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高斯双素数常数的十进制展开:的Hardy-Littlewood常数A096012号.
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芬奇(2003)提出了该常数的名称。
复平面中x+i线上的高斯双素数是形式为(m-1+i,m+1+i)的高斯素数对。数字m是这样的数字:(m-1)^2+1和(m+1)^2+12都是素数(A096012号加1)。
Shanks(1960)推测,m<=x的这些对的数目对c*li_2(x)是渐近的,其中li_2(x)=Integral_{t=2..n}(1/log(t)^2)dt,c是这个常数。他在公式部分中定义了c,并用0.4876对其进行了评估。
Ettahri等人计算了4*c的前100位数字。(2019)。
参考文献
史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥大学出版社,2003年,第90页。
链接
基思·康拉德,Hardy-Littlewood常数in:序列和其他组合结构的数学性质,Jong-Seon No等人(编辑),Kluwer,Boston/Dordrecht/Longon,2003年,第133-154页,备用链路.
Salma Ettahri、Olivier Ramaré、Léon Surel、,一些欧拉积的快速多精度计算,arXiv:1908.06808[math.NT],2019(第8节)。
Daniel Shanks,,关于高斯双素数的注记《计算数学》,第14卷,第70期(1960年),第201-203页。
配方奶粉
等于(Pi^2/8)*Product_{primes p==1(mod 4)}(1-4/p)*((p+1)/(p-1))^2。
例子
0.487622778111571768611646391452388423131677124429735...
数学
S[m_,n_,S_]:=(t=1;sums=0;difs=1;当[Abs[difs]>10^(-数字-5)||difs==0,difs=(MoebiusMu[t]/t)*Log[如果[S*t=1,狄利克雷L[m,n,S*t],Sum[Zeta[S*t,j/m]*狄利克雷特征[m,n,j]^t,{j,1,m}]/m^(S*t)]]时;总和=总和+difs;t++];总额);
P[m_,n_,s_]:=1/EulerPhi[m]*Sum[共轭[狄利克雷特征[m,r,n]]*s[m,r,s],{r,1,EulerPhi[m]}]+Sum[如果[GCD[P,m]>1&&Mod[P,m]==n,1/P^s,0],{P,1,m}];
Z[m_,n_,s]:=(w=1;sumz=0;difz=1;当[Abs[difz]>10^(-数字-5)时,difz=P[m,n,s*w]/w;sumz=sumz+difz;w++];实验[sumz]);
Zs[m_,n_,s]:=(w=2;sumz=0;difz=1;当[Abs[difz]>10^(-数字-5)时,difz=(s^w-s)*P[m,n,w]/w;sumz=sumz+difz;w++];实验[-sumz]);
$MaxExtraPrecision=1000;数字=121;真数字[Chop[N[Pi^2/8*Zs[4,1,4]/Z[4,1,2]^2,数字]],10,数字-1][[1](*瓦茨拉夫·科特索维奇2021年1月15日*)
交叉参考
关键词
非n,欺骗
作者
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来自的更多数字瓦茨拉夫·科特索维奇2021年1月15日
状态
经核准的
拉尔常数的十进制展开式:A217795型.
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Shanks(1967)推测,(m+1)^4+1形式的素数,使得(m-1)^4/1也是素数(A217795型加1),m<=x,渐近于c*li_2(x),其中li_2(x)=积分{t=2..n}(1/log(t)^2)dt,c是这个常数。他在公式部分中定义了c,用0.79220对其求值,并以数学家Mohan Lal的名字命名,他在没有求值这个常数的情况下猜测了渐近公式。
Ettahri等人(2019年)计算了该常数的前100位。
参考文献
史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥大学出版社,2003年,第90-91页。
链接
基思·康拉德,Hardy-Littlewood常数in:序列和其他组合结构的数学性质,Jong-Seon No等人(编辑),Kluwer,Boston/Dordrecht/Longon,2003年,第133-154页,备用链路.
Salma Ettahri、Olivier Ramaré、Léon Surel、,一些欧拉积的快速多精度计算,arXiv:1908.06808[math.NT],2019(推论1.9)。
莫汉·拉尔,形式为n^4+1的素数《计算数学》,第21卷,第98期(1967年),第245-247页。
Daniel Shanks,拉尔常数及其推广《计算数学》,第21卷,第100号(1967年),第705-707页。
埃里克·魏斯坦的数学世界,拉尔常数.
配方奶粉
等于(Pi^4/(2^7*log(1+sqrt(2))^2))*Product_{素数p==1(mod 8)}(1-4/p)^2*((p+1)/(p-1))^4*p*(p-8)/(p-4)^2=(Pi^2/32)*A088367号^2 *A334826飞机^2 *A210630型= 2 *A337607型^2 *A210630型.
例子
0.792208238167541668775455566579024101128932250986221...
数学
$MaxExtraPrecision=1000;数字=121;
f[p]:=(p-8)*(p+1)^4/((p-1)^4*p);
coefs=Rest[CoefficientList[Series[Log[f[1/x]],{x,0,1000}],x]];
S[m_,n_,S_]:=(t=1;sums=0;difs=1;当[Abs[difs]>10^(-数字-5)||difs==0,difs=(MoebiusMu[t]/t)*Log[如果[S*t=1,狄利克雷L[m,n,S*t],Sum[Zeta[S*t,j/m]*狄利克雷特征[m,n,j]^t,{j,1,m}]/m^(S*t)]]时;总和=总和+difs;t++];总额);
P[m_,n_,s_]:=1/EulerPhi[m]*Sum[共轭[狄利克雷特征[m,r,n]]*s[m,r,s],{r,1,EulerPhi[m]}]+Sum[如果[GCD[P,m]>1&&Mod[P,m]==n,1/P^s,0],{P,1,m}];
m=2;集水坑=0;difp=1;当[Abs[difp]>10^(-数字-5)||difp==0时,difp=coefs[[m]]*(P[8,1,m]-1/17^m);集水坑=集水坑+difp;m++];
实际数字[Chop[N[f[17]*Pi^4/(2^7*Log[1+Sqrt[2]]^2)*Exp[simp],数字]],10,数字-1][[1](*瓦茨拉夫·科特索维奇2021年1月16日*)
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非n,欺骗
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