯茨。这个整数的诱惑。华盛顿特区：数学。美国协会。，1992罗杰斯，D.“Homer Math紧跟新闻。”旧金山纪事报,第B-7页。2005年12月16日。http://www.sfgate.com/cgi-bin/article.cgi？file=/编年史/archive/2005/12/16/EDG7RG8FGG1.DTL.斯隆，新泽西州。答：。序列A034172号,A096613号,A114609型、和A114610号在“整数序列在线百科全书”中史密斯，H·J。美国。报告关于数论。纽约：切尔西，1965年。斯蒂尔韦尔，J.“模块化奇迹”阿默尔。数学。每月 108, 70-76, 2001.斯托切克，E.“模块33：有数字的藻类。”http://marvin.sn.schule.de/~inftref/module33/task33.htm.特洛特，M。这个编程数学指南。纽约：Springer-Verlag，2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/.Waldschmidt，M.“拉马努扬作品的一些超越性方面”，摘自拉马努詹重温：伊利诺伊大学香槟分校百年会议记录，1987年6月1日至5日（编辑G.E.Andrews、B.C.Berndt和注册会计师。兰金）。纽约：学术出版社，第57-76页，1988a。Waldschmidt，M.输入拉马努詹百年国际会议（编辑R.Balakrishnan，英国标准。Padmanabhan和V.Thangaraj）。拉马努扬数学。Soc.，1988年b。

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近似整数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“几乎是整数。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

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