n类咖啡馆

圣诞节是给予的时刻，但也是拓扑理论的时刻。（至少，这是我个人的传统；我不了解你。）结合两者，我给出：

拓扑理论的非正式介绍

这是我给一群范畴理论家做的即兴演讲今年早些时候。从那时起，在一些奇怪的时刻我一直在打笔记。瞧！

我很高兴听到你的评论。

如果有人愿意，我也很高兴可以建议在某个地方发布。虽然理想情况下我想把它写进日记，但我怀疑它会可能只是在arXiv上结束，因为它纯粹是解释性的并没有真正采用新颖的观点。它唯一可能的新奇之处在于，它在不多的篇幅中对相当多的内容进行了轻描淡写的阐述。我看了一下问题关于说明文MathOverflow，但没有列出日志看起来很合适。有什么主意吗？

来宾发帖人蒂姆·西尔弗曼

祝你们大家圣诞快乐，节日快乐，尤其是你们中的那些人，像我一样，正忍受着北方冬天漫长、寒冷、黑暗的夜晚。

好了，我们再次来到这里，开始我们的模块曲线世界之旅。上次，我们看了很多曲线的图片或与之相关的图片$X_1（N）$这些是复数上半平面的同余子群的商$\伽马射线$由以下形式的矩阵组成$\左（\array{1&b\\0&1}\right）$国防部$N个$用于任意$b$。但仅限于$不是6$.

所以这次，我们来看看这些案例$N=6$及以上。

今年早些时候，我加入了博伊德奥尔人口与生态系统健康中心,应我朋友的盛情邀请理查德里夫在生物学方面。”但是汤姆，“我听到你说，”怎么办你了解人口或生态系统健康吗？”公平的问题。但是博伊德·奥尔人非常欢迎，我们中的许多人对生物多样性的量化感兴趣，所以我在那里。

我希望能告诉你一些关于我在多元化方面的工作克里斯蒂娜科博尔德.现在我想谈谈博伊德·奥尔中心难以置信的跨学科性质，以及这是一个数学家的感受。

每年，杂志环境微生物学发布从裁判报告中选择引文。今年的比赛现在结束了！这个期刊文章是在这里，但自如果你注册的话，你可以免费得到这篇文章，我希望他们不会介意我再放一份在这里.

我特别欣赏那些描述裁判如何有效地粉碎你的精神：

写作和数据展示太差了，我不得不离开工作早点回家，然后花时间思考生活是什么。

我想我应该很高兴我不用花很多钱时间回顾这篇可怕的论文；然而我很沮丧人们正在进行如此糟糕的科学研究。

这份手稿最大的问题是，它几乎把离开我的意愿，是可怕的写作风格。

我最喜欢的其他曲目如下…

维·哈特有一个很棒的视频叫做数学课涂鸦：蛇+图形她也有其他人。有些人第一次看她的东西，享受数学。有些人对马丁·加德纳的魅力完全免疫，他们对这种极度活跃、略带愤世嫉俗的表达方式，加上实时绘制的图片，感到有些不悦。

在短时间内，对于中欧附近地区的人：

本周一，我们将举办一系列研讨会中的第一场：

• 拓扑与几何学季度研讨会

  2010年12月20日，

  荷兰乌得勒支大学

  (研讨会网站)

通过以下会谈：

• 赫塞尔遗体（阿姆斯特丹大学）

  可积层次与Frobenius流形

  摘要：我将解释Frobenius流形的可积层次的构造，它是根据上同调场论的配分函数给出的。在同质情况下，这些层次结构与Dubrovin和Zhang构建的层次结构一致。最后，我将解释当基础的Frobenius流形是半单流形时，如何利用Givental群的作用从KdV方程的性质推导出这些层次的性质。这是与A.Buryak和S.Shadrin的联合工作。

• 朱莉·伯格纳（加州大学河滨分校）

  广义分类空间结构

  文摘：构造群的分类空间的过程可以被推广，以便我们可以找到类别的分类空间。这种构造在很多方面都很有用，但如果我们在代数拓扑中使用经典方法，也可以认为会丢失很多信息。在这次演讲中，我们给出了两种加强分类空间结构的方法：一种是通过改变我们对空间的思考方式，另一种是改变结构。

• 克里斯蒂安·布洛曼（MPI波恩）

  高群胚的对应与非函子的同伦等价

  文摘：高等群胚范畴中的一个函子（也称为span或zigzag）可以看作是高等堆栈超覆盖上主丛的局部平凡化。另一方面，对应是广群双群的更高概括。在普通范畴的设置中，无函子和双联函数的概念是等价的，这两个概念都提供了群胚范畴在Morita等价下的局部化。我将报告这一结果对拟范畴设置的概括。

更多详细信息请参见研讨会网站。如果你想参加，但需要更多信息，请联系我。

斯普林格·弗拉格（Springer Verlag）以嘲讽和讽刺的方式对“开放存取”的概念表示赞同，并在其期刊上发表了所有论文泛逻辑从今天到2010年12月31日免费访问。

所以，在大铁门再次关闭之前，尽可能多地抓取文件！

例如，如果你对逻辑和范畴理论之间的相互作用感到好奇，那么现在是你阅读这篇文章的机会：

• Peter Arndt、Rodrigo de Alvarenga Freire、Odilon Otavio Luciano和Hugo Luiz Mariano，逻辑中类别的全局概览.

这里的许多读者会对本文的最后一句故意点头，这证明了作者所作的一些概括是正确的：

其次，在更抽象的层面上，承认一个类别中的病理对象，以使该类别本身（的全局属性）不那么病理，这是一种非常成功的数学实践歧管至$抄送$-微分几何中的方案很好地说明了这一点，代数几何中的函数方法也很好地解释了这一问题，其中通过将方案嵌入到大多数对象都没有几何吸引力的函子类别中的Yoneda。

上周我参加了开幕式会议的数学实践哲学协会在布鲁塞尔。我决定勾勒一下我的一些想法联合布拉格咖啡馆的人帮我制定了计划在这里和在这里。这篇文章将于明年发表于科学史与哲学研究.

有25分钟的发言时间，只有时间来表达与计算机科学、代数集合论和分析的联系。选择一个丰富而有趣的案例研究是非常棘手的，它在哲学上很突出。为了鼓励读者或听众继续学习数学来理解你所说的，一定会有一个不错的回报。一个复杂的二十世纪案例研究最好包含大量的元数学冲击力。问题是数学已经变得如此紧密地联系在一起，以至于当你拉动一根绳子时，很容易发现自己在整个大厦中拖着走。

• 高等规范理论研讨会和学院，TQFT公司和量子引力，里斯本，2011年2月10日至13日（研讨会），2011年02月7日至13号（学校）。由罗杰·皮肯（Roger Picken）、乔·法里亚·马丁斯（Joáo Faria Martins）、亚历克桑德·米科维奇（Aleksandr Mikovic）和杰弗里·莫顿（Jeffrey Morton）组织。

来宾发帖人蒂姆·西尔弗曼

欢迎再次参与模块曲线结构的探索。所以 远的，我们已经看了曲线$X（N）$-即群对复上半平面的商$\伽马（N）$用于各种$N个$。我们已经看到，我们可以将它们与常规$N个$-gons，三个$N个$-gon在每个顶点汇合，每个顶点用分数标记（简化mod$N个$)位于其中心；我们可以把这块瓷砖分成几个相同的块，与$\马特布{Z} _N（_N）$国防部$\{1, -1\}$我称之为“投影”单元组。A单位$u个$对应于矩阵$\左（\array{v&0\\0&u}\right）$（修订版$N个$)其中$u v=1$，作用于分数mod$N个$位于$N个$-gons，从而排列$N个$-在保留瓷砖的同时，尤其是将瓷砖放在中心位置$\压裂{1}{0}$到以其为中心的工件$\压裂{v}{0}$这些单位，由乘法，可被视为重新校准“投影线”$\马特布{Z} _N（_N）$.

上次我们将不可约酉群表示分为实、复和四元数三类。但这对物理学意味着什么？

好吧，由于基本粒子通常是用这样的表示法来描述的，所以粒子必须有三种：实粒子、复粒子和四元数粒子！

当然，细节不仅取决于粒子本身，还取决于我们考虑的对称组。但尽管如此，这听起来还是很遥远。什么样的粒子是四元数？

这次我们来看一个最简单的例子：一个电子，被认为是$SU（2）$人们通常用一对复数来描述它的状态。但事实上，使用单个四元数很有意义！

我们一会儿就会知道为什么。但首先，万一你睡着了最后一次，让我提醒你我们证明了什么-我们现在需要它。群的不可约幺正表示有三种选择$G公司$关于复希尔伯特空间$H（H）$:

1. 我们的表示可能与它的对偶不同构，在这种情况下，我们称之为真正的复杂的.
   
   
2. 由于一个不变的反酉算子，它可能与其对偶同构$J： H至H$具有$$J^2=1。$$在这种情况下，我们称之为真实的，因为它是真实希尔伯特空间上表示的复杂化。在这种情况下，有一个不变的非退化双线性形式$g:H\次H\到\mathbb{C}$具有$$g（v，w）=g（w，v），$$也称为正交结构在$H（H）$.
   
   
3. 由于一个不变的反酉算子，它可能与其对偶同构$J： H至H$具有$$J^2=-1。$$在这种情况下，我们称之为四元数的，因为它来自四元数希尔伯特空间上的表示。在这种情况下，有一个不变的非退化双线性形式$g:H\次H\到\mathbb{C}$具有$$g（v，w）=-g（w，v），$$也称为辛结构在$H（H）$.

这是一种三重方式。

长果酱，柯西普鲁维斯克康蒂努亚芬克西奥$f（x）$基韦里加斯la芬克契亚语ekvacion$$f（x+y）=f（x）+f（y）$$基吉·亚金·埃斯图·拉诺姆布罗吉（kiuj ajn estu la nombroj）$x、 年$、necese estas同质、unagrada funkcio$f（x）\等于A x$.

• 罗伯特·达顿，图书馆：三个犹太人,《纽约书评》，2010年12月。

似乎只有在过去7年左右的时间里，从事量子理论基础研究的人们才开始用范畴语言与计算机科学家认真交谈。这在很大程度上是由于人们对量子计算机和其他形式的量子信息处理的兴奋……但由萨姆森·阿布拉姆斯基和鲍勃·科克领导的牛津小组也发挥了关键作用。

现在鲍勃·科克和杰米·维卡里已经开始在“量子基金会”上发布邮件列表。

来宾发帖人蒂姆·西尔弗曼

我又回到了这里，带着更多的“模块化曲线的儿童花园”。

我们的目标和下一步的目标

我们一直在研究模块曲线$X（N）$通过定期瓷砖$N个$-gons，每个$N个$-gon被标记为“分数简化模型”之一$N个$”. 到目前为止，我们一直试图通过观察$PSL（2，\mathbb{Z} _N（_N）)$由以下形式的矩阵组成$\左（\array{a&0\\0&d}\right）$（mod乘以$\{1,-1\}$)其中$一$和$d日$是单位$a d=1$这显然与$\马特布{Z} _N（_N）$标志修改：${\mathbb{Z} _N（_N）}^*/\{1, -1\}$.（我想我会称之为投影的简称单元组。）

在在最后一个之前发布（有一段时间，它就像一个几乎没有柱子的沙漠中的一个孤零零的海角），我们用颜色区分了一些瓷砖的分母。在最后一个帖子（与此相反，它像一朵林地小花一样隐藏在茂密的森林中），我们看到了投射的一组单元是如何作用于彩色瓷砖的，但仅限于黄金$N个$。在继续当前相对干燥的帖子之前，您可能需要回头看一眼，用颜色刷新一下自己。

这一次，我们将继续研究投射单元组的作用，但将我们的研究扩展到合成$N个$.

上次我描述了实量子理论和四元数量子理论的一些问题，或者至少，与这个理论的好的旧复杂版本相比，它们在某些方面是独特的。

这次我会告诉你三向，你将开始看到真实的四元数希尔伯特空间是如何潜伏在复杂量子理论中的。

“三重路”这个名字可以追溯到戴森：

• 弗里曼·戴森，《三重方式：对称群的代数结构和量子力学中的系综，熟练工人。数学。物理学。 三(1962), 1199–1215.

但这一想法可以追溯到更深入的地方，即弗罗贝尼乌斯和舒尔的一篇论文：

• F.G.Frobenius和I.Schur，你会死的Darstellungen der endlichen Gruppen公司，Sitzungsber。阿卡德。普鲁斯。威斯。(1906), 186–208.

我承认我还没有读过这篇文章，所以我不太确定他们做了什么，但每个人都引用了这一点，并在讨论不可约群表示有三种时提到了“Frobenius–Schur指示符”。

这就是我现在要解释的。正如你将看到的，“实”、“复”和“四元数”的三位一体与另一个著名的三位俱进：“正交”、“幺正”和“辛”！

大自然是用复杂的希尔伯特空间。我们可以把一束电子劈开。如果我们做得好，每个电子都会双向！然后我们可以在两个光束之间插入一个紧密缠绕的线圈。通过让电流通过这根导线，我们可以产生一个磁场，这个磁场主要被困在线圈内。通过这种方法，我们可以将走一条路线的电子部分乘以$我$与采用其他路线的部分相比。我们可以通过研究光束重新组合时出现的干涉图案来验证这一点！实际上，我们可以对单位圆上的任何复数这样做，比如$exp（iθ）$.

但是复数有什么了不起的呢？你可以建立希尔伯特空间的理论基于任意赋范除法代数毫无疑问，你已经厌倦了听力，有三种选择：真实数字$\mathbb{R}$，复数$\mathbb{C}$和四元数$\mathbb{H}$从数学上讲，至少有三种可能的量子力学！

只有三个？还有更多，但是索勒定理基于一些关于无穷维希尔伯特空间应该如何工作的简单公理，从众多备选方案中选出这三个。

那么有限维情况呢？这个Jordan–von Neumann–Wigner定理在基于可观察性代数的方法中对可能性进行分类。这个Koecher–Vinberg定理从看似不同的假设开始，但得出了完全相同的结论。这两个定理都为涉及八元数和自旋因子的一些奇异可能性留出了空间，但所有这些结果的总体信息似乎是：实量子力学、复量子力学和四元数量子力学同样优秀.

然而，出于某种原因——或者也许没有什么好的原因——自然最好用复杂的量子力学。我们可以把一个电子乘以$我$，所以真正的量子力学已经过时了。但我们不能把它乘以$j个$或$k个$-或者至少每个人都这么说。显然，四元数量子力学也已经过时了。

这导致人们寻找复杂量子力学比真实或四元数理论“更好”的数学方法。卢西恩·哈迪（Lucien Hardy）在这些方面取得了不错的成绩：

• 吕西恩·哈代，五个合理公理的量子理论.

但我想告诉你另外两件事。

我需要准备明天的会议导出微分几何讨论会，但我无法集中精力讨论这里的所有谜题。所以我想我会通过强迫大家参加一些霍奇希尔德讨论来抵消这一点。；-）

在$n个$实验室：Hochschild上同调我正在准备一些笔记。它从一个非常一般的抽象定义开始。但在示例部分，我有一个非常具体的讨论——应该是解释性的——如何将交换结合代数的普通Hochschild复数理解为$\英菲$-相应范畴循环空间对象上的函数代数。

在我继续做这件事的同时，我很感激你的任何评论。

詹姆斯·多兰今天又给了我一个难题。

这个有点复杂。你能找到一个真正好的解决方案吗？我也很想知道这个事实有多众所周知

类别理论的一个优点是，尽管它雄心勃勃，但它仍然包含数百个令人满意的小谜题，以娱乐我们解决问题的能力。詹姆斯·多兰喜欢给我这些谜题，看看我花多长时间来解决它们。虽然我觉得被放在现场有点痛苦，但它们仍然很有趣。

这是他昨天给我的。看看你花了多长时间。

David Corfield喜欢说明实数特殊性的定理，尤其是其中的定理$\mathbb{R}$最后出乎意料地出现了，就像魔术师帽子里的兔子。他喜欢猜测兔子是怎么钻进帽子的！

所以，当我提到我最喜欢的这类定理：索勒定理时，他的耳朵兴奋起来。1995年，玛丽亚·皮亚·索勒（Maria Pia Solèr）证明了一个对量子力学基础具有强大影响的结果。她从听起来像是无限维希尔伯特空间概念的一个广泛推广开始：一个用任意“除法”替换复数的推广$\ast公司$-戒指”。但随后，她向我们展示了这枚戒指一定是这三枚中的一枚，这让我们大吃一惊：

• 实数$\mathbb{R}$,
• 复数$\mathbb{C}$,
• 四元数$\mathbb{H}$!

这是我们的老朋友，著名的三人组：联想赋范除代数!

让我告诉你索勒定理实际上说了什么。我只会给出必要的定义并陈述结果。我不会说任何关于证明的事情，只会说一点关于量子理论的含义。为此，你可以阅读这篇精彩的论文：

• Samuel S.Holland Jr。，无限维的正交模性；M.Solèr的一个定理,牛市。阿默尔。数学。Soc公司。 32(1995), 205–234. 也可作为arXiv：数学/9504224.

然后：

• 玛丽亚·皮亚·索勒，用正交模空间刻画希尔伯特空间，通信代数 23(1995), 219–243.