在QFT的高层结构上自由，I

2006年9月12日

QFT中的高层结构自由度，I

发布者：Urs Schreiber

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我想按照John提到不久前。

然而，在这样做之前，我想更好地理解一个普遍现象，这个现象最初是由丹·弗里德（Dan Freed）发现的，最近才被发现追求西蒙·威勒顿和布鲁斯·巴特利特。最近也出现了工作谢尔盖·古科夫。

粗略地说，观测结果是物理学家所说的行动功能适用于 $n个$ -维度量子场论实际上只是看起来有点像 $n个$ -函子，赋值给 $d日$ -维度体积 $（n-d）$ -希尔伯特空间。

我将简要总结Freed和其他人对此的看法。我想讨论的是这个概念的一些细节。例如，如何转动上面的“看起来有点像“转换为”是”.

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向量束中的并行传输是函子

(1)

P_1（X）\至\mathrm{Vect}

在基本空间中发送路径 $X（X）$ 向量空间的形态。

量子力学中的传播是一个函子

(2)

1\mathrm{Cob}\to\mathrm}Hilb}

它将一维黎曼坐标系发送到希尔伯特空间的态射#.

请注意，这两个概念密切相关。标准的例子是单个非相对论性带电粒子在 $X（X）$ 在电磁场的存在下。

电磁场本身就是函子

(3)

\马特姆{tra}_{\mathrm{EM}：P_1（X）\to\mathrm{Trans}（E）\subset\mathrm-{Vect}\,,

即线束 $E类$ 连接。

粒子的传播函子

(4)

QM_\mathrm{EM}:1\mathrm{Cob}\to\mathrm2{Hilb}

通过执行路径积分结束 $\马特姆｛特拉｝_\数学{EM}$ :

(5)

QM_\mathrm{EM}（\bullet\stackrel{t}{\to}\bullet）=（K：（x，y）\mapsto\整数D（x\stackrel{\gamma}{\to}y）\；\；E_x\stackrel{\mathrm{tra}_\数学{EM}（\gamma）}{\to}E_y)\,,

其中右侧表示由积分核定义的运算符 $K（x，y）$ 它是通过以下所有路径的路径积分获得的 $x个$ 到 $年$ ，使用维纳测度 $D \伽马射线$ .

此运算符作用于希尔伯特空间

（6）

\马特姆{质量管理}_\mathrm{EM}（\bullet）=\Gamma（E）

（或者简单地说 $L^2（X）$ 如果E是平凡的），线丛的平方可积截面空间 $E类$ .

请注意我们是如何考虑束段的空间的 $E至X$ 就像这样

(7)

\text{“}\Gamma（E）=\oplus_{x\在x}E_x\text{”}\,.

因此，量子理论中指定给该点的希尔伯特空间实际上是该动作指定给目标空间多个点的向量空间的“总和”！（见下文了解本声明的相关性）。

注意并行传输函子如何扮演动作功能（除了运动的贡献，它实际上应该被视为路径积分度量的一部分），其积分产生传播函子。

也许正确的方法是使用跨度理论，如

E.Lupercio和B.Uribe
拓扑量子场论、弦和球
hep-th/0605255.

这是我想在这里更好地理解的事情之一。尤其是上述分类版本（在弗里德的观察中起着核心作用）。

在继续之前，我们应该抓住这个机会，确定一些稍后需要的术语。

请注意，在我们关于带电非相对论性粒子的小理论中，我们实际上是如何描述一维量子场论的。

一套领域关于给定的坐标系 $\bullet \ stackrel｛t｝｛\to｝\bullet$ 是来自区间的一组（表现良好的）映射 $[0，t]$ 到 $X（X）$ ，即中的参数化路径集 $X（X）$ 带参数范围 $[0，t]$ 。在Freed之后，我们将此空间表示为

(8)

\马特布夫{C}（C）_{\left（\bullet\stackrel{t}{\to}\bullet_right）}=\left[\左[0，吨\右]，\;X（X）\右]\,.

因此，点上方的场空间 $\子弹$ 可以用 $X（X）$ 它本身

(9)

C_\项目符号=X\,.

（注意，编码在 $\马特姆{tra}_\数学{EM}$ 是一个背景结构在目前的情况下，而不是我们量子理论的场内容的一部分。只有在“二次量化”之后才会出现这种情况——不管这意味着什么。）

以上所有内容都应该让你想说：

并行传输 $n个$ -向量束是一个 $n个$ -函子

(10)

P_n（X）到n\mathrm{Vect}\,.

传播于 $n个$ -维量子场论是一种 $n个$ -函子

(11)

n\mathrm｛Cob｝\到n\mathrm｛Hilb｝\,.

在这里 $n\mathrm{Vect}$ 和 $n\mathrm{Hilb}$ 被认为是 $（n+1）$ -某些概念的范畴 $n个$ -向量空间和 $n个$ -希尔伯特空间。 $P_n（X）$ 是关于 $n个$ -中的路径 $X（X）$ ，以及 $n\mathrm{Cob}$ 是的占位符 $n个$ -可能具有额外结构的配体，被视为 $n个$ -类别（而不是一个类别）。

例如，您可以想到一个带有连接的线组gerbe作为具有平行传输的“秩-1”2向量束，其中到每个点 $x中的x$ 我们联想到 $\马特姆{兽医}$ -向量空间 ${}_{A_x}\mathrm{Mod}$ ，到每条路径 $x\stackrel{\gamma}{\to}y$ 一 $\马特姆{兽医}$ -线性地图 ${}_{A_x}\mathrm{Mod}\stackrel{N_\gamma}{\to}{}_[A_y}\mathm{Mod}$ 等等。

请注意，对于关闭路径，这个 $n个$ -函子关联

2-向量空间到0-路径
1-向量空间到1-路径
0-向量空间到2-路径

在这里，我们想了解在何种意义上，类比推理可以让我们从一个普通的 $n个$ -维度的质量功能测试有点像传播 $n个$ -函子

(12)

从{Cob}到{Hilb}\,.

早在年就已经在这个方向上进行了重要的观测

丹尼尔·弗里德
路径积分中的量子群
q-alg/9501025

和

丹尼尔·弗里德
高等代数结构与量子化
庚烷/9212115.

以下第5.4节对关键概念进行了详细概述

布鲁斯·巴特利特
拓扑量子场论的范畴
数学。质量保证/0512103.

丹·弗里德（Dan Freed）将二维Wess-Zumino（-Witten）模型，特别是三维Chern-Simons理论分开，以表明从定义它们的动作泛函（通常被认为是从场配置中产生数字）中，人们实际上获得了以下类型的结构：

安行动表示 $\exp（iS（\cdot））$ 这是一个语态列表

(13)

\阵列{\exp（iS（\cdot））&：&\mathbf{C}（C）_{X^d}&\到&（n-d）\mathrm{Hilb}\\&&\phi&\mapsto&\exp（iS（\phi））}

它映射字段 $\φ$ 在上定义关闭 $d日$ -维度空间到 $（n-d）$ -希尔伯特空间 $\exp（iS（\phi））$ .

特别是，如果我们同意处理地面场的元素 $K（K）$ 自身（通常 $K=\mathbb{C}$ 此处）作为0-希尔伯特空间，然后操作将关闭 $n个$ -维度空间到数字。这是普通物理学家所熟悉的作用概念。

但现在，我们需要行动也将数据分配给低维空间。大致来说，总体思路如下：

假设我们在的“字段配置”上定义了一个“操作” $n个$ -维度空间。如果我们的 $n个$ -维度空间 $X（X）$ 有一个 $（n-1）$ -尺寸边界 $\部分X$ ，那么我们可以将操作限制在 $X（X）$ 具有特定限制的 $\部分X$ .

但这样，动作就成为了( $n个$ -希尔伯特）空间的字段上的映射 $（n-1）$ -维度空间。我们认为这个空间是我们最初行动的价值 $（n-1）$ -维度空间。

这是粗略地这个想法。Dan Freed为二维空间详细阐述了这一点WZW公司理论以及Dijkgraaf-书面理论。然而，我还没有看到关于这个想法的真正的一般性陈述。应该有一些。

从这个作用中，我们想产生一个量子场论传播子。（回忆起一开始的带电粒子的玩具例子。）现在，这是通过某种涉及上述广义作用概念的“路径积分”得到的。

因此，我们可以在这里提取的量子场论结构包括

数对的积分 $n个$ -维空间（即配分函数)
“希尔伯特空间积分”到 $（n-1）$ -维度空间
一般来说，“积分 $第页$ -希尔伯特空间“到 $（n-r）$ -维度空间

就个人而言，我觉得这真的很好一般的对这一机制的理解还没有写下来。除其他外，我们预计上述所有结构都会组装成一些 $n个$ -函子。也许我们可以在评论部分讨论这一点。

然而，已经很好地解决了几个具体的例子。正如我所说，最引人注目的是Dijkgraaf-Writed模型。这一点我将在后续条目中讨论。

发布于2006年9月12日中午12:49 UTC

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24条评论和13条反馈

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约翰和我开始讨论的四分之一路程的模糊回声在这里将同伦理论视为真值中动作的积分及其分类。同伦中 $n个$ -类型，随着同伦的源和目标的维数增加，解的维数降低。

发布人：大卫·科菲尔德2006年9月12日下午4:57|永久链接|对此的答复

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约翰和我开始讨论的四分之一路程的模糊回声在这里, […]

的确。在我看到你谈论这件事之后，我想了很多相关的事情。我写过这个条目作为对这种想法的反应。

当时我也试图从这个角度理解量子力学中的路径积分。但我失败了。

现在我应该再试一次。

我只是对上面条目中关于带电粒子量子化的讨论做了一点更正。因为我终于意识到，我们可以模糊地想到一个束的（平方可积）截面的空间 $E至X$ 作为一种表达方式

(1)

\在x}E_x中的oplus_{x\\,,

即，作为一种“综合”束纤维的方法。

这引出了一幅非常酷的图片。

应该有办法从任何 $n个$ -上有连接的向量束 $x个$ ，编码在传输中 $n个$ -函子

(2)

\矩阵{tra}:P_n（X）到n\mathrm{Vect}\,.

这可以称为带电粒子的（拓扑部分）作用 $n个$ -粒子。

现在，当我们量化 $n个$ -粒子，我们正在做一些像“积分”整个 $n个$ -函子。

然后为单个抽象点分配所有 $n个$ -向量空间是 $n个$ -向量束 $X（X）$ .

一维坐标系 $c（c）$ 在两个点之间分配所有传输形态的“和”，由 $\数学{tra}$ 到中的所有路径 $X（X）$ p参数化者 $c（c）$ .

“等等。”

现在我明白了，这基本上就是弗里德在他的具体例子中所做的。但现在我也认为必须有一个通用的抽象处方来描述“路径积分”/“量化” $n个$ -函子

(3)

\矩阵{tra}:P_n（X）到n\mathrm{Vect}\,.

特别是，我希望在Freed讨论Chern-Simons（或Dijkgraaf-Writed）模型的地方，我们应该确定传输3函子，该函子描述线束2-gerbe中的2-矢量传输，并通过 $BG公司$ .

我会考虑的。

发布人：乌尔2006年9月12日下午6:14|永久链接|对此的答复

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拉格朗日函数在您的 $n个$ -运输设置？约翰和我正在讨论的是你的 $P_{n}（X）$ 已经是某些拉格朗日真值的“积分”的结果。据推测，拉格朗日人可以通过目标之间的地图、钻井平台之间的地图或 $n个$ -钻机。

发布人：大卫·科菲尔德2006年9月13日上午8:08|永久链接|对此的答复

拉格朗日路径积分

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拉格朗日函数在您的 $n个$ -运输设置？

谢谢你的提问。我试着这么说，但我应该更加强调。

酷点是：运输 $n个$ -函子是拉格朗日人。

如果你从whis的角度来看：

普通带电粒子的作用是局部的，

(1)

\模拟\exp（i\int|\gamma'|^2+\int\gamma^*A）\,.

但第一个贡献只是我们在路径上的Wiener度量（Wick旋转）。因此，拉格朗日函数剩下的只是电磁耦合。

这就是为什么在我最近的文章末尾有一个相当漂亮的公式评论作品。这个公式真的是带电粒子的标准路径积分（至少如果你填补了我所掩盖的技术空白）。

所以我们真的想要一个关于它意味着什么的一般概念 $n个$ -路径集成 $n个$ -我想是传输函数。

现在结合我们所说的自然运输方面伪函子（！）和我们可以如何理解伪函子下神经极限的普通积分（！）。

我开始怀疑，通过对应用于路径类神经的函子（例如，对群体）取一个特定的colimit，我们可能会发现（1-，对于初学者）传输函子定义的作用上的路径积分的一般抽象无义公式。

例如，使用你和约翰关于“改变装备”的想法，可以看出，通过这种方式，可以将路径积分的经典极限表达为神经上的共线。

发布人：乌尔2006年9月13日上午11:35|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

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那么你能理解约翰在这里被什么困扰吗（我不知道它是否仍然存在）：

高规范理论一直困扰着我的一个问题是，我不明白拉格朗日函数是如何融入其中的。通常人们会把拉格朗夫函数写成一些场的函数，这样你就可以计算一个作用，而最小化这个作用就可以得到运动方程。你也可以在更高的规范理论中做到这一点。但是，一般规范理论的作用在规范变换组下要求是不变的，因为规范变换将运动方程的解映射到解。在更高规范理论中，我们有一个2组规范变换。动作在2群下“不变”意味着什么？2群真的不想只作用于一个集合，而是作用于一种类别，“不变性”的正确概念是“弱不变性”，即不变性直到满足某些（已理解的）相干定律的特定同构。这表明，更高规范理论中的行动应该真正在一个类别中取值。拉格朗日人也应该如此。但是，什么类别？？？也许是实数的一些分类。

问题是，我看不到物理学给了我任何特定的选择。也许我只是在装傻。这尤其令人恼火，因为我已经知道路径积分量子化更高规范理论的一个结果：2-Hilbert状态空间！我曾经写过一篇关于2-Hilbert空间的论文…。

嗯，这表明适当的“分类跃迁振幅”不在C中，而在Hilb中！！！

发布人：大卫·科菲尔德2006年9月13日下午12:47|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

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[…]约翰在这里烦什么[…]

这是另一种拉格朗日函数。对不起，也许我不清楚。

我说的是拉格朗日函数的动力学 $n个$ -耦合到 $n个$ -仪表场。

约翰所说的是拉格朗日方程 $n个$ -仪表场本身。

这确实有点神秘。

发布人：乌尔2006年9月13日下午2:03|永久链接|对此的答复

关于：拉格朗日路径积分

约翰所说的是n规范场本身的拉格朗日动力学。

这确实有点神秘。

为什么？

1-规范作用是关于无穷小循环的全息学的轨迹，在所有循环上求和。这正是晶格规范理论中定义作用的方式。你有表面完整性的概念，对吗？那么，为什么不简单地沿着一个无穷小球体的表面完整性轨迹，对所有这些球体求和呢？

发布人：托马斯·拉尔森，2006年9月21日下午4:26|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

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那么，为什么不简单地沿着一个无穷小球体的表面完整性轨迹，对所有这些球体求和呢？

没错，我完全同意。这就是我们应该做的。

在计算了表面完整性之后，它产生了一些2-群（或3-群，甚至#，在非假冒扁平外壳中） $G公司$ 本质上由3曲率的指数给出 $H=d_A B$ 正如人们所料。

你接下来想用一个表示来实现它

(1)

\rho:\西格玛（G）\至2\mathrm{Vect}\,.

我认为我们想要的主要物理应用的表示也可用#.

由于一些奇怪的原因，还没有人花时间将2-向量空间的迹的概念应用于它，以获得规范不变的表达式。

这也不难，2-迹的正确想法可能是由卡普拉诺夫和甘特提出的#.

所以，这应该是一个把一和一放在一起的问题。也许如果我有时间…

发布人：乌尔2006年9月21日下午4:44|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

当然，这正是我在格上所做的，其他人，比如新常客彼得·奥兰德，在我之前也做过。我知道你不喜欢我对表面完整性的概念，原因我从来都不清楚，但至少它会导致一个简单的格动作。

发布人：托马斯·拉尔森，2006年9月22日上午7:24|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

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托马斯·拉尔森写道

[…]我对表面全息学的概念[…]

您正在考虑双向传输#形式的

(1)

\mathrm{tra}:P_2\to\Sigma（\mathrm{Vect}）\,.

在这里 $\西格玛（\mathrm｛Vect｝）$ 是暂停 $\马特姆{兽医}$ .

因此，您的2运输伙伴

-没什么值得一提的

-向量空间到路径，路径的组合对应于向量空间的张量积

-向量空间与曲面之间的线性映射，使路径相互重叠。

在这里所有向量空间都是一维的特殊情况下，我们可以取域 $第2页$ 成为拓扑空间中2-路的薄自同构类的2-广群 $X（X）$ 在这种情况下，如图所示在这里，这样的2-传输与带连接的阿贝尔gerbe是相同的（如果平滑且局部平凡的话）。

然而，如果允许所涉及的向量空间的维数大于1，那么就没有明显的方法获得域 $第2页$ 在某种意义上由“连续的”路径组成（尽管如果我们承认这是可能的 $\数学{tra}$ 对构图的尊重很弱……）。

因此，您决定将注意力集中在形式的固定格上 $\mathbb{Z}^n$ 然后让 $第2页$ 是由这个格子中的基本边和样板的2图生成的类别。

我们可以做到这一点，并且它确实产生了2-传输

(2)

P_2\到\西格玛（\mathrm{Vect}）\,.

在这种情况下，确实存在2-迹的概念，它使小立方体表面上的表面输运在伪自然同构下保持不变 $\数学{tra}$ ：在2-态射上进行普通跟踪就足够了。

发布人：乌尔2006年9月23日下午1:59|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

你可以采取相反的观点，要求你的连续体2-规范理论在lattization时简化为晶格规范理论的良好推广。自然晶格的作用不多，而我的无疑是最简单的。如果你的晶格版本变得丑陋和做作（IIRC，Pfeiffer的也是如此），那么也许你的连续体公式也有改进的空间。

发布人：托马斯·拉尔森，2006年9月25日12:20 PM|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

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如果你的格子版本变得丑陋和做作（IIRC，菲佛的也是如此）

对不起，我不认为我会同意这一点。

我看到的所有2-连接都有一个很好的晶格公式。事实上，通常是在格子公式中，它们看起来最自然#，因为在格子上，箭头理论的设置变得非常实用。这就是为什么我们希望用类似格子的语言来理解连续体理论的原因之一（如Anders Kock的形式主义我对其可能的分类发表了评论在这里).

既然你试图找出弱点：那么晶格作用必须随着晶格间距的变化而缩放的要求又如何呢？如果你有连续极限，那是自动的。但对于值为 $\西格玛（\mathrm{Vect}）$ 似乎很难以兼容的方式更改所选晶格。

我的经验表明 $n个$ -值在中的传输 $n个$ -幺半群而不是 $n个$ -组更适合描述 $n个$ -维度的量子场论比“平行“运输入 $n个$ -捆绑包。

在这个方向上一个容易理解的提示是2-幺半群中的值的2-运输的局部平凡化（例如 $\西格玛（\mathrm{Vect}）$ 例如）导致了二维拓扑场理论中已知的结构#.

发布人：乌尔2006年9月25日下午12:48|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

既然你试图找出弱点：那么晶格作用必须随着晶格间距的变化而缩放的要求又如何呢？如果你有连续极限，那是自动的。但对于S（Vect）中具有值的一般2-函子，似乎很难以兼容的方式改变所选格。

这就是矢量s^\mu的作用，它描述了字符串的方向。dA~a^3，[a，a]~a^4，s~1/a，因此F=dA+[a，s.a]~a ^3。如果没有它，它将无法工作。请注意，在Wilson曲面上的两个标记点之间引入特权方向不会违反重编程不变性。

发布人：托马斯·拉尔森，2006年9月25日下午4:17|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

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这就是向量 $s ^\μ$ 描述字符串方向的。

向量空间 $V（_e）$ 指定给给定边 $x\stackrel{e}{\到}y$ 是吗？

现在假设我们要细化晶格，以便 $e（电子）$ 现在看起来像

(1)

（x\stackrel{e}{\to}y）=（x\stackrel{e'_1}{\to}r_1\stackrel{e'2}{\到}r2\stackrel{e'3}{\到}y）\,.

应分配给哪个向量空间 $e’_1$ ?

发布人：乌尔2006年9月25日下午4:30|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

如果一个链取V中的值，三个链取三重张量积V^3中的值-如你所知，这是一个不同的向量空间。这与动作没有直接关系，动作总是取C=V^0中的值。

令人惊讶的是，在我的论文中没有提到的是，N次张量积在以下意义上确实有一个很好的连续极限。如果有限维群G作用于V，则G^N作用于V^N。G^N的连续极限是作用于模LV的环群LG。因此，V^N的自然连续极限是LV。

关于你的设置，让我感到不安的是，除了我通常对你的高深数学感到迷惑不解之外，你似乎忽视了我所认为的主要物理见解：威尔逊曲面不仅依赖于曲面本身，还依赖于曲面上的两个标记点。这些点之间的向量是重编程不变量。我在格子上实现了这个想法，但在连续统中实现得不太成功。

很久以前，Teitelboim证明了一个no-go定理，即在连续极限下，p-规范理论等价于阿贝尔理论。通过在标记点之间引入首选向量，我绕过了他的定理的公理。在我看来，你认为这个向量是非物理的，也许是因为Nambu-Goto的作用只取决于面积而不是标记点，因此你抛弃了可以让你避免Teitelboim诅咒的结构。从这个角度来看，你很难找到一个纯粹的规范行为，这并不奇怪。

发布人：托马斯·拉尔森，2006年9月27日上午9:04|永久链接|对此的答复

Re：拉格朗日路径积分

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如果一个链接中包含值 $V（V）$ ，三个环节取三倍张量乘积中的值 $V^3（V ^3）$

没错，而且 $\材质{dim}（V）\gt 1$ 空间 $V（V）$ 从不同构于 $V^{音符3}$ .

所以如果你坚持分配相同的向量空间 $V（V）$ 对于每条边，则分配给给定路径的向量空间取决于有多精细此路径由边近似表示。

查看中的参数化路径 $V（V）$ 相反（顺便说一句，当我们采用直接和而不是张量积时，这应该是连续极限）可能是一种建立形式主义的方法，用启发式的术语描述您一直在描述的内容。与这里的所有问题一样，我们之前已经讨论过这一步骤。

发布人：乌尔2006年9月27日上午10:03|永久链接|对此的答复

大肠杆菌的路径积分

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大卫写道：

约翰和我开始讨论的四分之一路程的模糊回声在这里, […]

我回答说：

那时我也尝试从这个角度理解量子力学中的路径积分。但我失败了。

现在我应该再试一次。

我正在再试。可以找到与大卫的想法、弗里德的观察以及我正在讨论的内容相关的第一个观察结果在这里.

欢迎评论。

发布人：乌尔2006年9月13日下午5:49|永久链接|对此的答复

一种奇怪的总数

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有一些讨论正在幕后通过私人电子邮件进行。作为对此的回应，我想发表以下评论：

我将描述一种结构，它应该提供一种从一维传输函子构建1dQFT函子的建议性且简洁的方法。

但部分工程看起来有点令人担忧。我想这是在正确的轨道上，但还不完全是事实。

令人担忧的是：我需要谈谈 $\马特姆{兽医}$ 。您将在下面看到这是需要的，因此如果您看到实现相同目的的更好方法，请告诉我。

因此，以下是令人担忧的部分：

我继续定义修改 $\奥普拉斯$ 直接和的 $\奥普拉斯$ 在 $\马特姆{兽医}$ .

对于 $V（V）$ 不同于 $W公司$ 设置

(1)

V\oplus'W=V\oprus W\,.

但为了 $V=W$ 设置

(2)

V\oplus的W=V\,.

因此，在形态集上

(3)

（V\stackrel{\phi_1}{\ to}V'）\奥普拉斯（W\stackrel{\phi_2}{\ to}W'）=（V\stackrel{\phi_1}{\ to}V'）\奥普拉斯（W\stackrel{\phi_2}{\ to}W'）

如果 $垂直宽度$ 和 $V“\neq W”$ .

然而，如果 $V=W$ 和 $V’=W’$ 然后设置

(4)

（V\stackrel{\phi_1}{\ to}V'）\奥普拉斯（W\stackrel{\phi_2}{\ to}W'）=（V\stackrel{\phi_1+\phi_2}{\ to}V'）\,.

因此，对于混合情况，例如 $V=W$ 但是 $V“\neq W”$ .

我想我可以定义这一点，但从任何意义上来说，它看起来都不是“通用的”。

但是如果我允许自己定义这一点，然后我可以做出以下简洁的结构。

让 $\矩阵{tra}:P_1（X）到矩阵{Vect}$ 如前所述，用连接表示向量束。（如下所述，只有我们在 $P_1（X）$ 是有限的。）

同样与之前一样，对于任何黎曼1-坐标系 $\bullet \ stackrel｛t｝｛\to｝\bullet$ ，让 $（_t）$ 是地图的空间 $[0，t]$ 到中的形态 $P_1（X）$ .

那么，通过路径积分量化上述传输函子（被认为是作用泛函）而得到的1dQFT只不过是1-函子

(5)

\阵列{1\mathrm{Cob}&\到&\马特姆{兽医}\\（\bullet\stackrel{t}{\to}\bullet）&\地图&\奥普拉斯_{（C_t中的x\stackrel{\gamma}{\to}y\）}\;\;（E_x\stackrel{\mathrm{tra}（\gamma）}{\to}y（_y）)}\,,

在这里，为了简单起见，我抑制了路径上的度量。

大写：使用修改后的直接和 $\奥普拉斯$ ，1dQFT函子就是 $\奥普拉斯$ -下所有图像的总和 $\数学{tra}$ 中的所有形态 $P_1（X）$ .

嗯…

发布人：乌尔2006年9月12日9:19 PM|永久链接|对此的答复

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如果你主要对描述感兴趣拓扑量子场论 $n个$ -函子

$Z:n\mathrm｛Cob｝\到n\mathrm｛Hilb｝$

你可能想看看这个：

约翰·贝兹和詹姆斯·多兰，高维代数与拓扑量子场论.

也许你已经有了。我们在1995年写了这篇文章，试图将弗里德的思想推广到更高的维度。在我们的“协同论假设”中，我们提出了一个纯粹的代数描述 $n\mathrm{Cob}$ ，这将使其更容易构建 $n个$ -函子

$Z:n\mathrm{Cob}到n\mathrm{Hilb}$

但是，现在你似乎正在关注一些自由研究：即建立这样的 $n个$ -从拉格朗日函数开始的函子。这也是非常有趣的，特别是它如何将几何量子化的通常思想从线束推广到gerbes，2-gerbes等等。

所有这些都应该概括为不-拓扑量子场论也是如此，但它变得更为棘手。

（周日之前我会保持安静，因为我和妻子将参观附近的杭州镇。这是宋朝后半叶中国的首都。这里历史悠久，毗邻一个名为西湖的美丽湖泊。下周三我将飞回河滨。）

发布人：约翰·贝兹2006年9月13日上午8:06|永久链接|对此的答复

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如果你主要对[…]感兴趣

谢谢你的链接。我相信我已经读过一次了，但我现在也许应该再看一遍。

我感兴趣的是

1）了解如何从 $n个$ -与量子理论有关的束 $n个$ -与之耦合的粒子，

2）如何以一种更系统的方式构思弗里德的观察，也许是一种合适的大肠杆菌。我会为此准备一些笔记。

顺便说一句，我了解到上海姐妹城市汉堡。

发布人：乌尔2006年9月13日下午4:06|永久链接|对此的答复

阅读帖子量子n输运
网络日志：n类咖啡馆
摘录：试图将n维场论的路径积分理解为传输n函子上的一个余积运算。
已跟踪：2006年9月14日下午2:10

回复：QFT中的高层结构自由，I

乌尔斯写道：

现在我明白了，这基本上就是弗里德在他的具体例子中所做的。但现在我也认为必须有一个通用的抽象公式来描述“路径积分”/“量化”n函子的含义
传输：P n（X）→n节。

好吧，我对这个范例的理解是从经典到量子作用是取截面空间：其中“截面空间”是相对于你正在工作的范畴的维度应用的，即截面是函子或2-函子等等，满足适当的“节”分类概念。

特别是，我希望在Freed讨论Chern-Simons（或Dijkgraaf-Writed）模型的地方，我们应该确定传输3函子，该函子描述通过BG连接的线束2-gerbe中的2-矢量传输。

一定地！

发布人：Bruce Bartlett，2006年9月25日下午4:46|永久链接|对此的答复

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你好，布鲁斯，

谢谢你的评论！

你写道：

范式正在从经典向量子转变，作用是占据截面空间

我可以理解这是什么意思，以及在给定的示例中它是如何产生好的结果的，因为它通常有点“明显”，即节的相关空间是什么。

但当我考虑它时，我觉得我仍然需要添加一些超越应用机械算法的见解。

也许我只是在装傻。

下面是一个具体的例子，可以说明我正在努力解决的问题：

说我们有空间 $X（X）$ 和一个2-函子 $P_2（X）到\mathrm{Bim}（\mathrm{Vect}）$ ，它发送的点 $X（X）$ 到代数，到这些代数的双模的路径和到双模同态的曲面。

每个级别的截面空间是多少？

我可以猜出它是什么。我还认为，在对处方进行了一些离散化之后在这里产生一个答案。

但我还是不太满意。我想要一些定义明确的通用程序，让我从这样的任务中解脱出来 $P_2（X）\to\text{something}$ 至章节的相关空间。

你能帮我吗？

发布人：乌尔2006年9月25日下午5:00|永久链接|对此的答复

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布鲁斯·巴特利特强调

范式正在从经典向量子转变，作用是占据截面空间

我回答说

我可以理解这是什么意思，以及在给定的示例中它是如何产生好的结果的，因为它通常有点“明显”，即节的相关空间是什么。

但当我考虑它时，我觉得我仍然需要添加一些超越应用机械算法的见解。

我还在考虑这个。今天，我注意到，下面可能是一个有用的方法，可以用来研究定义在向量丛截面空间上的量子理论，它可以很好地进行分类。

正如我之前可能提到的（它变得很无聊，不是吗…），我正在考虑这个向量束 $E至X$ 以连接作为函子

(1)

\马特姆{tra}_\纳布拉: P_1（X）\至\mathrm{Vect}

或者，事实上，作为我所表示的值的诱导2-函子 $\波浪线\mathrm{Vect}$ 在这里.

（我在想隐士向量空间无处不在。）

现在让我们

(2)

\马特姆{特拉}_0

是赋值的平凡as-can-be函子 $\mathbb{C}$ 到每个点和到每个路径的同一态射 $X（X）$ .

然后我们可以玩一个漂亮的把戏：

A部分 $e（电子）$ 向量束的，在一起关于的协变导数1形式 $\纳布拉$ #正是一个态射

(3)

电子：\mathrm{tra}_\nabla\to\mathrm{特拉}_0\,.

正如我所说，我想把这里的输运看作一个2-函子（给曲面指定曲率）。所以这个态射是一个伪自然变换，在每一条路径上给出 $x\stackrel{\gamma}{\to}y$ 在里面 $X（X）$ 通过

(4)

\阵列{E_x（_x）&\斯塔克雷尔{\马特姆{tra}_\纳布拉（伽马）}{\到}&y（_y）\\（_x）\向下箭头\;\;&d\nabla e（\gamma）\向下箭头&\;\;\向下箭头（_y）\\\mathbb{C}&=&\mathbb{C}}\,.

简单但整洁。这是以一种显而易见的方式进行分类，无需任何进一步的工作。此外，它自动为我们提供了 $n个$ -空间的范畴结构 $n个$ -部分，因为所有

(5)

e:\mathrm{tra}\to\mathrm{特拉}_0

生活在相应的函子类别中。

（图中普通的1段已经形成了1类。但您可以看到它只是设置在这些章节中，重新考虑了章节可以添加在一起的事实。因此，它符合人们的期望。）

更好的是，因为 $e（电子）$ 如上所述，自动包含协变导数 $n个$ -形式，我们可以按照我的指示进行#把希尔伯特空间结构放在截面空间上，然后去掉标量积

（6）

（e，e）=int_X（d_\nabla e_X，d_\nab la e_X）

根据你的口味，这是带电粒子的第一个量子化能量 $n个$ -粒子，或它在第二量子化理论中的作用。

发布人：乌尔2006年9月29日下午5:35|永久链接|对此的答复

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我将继续在这里谈论我对

如何系统自然地从 $n个$ -与相应电荷的量子理论相联系的束 $n个$ -粒子.

以上#我注意到，用一种简洁的方式来讨论具有连接的厄米向量束的（希尔伯特）截面空间，用1-传输表示 $\马特姆{tra}_\纳布拉$ ，作为函子的范畴

(1)

[\mathrm（马特姆）{tra}_\纳布拉，\mathrm{特拉}_0]\,,

哪里 $\马特姆{特拉}_0$ 表示具有平凡连接的平凡bundle。

在上一条评论的末尾，我仍然提到“手工”为这个类别配备标量产品。

由于分类后，这种“手动”操作将变得不那么明显，因此最好有一个序号说明（“系统和自然”：-）也是如此。

看起来我越来越喜欢以下解决方案：

使用hermitian向量束的意义在于，这是一个类别带双元组，因此，特别是通过对标量积取伴随来给出的态射对偶。

如果类别 $T型$ 有对偶，每个函子

(2)

\mathrm｛tra｝：P_1（X）\到T

有一个双重

(3)

\mathrm｛tra｝^\匕首：P_1（X）\到T ^\ mathrm｛op｝

通过合成获得 $\数学{tra}$ 在形态上有双重化。

此外，对于

(4)

e:\mathrm{tra}\to\mathrm{特拉}_0

我们有

(5)

匕首：\mathrm{特拉}_0\to\mathrm{tra}^\匕首

（我用事实 $\马特姆{特拉}_0^\匕首=\mathrm{特拉}_0$ ).

这意味着 $\矩阵{tra}:P_1（X）\到T$ 我们可以自然地联想到函子

（6）

\mathrm{tra}^\dagger\times\mathrm}tra}: P_1（X）到T^\mathrm{op}\times T\,.

此处右侧敦促我们执行另一个操作：应用 $\马特姆{霍姆}$ -函子。在本案中 $T型$ 是封闭的，我们得到一个“内积”

(7)

（\mathrm{tra}，\mathrm{tra}）: P_1（X）\stackrel{\mathrm{tra}^\dagger\times\mathrm{tra}}{\to}T^\mathrm{op}\times T^\mathrm{op}\stackrel{\mathrm{Hom}}{\to}T型\,.

但我们真正感兴趣的是“部分”的内部产品：

(8)

e_{1,2}:\mathrm{tra}\to\mathrm{特拉}_0\,.

当然，我们也可以形成函子

(9)

（\mathrm{特拉}_0，\mathrm{特拉}_0): P_1（X）\stackrel{\mathrm{tra}^\dagger\times\mathrm{tra}}{\to}T^\mathrm{op}\times T^\mathrm{op}\stackrel{\mathrm{Hom}}{\to}T型

和 $e1、e2$ 为我们提供一个自然的转变

(10)

（\mathrm｛tra｝，\mathrm｛tra｝）\stackrel{（e1，e2）}{\到}（\mathrm）{特拉}_0，\mathrm｛特拉｝_0)\,.

现在有趣的是，如果有人写出这些细节，自然的转变

(11)

（e1、e2）

确实在这些部分上精确地编码了所需的（纤维状的）内积，以及（我认为）在协变导数上确实编码了所需要的内积 $（d\mathrm{tra}e1，d\mathr m{tra{e2）$ 这些部分中的。

我觉得这很酷。非常感谢，但这正是我们所追求的。

如果有人觉得我只不过是开始复制一些众所周知的东西，请客气一点，给我留个便条。

发布人：乌尔2006年10月1日下午2:38|永久链接|对此的答复

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