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A101280号

三角形T（n，k）（n>=1，0<=k<=楼层（（n-1）/2））按行读取，其中T（n、k）=（k+1）T（n-1，k）+（2n-4k）T（n-1，k-1）。

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4

1、1、1、2、1、8、1、22、16、1、52、136、1、114、720、272、1、240、3072、3968、1、494、11616、34304、7936、1、1004、40776、230144、176896、1、2026、136384、1328336、2265344、353792、1、4072、441568、6949952、21953408、11184128、1、8166、1398000、33981760 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,4`
	评论	`第n行有上限（n/2）条款。` `夏皮罗等人的论文解释了为什么T（n，k）是具有k个峰值的n个元素的排列数，并且进一步说明了每一个上升（上升）都紧接着一个峰值。[即，置换p_1…p_n具有进一步的属性，即（j>1和p_{j-1}<p_j）暗示（j<n和p_j>p_{j+1}）。]例如，在n=4、k=1的情况下，T（4,1）=8置换是1423、2143、2431、3142、3241、3421、4231、4132。` `描述这个性质的一种更优雅的方法是：T（n，k）是n个物体的排列数，其中k个下降，使得每个下降都是一个峰值。n=4和k=1的八个示例现在是1243、1324、1342、1423、2314、2341、2413、3412。` `该三角形的行是n维（A型）永自面体的伽马向量（Postnikov等人，第31页）。囊性纤维变性。A055151号和A089627号. -彼得·巴拉2008年10月28日`
	参考文献	`D.Foata和V.Strehl，“欧拉数和排列的变化”，载于国际学术讨论会，罗马，1973年9月，（Atti dei Convergni Lincei 17，罗马，1976），第129页。` `韩国牛，朱海德，曾江，基于A型和B型q-Eulerian多项式的q积分的两个新三角形，Ramanujan J（2013）31:115-127，DOI 10.1007/s11139-012-9389-3` `T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第4章。`
	链接	`n=1..46时的n、a（n）表。` `保罗·巴里，Riordan阵列定义的类帕斯卡三角形的f-矩阵，arXiv:1805.02274[math.CO]，2018年。` `F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。` `L.Carlitz和Richard Scoville，广义欧拉数：组合应用《数学杂志》第265页（1974年），第111页。` `科林·德芬特，剧团、累积量和堆叠分类，arXiv:2004.11367[math.CO]，2020年。` `D.多米尼克，嵌套导数：计算反函数级数展开式的简单方法，arXiv:math/0501052[math.CA]，2005年。` `D.Foata和M.P.Schützenberger，欧洲波利尼昂博物馆，arXiv:math/0508232[math.CO]，2005；数学课堂笔记。138 (1970), 81-83.` `马石梅，关于gamma向量及正切函数和割线函数的导数，arXiv:1304.6654[math.CO]，2013年。` `马仕美、马骏和Yeong-Nan Yeh，下降多项式的某些组合展开式与文法的变化，arXiv:1802.02861[math.CO]，2018年。` `马世美和Yeong-Nan Yeh，置换的交替运行多项式，arXiv:1904.11437[math.CO]，2019年。见第4页。` `A.Postnikov、V.Reiner和L.Williams，广义置换面，arXiv:math/0609184[math.CO]，2006-2007年。[彼得·巴拉2008年10月28日]` `L.W.Shapiro、W.-J.Woan和S.Getu，跑步、幻灯片和瞬间，SIAM J.Alg。离散方法，4（1983），459-466。` `安德烈·斯维宁，Somos-4方程及相关方程，arXiv:2307.05866[math.CA]，2023年。见第16页。`
	公式	`G.f.：和{n>=1，k>=0}T（n，k）T^kz^n/n！=C（t）（2-C（t；这里C（t）=（1-sqrt（1-4t））/2t是加泰罗尼亚数的生成函数(A000108美元).` `求和{k}欧拉（n，k）x^k=求和{k}T（n，k）x^k（1+x）^（n-1-2k）。例如，1+11x+11x^2+x^3=（1+x）^3+8x（1+x）。` `发件人彼得·巴拉，2012年6月26日：（开始）` `T（n，k）=2^kA094503号（n，k+1）。` `设r（t）=sqrt（1-2t），w（t）=（1-r（t。定义F（t，z）=r（t）（1+w（t）exp（r（t（t+t^2）z^3/3！+（t+4t^2）z^4/4！+。。。；F（t，z）是代表A094503号本表的示例f为A（t，z）：=（f（2t，z）-1）/（2t）=z+z ^2！+（1+2t）z^3/3！+（1+8t）z^4/4！+。。。。` `例如，f.A（t，z）满足自治偏微分方程dA/dz=1+A+tA^2，其中A（t、0）=0。因此，反函数A（t，z）^（-1）可以表示为一个积分：A（t、z）^（-1）=int{x=0..z}1/（1+x+tx^2）dx。` `应用[Dominci，定理4.1]反演积分，给出了计算表的行多项式R（n，t）的以下方法：设f（t，x）=1+x+tx^2，设D为算子f（t，x）*D/dx。然后R（n+1，t）=D^n（f（t，x）），在x=0时计算。` `根据Bergeron等人的定理1，行多项式R（n，t）是根平面在n个顶点上增加0-1-2树的生成函数，其中超次2的顶点具有权重t，所有其他顶点具有权重1。下面给出了一个示例。` `行总和A080635号.` `（结束）`
	例子	`三角形开始：` `1;` `1,` `1, 2;` `1, 8,` `1, 22, 16;` `1, 52, 136,` `114720272；` `...` `发件人彼得·巴拉，2012年6月：（开始）` `n=4:在4个顶点上增加0-1-2树的9个加权平面为` `..................................................................` `..4...............................................................` `..\|...............................................................` `..3..........4...4...............4...4...............3...3........` `..\|........./.....\............./.....\............./.....\.......` `..2....2...3.......3...2...3...2.......2...3...4...2.......2...4..` `..\|.....\./.........\./.....\./.........\./.....\./.........\./...` `..1……（t）1。。。。` `..................................................................` `..3...4...4...3...................................................` `...\./.....\./....................................................` `.（t）2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。` `....\|.......\|.....................................................` `....1.......1.....................................................` `因此R（4，t）=1+8*t。` `（结束）`
	MAPLE公司	`T： =proc（n，k）如果k<0，则0 elif n=1，k=0，则1 elif k>floor（n-1）/2），然后0 else（k+1）T（n-1，k）+（2n-4k）T以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2005年8月6日`
	数学	`t[_，k_？负]=0；t[1,0]=1；t[n，k]/；k>（n-1）/2=0；t[n，k]：=t[n、k]=（k+1）t[n-1，k]+（2n-4k）t[n-1，k-1]；表[t[n，k]，{n，1，13}，{k，0，（n-1）/2}]//扁平(Jean-François Alcover公司2012年11月22日）`
	交叉参考	`数字2^{n-1-k}T（n，k）构成了如所示的数组A008303号.` `囊性纤维变性。A055151号，A089627号. -彼得·巴拉2008年10月28日` `囊性纤维变性。A008292号，A094503号，A080635号（行总和）。`
	关键词	`非n，标签，容易的`
	作者	`高德纳2005年1月28日`
	扩展	`来自的更多条款Emeric Deutsch公司2005年8月6日`
	状态	`经核准的`

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