基数

在常见用法中，基数是用于计数（a）的数字计数数)例如1、2、3。。。。

正式集合论，基数（也称为“基数”）是一种数字类型，其定义方式使任何方法计数的套使用它可以得到相同的结果。（这是对于序数.）事实上基数是通过收集所有依次的数字通过对给定集合进行计数即可获得。一套有(阿勒夫-0)成员（如果是）可以放入一对一通信用有限的序数.基数集合的力量也经常被称为集合的“力量”（摩尔1982年，Dauben 1990年，Suppes 1972年）。

在乔治·坎托的原始符号中设置 用单个overbar注释表明去掉了除顺序之外的任何结构，因此它代表这个订单类型集合的。一辆双人敞篷车然后指示从集合中剥离顺序，因此表示集合的基数。然而，在现代记数法中，符号用于表示基数集合的。

康托，现代之父集合论，注意到虽然序数 ,。。。就秩序而言，他们比欧米茄大从某种意义上来说并不是更大均势。这个引导他研究所谓的基数。他叫序数,。。。与整数“相等第二类数字”（与有限序数相反，他称之为“头等舱”）。康托展示

1.第二个数字等级比第一个大。

2.没有比第一个数字等级大、比第二个数字等级小的等级。

3.实数类比第一类大。

基数的第一个严肃的数学定义之一是由戈特洛布·弗雷格和伯特兰·罗素设计的，他们定义了基数作为所有集合的集合相等的到.（摩尔1982年，第153页；补遗1972年，第109页）。不幸的是根据这个定义，不是泽梅洛·弗伦克尔集合论，但是“适当的类"用冯·诺依曼的术语来说。

Tarski（1924）提出定义基数，即每个集合与基数关联，和两套和基数相同若（iff）他们是相等的（摩尔1982年，第52页和214; 鲁宾1967年，第266页；补编1972，第111页）。问题是这个定义需要一个特殊的公理来保证基数的存在。

A.P.公司。莫尔斯和达娜·斯科特通过以下方式定义基数准备好了，然后打电话所有集合的集合相等的到和最不可能的等级（鲁宾1967年，第270页）。

可以将基数与特定的集合相关联，但该过程需要基础公理或者公理可供选择的然而，这是两个更有争议的问题泽梅洛·弗伦克尔公理。使用选择公理，红衣主教可以通过序号枚举。事实上，这两者可以放在一对一通信. The选择公理暗示每一套都可以井然有序因此可以与序数.

这导致了基数的定义设置 至少依次的数 这样的话和是相等的在这个模型中，基数只是初始序数.此定义显然取决于选择公理，因为如果选择公理不是真的，那么是无法有序排列的集合。坎特相信每一盘都会很好排序并使用此通信来定义s（“alephs”）。对于任何依次的数 ,.

安无法接近的红衣主教无法表达就较小数量的红衣主教而言。