Zermelo-Fraenkel公理

Zermelo-Fraenkel公理是Zermelo-Fraenkel集合论在下文中（Jech 1997，第1页），代表存在,方法为所有人,代表“是的一个元素”对于空集合,对于暗示,对于和,对于或、和for“是相等的至。”

1外延公理：如果和有相同的元素，那么.

(1)

2无序对公理：对于任何和存在一个集合它确切地包含和（也称为配对公理）

（2）

三。子集公理：如果是一个属性（带有参数)，那么对于任何和存在一个集合包含所有这些拥有财产的（也称为分离公理或理解公理）

(3)

4和集公理：对于任何存在一个集合，所有元素的并集（也称为联合公理）

（4）

5动力装置公理：对于任何存在一个集合，所有子集的集合.

(5)

6无限公理：存在无穷大设置。

(6)

7替换公理：如果是一个函数，那么对于任何存在一个集合.

(7)

8基础公理：每个非空集合都有一个-最小值元素。（也称为规则公理）

(8)

9选择公理：每个非空集族具有选择功能。

(9)

公理1-8的系统称为Zermelo-Fraenkel集合论，表示为“ZF”。公理1-8系统减去公理更换件的（即公理1-6加8）被称为策梅罗集合论，表示为“Z”。公理1-9的集合公理可供选择的通常表示为“ZFC”

不幸的是，文献中似乎对公理的构成存在一些分歧。”Zermelo集合论."门德尔森（1997）确实如此不包括公理可供选择的或基础在Zermelo集合中理论，但确实包括替换公理.Enderton（1977）包括选择公理和基础，但确实如此不包括替换公理。它包括一个空集公理，可以得到从（6）和（3），通过和.

Abian（1969）证明一致性和独立性Zermelo-Fraenkel的四个公理。