n类咖啡馆

本周的课程量子化与上同调介绍了“钻机”的主题（rin个gs无n个否定词），上周预示：

• 第12周（1月30日）——经典力学、量子力学和统计力学被称为“矩阵力学”。在量子力学我们在环上使用线性代数$\mathbb{C}$; 在经典力学中，一切形式上都是一样的，但我们使用的是钻机$\mathbb｛R｝^｛min｝=\ mathbb｛R｝\ cup \｛+\ infty \｝$，其中加法为min，乘法为+。作为将统计力学引入画面的热身，以及另一个平台上的线性代数，我们回忆起粒子的动力学是如何在Wick旋转后变成弦的静力学的。
  
  
  • 补充阅读：格里戈里·利特维诺夫，马斯洛夫去量化，幂等元与热带数学简介。另请参阅较长版本在这里.

上周的笔记是在这里; 下周的笔记是在这里.

咖啡馆常客约翰·阿姆斯特朗有一个博客。它的名字是无辩解的数学家.对哈代的微妙暗示数学家的道歉巧妙地运用了道歉?

将会有一个Arbeitsgemeinschaft公司（研究组）Oberwolfach公司，上的共形场理论中的代数结构2007年4月1日至4月7日。

您可以找到程序和应用程序详细信息在这里.

值得一看的是佐藤在1990年对安多尼科夫的采访，发表于二月美国数学学会通告。佐藤以代数分析,D模块诸如此类，我几乎一无所知。也许如果Urs继续在Geometric Langlands上发帖，我们会听到一些关于D-modules的消息，因为它们看起来非常相关的你不会从这次采访中学到很多数学知识，但它为你提供了一条成为世界顶尖数学家之一的间接途径。

关于未来的方向，这篇文章引起了我的注意：

数学方法量子场论中的物理学受益匪浅数学的各个分支（拓扑、辫子理论、数论、几何），反之亦然不一定是真的。今天[记住这是1990-DC]，数学物理学家大多使用数论或代数几何图形。数学物理只是接受性的对于高等数学发达地区其中一些被超弦理论所利用，尽管还没有达到最大程度。数学有未能提供更有效的方法计算量大于摄动展开。当然，有一些原始的方法计算，如Monte-Carlo方法。全部这些是蛮力计算，不是精细的数学，当然不够精细对于物理学现在面临的问题，比如测定粒子或夸克的质量。所有这些事情都是在非常抽象的基础上讨论的水平，而不是数量。所以我认为数学分析应该大力发展进一步匹配物理的现实。

另请参阅Pierre Schapira在同一版本的通知.

最近几天，我两次面临由于采访而产生疏远感的可能性。首先，我和合著者Darian Leader就我们的书接受了《新科学家》杂志的采访为什么人们会生病？一两天后，我们看到了一份拟出版的草稿。由于篇幅有限，我们中的一个人所说的话都是由我们两人所说的内容组成的。我认为就采访中所携带的信息而言，这并不重要，但把你从未说过的句子标记为源于你，感觉很奇怪。

最近没有发生过类似的事情采访，Urs和John给Bruce Bartlett的关于这个博客的信息。甚至犹豫和大笑都被仔细地标记了出来。在这里，潜在的疏远源于被人以与自我形象相冲突的方式谈论的可能性。当然，没有发生这样的事情，但我想借此机会谈谈约翰对我的评论

他谈论的是数学哲学，他非常关注数学社会学，以及人们如何互动，以及如何把数学学好。

现在，“社会学”有很多用途。一方面，它可以被视为一门非规范性学科，旨在理解和描述社会如何运作。尽管幕后可能有一些或其他哲学立场，但这项活动似乎并不像现在这样具有哲学意义。另一方面，应用于科学和数学研究的“社会学”，就像“科学知识社会学”一样，往往带有强烈的社会建构主义色彩，并且希望揭露有权势者的资源和技术来代表事物的方式。在这种情况下，对“规范”的研究主要是为了了解强权如何运用某些标准来保持其突出地位。我们讨论了从后面开始的立场在这里.

要开始填充带电量子的定义$n个$-粒子在生活中，我走过了一个非常简单但仍然有趣的例子：“2群分类空间上的字符串$二氧化硫$”.

这就是“球状扩展量子场论”$q（\mathrm{tra}）$，指向形状的“点”$$\子弹$$分配2-向量状态空间 $$\马特姆{模式}_{\mathbb{C}[\Lambda G_2]}\,,$$即某个广群代数上的模范畴&2-群的圈广群$二氧化硫$–和形状的“字符串”$$\项目符号\到\项目符号$$在这个2-向量空间上指定2-线性恒等式映射$$q（\mathrm{tra}）: （\bullet\to\bullet）\;\;\地图\;\;（\mathrm{模式}_{\mathbb{C}[\Lambda G_2]}\stackrel{\mathrm{Id}}{\to}\马特姆{模式}_{\mathbb{C}[\Lambda G_2]}）\,.$$

对于2组为“紧单连通李群的弦群”$$G_2=\mathrm{字符串}k（_k）（G）$$点上的2-状态空间是$G公司$-上的等变gerbe模$G公司$，也被称为某些D膜$G公司$.

A（2-）状态上字符串的$B\mathrm公司{字符串}k（_k）（G）$是2线性2映射$$\阵列{\马特姆{兽医}_\mathbb{C}&\stackrel{\mathrm{Id}}{\to}&\马特姆{兽医}_\mathbb{C}\\\psi（\项目符号）\向下箭头\；\；&\;\;\;\;\向下箭头\psi（\bullet\to\bullet）&\;\;\;\向下箭头\psi（项目符号）\\\马特姆{模式}_{\mathbb{C}[\Lambda G_2]}&\stackrel{\mathrm{Id}}{\to}&\马特姆{模式}_{\mathbb{C}[\Lambda G_2]}}\,,$$这只不过是一个gerbe模块/D膜$$\磅/平方英寸（\子弹头）$$结束$\子弹$,与自同构一起$$\psi（\bullet\to\bullet）：\psi（子弹）\至\psi（子弹）\,.$$

如果我们关闭通过跟踪将其端点粘合在一起，我们发现闭合字符串的状态是$\兰姆达G_2$ $$\[\pi_0（\Lambda G_2），\mathbb{C}]中的mathrm{Tr}（\psi（\bullet\to\bullet））\,.$$

今天在我们的课程中经典计算与量子计算我们介绍了2类的大量示例，以展示这些小工具的广泛性：

• 第11周（1月25日）-两类示例。类别的2个类别。拓扑空间的基本2-广群。拓扑空间、映射和映射之间的同伦的2类。拓扑空间、映射和映射之间的同伦的2类。杰弗里·莫顿（Jeffrey Morton）提出的扩展拓扑量子场论中隐含的2范畴。弦理论中隐含的2范畴，由Stolz和Teichner提出。单体范畴为一物二类。2类环，双模和双模同态。单体范畴为一物二类。环、双模和双模同态的2-范畴。
  
  补充阅读：
  • 杰弗里·莫顿，带角坐标的双重双范畴.
  • Stefan Stolz和Peter Teichner，什么是椭圆物体？第4.2节：共形0-流形、1-流形和2-流形的双范畴。

上周的笔记是在这里; 下周的笔记是在这里.

本季度在我们的课程中经典计算与量子计算，我们的目标是修复范畴理论在计算中的通常应用中的一个漏洞，尤其是lambda-calculus及其量子推广。我们想谈谈计算的过程！为此，我们需要认真对待两个类别…

• 第10周（1月18日）-对“类别”的概念进行分类，以获得“2-类别”的详细概念。

上周的笔记是在这里; 下周的笔记是在这里.

考虑了一会儿(A类 B类 C类 D类 E类 F类 G公司 H（H） 我 J型)似乎我终于可以大胆地对其工作名称为带电量子$n个$-粒子.

以下定义取自

球窝伸展质量功能测试严格2-群的分类空间上传播的弦

它更详细地开发了一个最简单有趣的示例（将在后续文章中讨论）。

下面详细讨论的两个定义大致如下：

定义1.A类已充电$n个$-粒子是一个设置 $$\左(\mathrm{par}\stackrel{gamma\in\mathrm{conf}}{\to}\mathrm{tar}\stackrel{\mathrm{tra}}{\to}\mathrm{phas}\右侧）$$ 内部到$n \mathrm{猫}$.

定义2。 这个量化被指控的$n个$-粒子是$n个$-函子开$\数学{par}$通过推拉获得$\数学{tra}$通过信件 $$\阵列{&&\mathrm{conf}\times\mathrm{par}\\&\多脚本{^{\mathrm{ev}}}{\swarrow}{}\；\；&&\西罗\\\mathrm{tar}&&&\mathrm}par}}\,.$$

这是布鲁斯·巴特利特的另一篇客座帖子。

幸运的是，布鲁斯仍然在多伦多的菲尔德参加同调理论几何应用专题课程.

在这里，他报道了一些非常有趣的事情，这些事情与关于算符的讨论.

• 第11周（1月23日）——从“配置”和“路径”类别到实数的函子动作（视为一个单对象类别）。物理学家用这个函子做三件事：找到它的临界点，找到它的极小值，并对它的指数进行积分。最小作用的（经典）原理和路径积分的（量子）原理之间的类比。实数与运算min和+以及运算+和x的复数之间的基本类比。
  
  
  • 补充阅读：哈密尔顿-雅可比方程.
    
    
  • 作业在另一条路上看作为函子的操作.
  • 答案通过杰弗里·莫顿.
  • 答案通过托比·巴特尔斯.
  • 答案通过米盖尔·卡里翁·阿尔瓦雷斯.
  • 答案通过德里克·怀斯.

正如John和Urs都没有宣布的那样，读者可能希望了解他们在采访他们给了布鲁斯·巴特利特（Bruce Bartlett），这本书既有书面形式，也有MP3文件。

约翰评论道：

我认为我们三个人——乌尔斯、戴维和我——都在推动一种新的思维方式：一种非常非范畴化的思维方式，用以思考数学和物理中的大量想法。我对此感到非常兴奋，因为我可以看到它有多大的潜力。但我们同时也在推动一个关于如何交流想法的新想法。这个组合真的非常非常有趣。

有一个有趣的想法。如果不是的话n个-吸引我们的类别，这会对博客的工作方式产生影响吗？好吧，我想不出还有什么能让我们以同样的方式谈论量子引力、逻辑和数论。在我看来，这至少与1900年左右几十年基础活动的爆发一样重要。

肯尼·伊斯瓦兰写的:

很明显，为什么其他哲学家应该关心逻辑和基本算术的概念，以及抽象对象知识的可能性。也许他们有理由关心更高范畴理论，但我认为这一点还没有明确。

我回答说，高级范畴理论表明一位杰出的哲学家错了。我不知道这里有什么规则。如果这还不够，我还需要做什么？

菲尔德研究所研讨会n个-分类很有趣。如果你做不到，你仍然可以看到它是什么样子。这是一个包含摘要、透明胶片和照片许多会谈中：

• 高级范畴及其应用Fields Institute，2007年1月9日至13日。

不久的将来，我想描述一下其中的一些会谈——但不是今晚。

从功能运输的角度#, 我描述了字符串字段的星积结构，作为一个特例，循环群表示的融合产物。

这只是为了好玩——有点像我经常发布的拼图，但更开放。

有一天，我正走在坎河上的桥上，突然想到：动词“duck”与名词“鸭子”有关！鸭子潜入水中觅食！我以前从未注意到这两个词之间的关系，这让我感到震惊。我想知道哪个先到：动物还是动词。人们之所以称这些鸟为“鸭子”，是因为它们会潜到水下，还是在看鸭子做什么后发明了动词“鸭子“？

更笼统地说：还有哪些动物的名字也是动词？

继续我们之前的讨论二元性，值得注意的是，劳弗尔和罗斯布鲁在他们的数学集合在“形式”和“具体”二元性之间。正式二元性只涉及相关图表中的箭头反转，所以

当然，如果给出了原始图表具体的解释具体的集合和映射，当我们转到这个形式对偶时，这种解释就丢失了，因为形式对偶过程本身就是这样不确定解释双重化语句的特定集合和特定映射。（第121页）

混凝土另一方面，对偶性发生在这样的情况下，即通过将每个对象相对于给定的对偶对象进行指数化，从旧图中形成新图，例如。，$X（X）$成为$V ^X（V ^X）$，使用$V（V）$二元化对象。新图表中的箭头自然颠倒。

现在，

并不是每一个陈述都会通过对$V（V）$事实上，数学研究的很大一部分

空间vs.数量

逻辑和

理论与实例

可以被认为是对形式二元性和具体二元性在多大程度上成为最受欢迎的事物的详细研究$V（V）$对应或不对应。（第122页）

彼得·约翰斯通（Peter Johnstone）的观点与具体的二元性非常相关石头空间特别是第6章及其对精神分裂症对象约翰斯通（Johnstone）对一些泛代数学家试图在最小化与范畴理论联系的同时处理对偶性的努力进行了一次硬性评论，请参见这.

精神分裂症患者的物品在澄清$\欧米茄$-分类问题。参见Makkai和Zawadowski的简单的二重性$\欧米伽$-类别和磁盘.

如果你对逻辑、范畴理论和图表感兴趣，你会喜欢这个研讨会：

• 范畴理论和逻辑的最新进展：迹在代数、分析和范畴逻辑2007年4月28日至30日，渥太华大学。由Phil Scott组织，Rick Blute和Pieter Hofstra。

你会问，什么是痕迹？继续阅读…

今年的几何、拓扑和物理Oporto会议实际上将在年举行法罗，首都阿尔加维-葡萄牙最南端地区：

• 关于几何、拓扑和物理，2007年7月5日至8日，葡萄牙法罗。由马可·麦凯、罗杰·皮肯、保罗·塞米等人组织。

今年的主题是纽结同源的组合学、几何学、拓扑学和物理学.

以下嘉宾帖子由迈克留下来:

我一直在试图理解乘法直觉线性从范畴论的角度来看逻辑（MILL），我认为我弄清楚发生了什么-见下文。作为理查德·盖伊会说，这“可能是众所周知的”。如果你是其中之一对于这些，我很感激你能想到任何推荐信。

我对我们的发现感兴趣的原因之一不同钻机中的力学正如本教程所示，许多机器学习算法都可以用热力学形式表示，基于能量的模型：超越可能性的结构化学习由Yann LeCun详细说明。我们甚至看到在$\mathbb{R}^{+}$钻机，你保存整个概率仪器的地方，以及$\mathbb{R}^{min}$钻机，您只需寻找最佳解决方案。前者通常需要付出更大的努力。只有在特殊情况下，它才可以进行分析处理，所以可以使用蒙特卡罗技术。另一方面，在概率设置中，正则化项（防止推理问题不适定）通常是在包中免费提供的，并在之前进行编码。

在机器学习之外，将构造导入到$\mathbb｛R｝^｛min｝$，这样您就可以听到概率与优化。为了很好地概述半环的用法，例如$\mathbb{R}^{min}$乔纳森·戈兰半环理论的一些最新应用建议使用。我从来不知道萨米·艾伦伯格或约翰·霍顿·康韦在1970年前后的复兴中扮演的角色。

在来自锡罐的D-麸皮，I：圆盘的箭头理论我开始谈论寻找右箭头理论的练习$n个$-圆盘全息术-在经典世界和量子化世界中。

对于$n=1$这很熟悉：

经典地，我们有一个向量束$V（V）$带连接$\纳布拉$在一个空间上$X（X）$.A路径$x\stackrel{\gamma}{\to}y$在里面$X（X）$是一个1个磁盘.选取一段$V（V）$结束$x个$及以上$年$，即形态$$e_1（x）：\mathbb{C}\到V_x$$和$$\条e_2（y）：V_y\to\mathbb{C}$$相当于选择边界插入在1个磁盘上。

这个圆盘全息术1个磁盘的$\伽马射线$在运输过程中$\纳布拉$带有边界插入$电子1$和$\条e_2$是数字

哪里$\马特姆{tra}_\纳布拉$表示平行运输诱发因素$\纳布拉$.

有一个量子版本。量化上述设置后（例如通过将其推进到某一点)我们在抽象世界线这个粒子发出了一条长度的世界线$t吨$到一个态射$$H\stackrel｛U（t）=\exp（i t\nabla^2）｝｛\to｝H$$在里面$\马特姆{希尔布}$.

现在我们可以计算“量子单盘全能”。这称为（1-）磁盘相关器.如果$\psi_1$是希尔伯特空间中的向量$H（H）$和$\巴\psi_2$是该空间中的一个covector，然后是量子机械单盘相关器$\psi_1$和$\磅平方英寸2$因为“边界插入”看起来是这样的：$$\mathbb{C}\stackrel{\psi}{\to}H\stackrel{\exp（it\nabla^2）}{\to}H（H）\stackrel{\bar\psi2}{\到}\mathbb{C}\,,$$你可能更熟悉等效符号中的这个实体$$\cdots=\langle\psi_2|\exp（i t\nabla^2）\psi_1\rangle\,.$$

现在练习的目的是从理论上重新描述这种情况，即

a） 可以盲目地将其分类

b） 盲目地对其进行分类产生了我们期望看到的所有结构对于字符串的双盘相关器(=2-颗粒)，用于膜的三圆盘相关器（=三粒子），依此类推。

因为更高$n个$这将涉及很多锡罐图

由于所有关于D膜希望包含在这些中（除非练习仍然没有成功），游戏的名称正在构建来自锡罐的D-膜显然。

当我开始做这个练习时，我注意到一个奇怪的事实：2粒子的2disk相关器的箭头理论看起来几乎与3粒子截面的箭头理论一模一样，位于圆盘上方.

这是令人鼓舞的，因为三维状态之间的这种关系质量功能测试和二维相关器质量功能测试这正是其中一个原因，其更好的劣势促使我们首先进行这项练习。

但当时我并没有完全理解发生了什么。即使事后来看，我也可以：

配对$n个$-的部分$n个$-带有$n个$-共切涉及$\马特姆{霍姆}$-$n个$-函子，如第1.2节所述“罗塞塔石碑：量子力学的箭头理论“在中在2D上质量功能测试-从箭头到磁盘。但配对的结果本身就是($n-1个$)-传输函子。因此，我们可以依次对其部分进行配对。结果是$（n-2）$-传输函子。等等。

这里起作用的一般机制相当普遍，并不局限于我将其应用于有趣的上下文。我敢打赌，一些范畴理论家很久以前就思考过我接下来将简要描述的内容：

笔记：$n个$-折叠已重复$\马特姆{霍姆}$-配对

我回到镇上，渴望继续讲授量子化与上同调!

在去年秋天的讲座，我们讨论了点粒子经典力学的拉格朗日和哈密顿方法，并概述了如何通过一个我们最终将看到的过程将这些方法推广到弦和高维膜分类。本季度，我们将从将理论的量子方面引入游戏开始。

我们首先回顾并快速讨论一些基本但仍不完全理解的问题：

• 第10周（1月16日）-在拉格朗日和哈密顿方法中，快速回顾经典力学与量子力学。什么是路径积分？我们如何量化经典哈密顿量以获得量子哈密顿？
  
  
  • 补充阅读：约翰·贝兹，几何量化.

上节课——冬季学期的最后一节课——的笔记如下在这里。下周的笔记是在这里.

与汉堡的一小群学生一起，我们想讨论一些最终将使我们能够理解FFRS定理这解释了二维有理共形场理论是如何由模张量范畴内部的特殊Frobenius代数对象来表征的。

我不知道我们是否真的会在有限的时间内达到这一点，或者还会发生什么。但至少明天，我将非正式地开始解释二维拓扑场理论的一些基础知识及其用Frobenius代数的描述。

以下是第一节课的手写笔记：

Frobenius代数与二维拓扑场论

很明显，这留下了很大的改进空间。但这是一个开始。

斯科特·阿伦森是一位杰出的思想家和说明家，你可以通过以下方式说服自己他的博客.

他是少数几个成功从目前困扰高能物理界的模因中提取出真正有智力兴趣的东西的人之一，这种模因被称为“人类原理”.

如果你想看到聪明人之间有很多困惑，可以在谷歌上搜索“人类原理”。然后回去读这件斯科特·阿隆森（Scott Aaronson），以了解不同之处。

如果你碰巧在过去的几个月里关注了博客圈的狭窄部分，并且需要一些很棒的娱乐，你不应该错过随附的博客条目.

但我在这里写这篇文章并不是为了讨论人择原理，而是为了讨论量子力学。

在这里的这个博客上，我们时不时地从一般抽象的胡言乱语中思考量子力学的本质。最近，例如在条目中通用应用程序也在讨论开始时在这里.

Scott Aaronson是一位研究量子计算的复杂性理论家。因此，他对量子力学的本质有自己的看法。在他最新的演讲稿他在给，他向他的学生解释为什么我们应该有各种各样的理由不对量子力学的本质感到惊讶。智力享受。甚至——也许特别是——对门外汉来说。

本质上，他解释道如果我们将考虑普通经典概率论的任何推广，那么量子概率是所有备选方案中最自然的。

就个人而言，我相信如果我们要真正地理解“为什么是量子力学？”，它将涉及远远超出斯科特·阿朗森在那里提到的考虑，也就是说，更多的是按照约翰的思路量子困境但他肯定提到了一些值得注意的问题。

其中，有点模糊但有趣的是，与费马最后一个定理的关系。

但他提到的最有力的见解可能是量子力学的非线性变形可以在多项式时间内解决NP问题。

为了欣赏这一点，你可能想读一下Aaronson的相信的理由.

第页。

约翰在TWF 235型.

这个车间一切都结束了，终于有时间让所有的信息融入其中。

有一件事我需要我现在学到的是霍瓦诺夫同源性的一些基本思想。

在飞往加拿大的航班上，我看到了

Dror Bar纳坦
霍瓦诺夫的缠结与共边同调

和

Aaron D.Lauda，Hendryk Pfeiffer
开闭TQFTs将Khovanov同源性从链接扩展到缠结
数学。GT/0606331.

今天早上，亚伦对这项工作做了一个很好的演讲。我还没有完全吸收，但这里有一些笔记。

……其中作者通过将带电粒子的平行输运推进到某一点来计算带电粒子的状态空间，以此自娱自乐。只是为了好玩。

我正处于这样一个阶段，无论我往哪里看，我都会看到同样的东西。这是傅里叶二元性及其表亲，一个以惊人的规律出现在这里的家族。早在八月，约翰写的:

因此，令人惊讶的是，傅立叶对偶以及代数理论的语法和语义之间的对偶是同一思想家族的一部分。

通过更多的工作，人们可以找到一个共同的推广，并证明一个定理，该定理将这两个结果都作为特例。我不知道是否有人做过这件事。如果没有，他们应该！

告诉我们一些关于Tannaka-Krein对偶（这是一个为维基百科做贡献的好机会。）

我们让Urs告诉我们几何兰兰兹因为它涉及一种分类傅里叶变换，这意味着整个兰兰兹程序也可能如此。

然后我引用迈克尔·阿提亚（Michael Atiyah）：

这将用其对偶空间替换空间，并且在线性对偶性只是傅立叶变换的理论。但在非线性理论中，如何取代傅里叶变换是一大挑战。的大部分数学是关于如何在非线性中推广二重性的情况。物理学家似乎能够以一种非凡的方式在弦上做到这一点理论和M理论……理解这些非线性二重性似乎这也是下个世纪的重大挑战之一。

我们还谈到了作为傅里叶变换的孪生兄弟的拉普拉斯变换，以及它们的幂等表亲勒让德变换.

在其他地方，我听说Tim Gowers和其他人关于素数算术级数的工作与5月18日文章中提到的“二次”傅里叶分析有关在这里.

正如约翰所说，必须有一些共同的框架。Brian Day的功率是多少建设打包？

为了避免我因为没有和多伦多的咖啡馆联合主办方在一起而错过了快乐，让我试试看一篇博客帖子。

在我所从事的几乎每一项学术研究中，我都遇到了在特殊性和普遍性之间取得适当平衡的问题。当你想要捕获一些复杂的实体，并且有许多可能的实例可供选择时，你是应该选择一些非常详细的案例研究，还是最好从众多实例中选择几个方面，或者将它们提交给统计分析？

以实体“数学推理的插曲”为例。人们应该以所有这些推理的共同点为中心，还是应该用很多页的篇幅详细描述案例研究? 在科学哲学和具有哲学思想的科学史中，对这一点的意见分歧经常发生。在图像和逻辑Peter Galison批评Kuhn认为一结构到科学革命。他把这比作通过对法国的案例研究来了解欧洲文明的结构。另一方面，许多分析哲学家会发现库恩对历史案例的特殊性过于感兴趣，并寻求对归纳推理的一些普遍见解。

这是关于冬季季度的第一份笔记经典计算与量子计算。本季度，我们将开始对上次所做的一切进行分类！

• 第9周（1月4日）-简要回顾类别和计算：对象作为数据类型，形态作为程序的等价类。为什么我们必须对目前为止的工作进行分类，以将计算视为一个过程。分类策略。对“幺半群”的概念进行分类，得到“幺半类”的概念。对“类别”概念进行分类，得到“（弱）2-类别”（也称为“双类别”）的概念。

上周的笔记是在这里.

关于“缝纫“在二维量子场论中，以及在最近讨论的FFRS论文中使用的自然变换对其进行描述在这里.

FFRS框架各方面的重新表述之一，我刚才提到的关注“缝制约束第页，共2d页CFT公司(本质上：“缝纫”=“功能”)可以看作是一个从平凡的TFT函子到非平凡函子的自然变换。

J.Fjelstad、J.Fuchs、I.Runkel、Ch.Schweigert
开/闭有理数的唯一性CFT公司具有给定的开态代数
七时/0612306