序数——来自Wolfram MathWorld

在常见用法中，序数是一个形容词，用来描述物体的数字位置，例如第一、第二、第三等。

正式的集合论，序数（有时简称为“序数”）是乔治·坎托的数字之一扩展整数.序数定义为订单类型的好有序集合（Dauben 1990年，第199页；Moore 1982年，第52页；Suppes 1972年，第129页）。有限序数通常用阿拉伯数字表示，而超限序数用小写希腊字母表示。

很容易看出有限的，有限的 完全有序集合是井然有序.任意两个完全地有序集具有元素（用于非负整数）是阶同构,因此具有相同的订单类型（这也是序数）。有限集的序数表示为0，1，2，3。。。，即。，整数比相应的非负整数小一。

第一个超限序数，表示为，是订单类型的非负整数集（Dauben 1990，p.152；Moore 1982，p.viii；鲁宾1967年，第86和177页；补编1972，第128页）。这是“最小的”康托的超限数，定义为是大于整体数字Conway和Guy（1996）用符号表示.

从定义顺序比较，因此序数是a井然有序设置.按大小增加的顺序，序号为0、1、2、…、。。。，,,, ...,,, .... 序数的符号可以是有点违反直觉，例如，即使,. The红衣主教数表示可数序数集的(aleph-1).

如果是一个有序集带序数，然后是所有序数的集合是秩序同构的到.这提供了将序数定义为所有序数的集合less的动机而不是它本身。约翰·冯·诺依曼定义了一个集合成为序数若（iff）

1.如果是的成员,然后是一个真子集属于

2.如果和是的成员则以下情况之一为真：,是的成员，或是的成员.

3.如果是非空的真子集属于，则存在的成员这样交叉口为空。

（鲁宾1967年，第176页；西塞尔斯基1997年，第44页）。这是序数的标准表示。在该表示中，

符号	元素	描述
0		空集合
1		一组元素
2		两个元素的集合
三		三元素集

		所有有限序数集


		所有可数集合序数

		所有可数和序数

		设置所有有限序数和所有非负整数的序数

鲁宾（1967年，第272页）对序数。

因为任何序数,工会是一个较大的序数,没有最大序数，因此所有序数的类都是适当的班（如所示Burali-Forti悖论).

序数还有其他一些相当特殊的性质。两个序数之和可以取两个不同的值，三个序数的和可以取五个值。这个序列的前几个项是2、5、13、33、81、193、449、，,,,,, ..., 即2、5、13、33、81、193、449、1089、2673、6561、，15633, 37249, ... （Conway和Guy，1996年，OEISA005348号).以下各项的总和序数有或可能的答案（Conway和Guy，1996年）。