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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a279845-编号：a279842
显示找到的9个结果中的1-9个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A210949型 例如，A（x）满足：A'（x）=1/（1-A（A（x）））。 +10
15
1, 1, 4, 29, 309, 4383, 78121, 1684706, 42801222, 1255919755, 41918624013, 1572257236114, 65619165625383, 3022617826829288, 152615633802149416, 8397224009015443509, 500957609480739613321, 32261529179806961067634, 2234133327582388824135291 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,3
评论
的未签名版本A067146号.
等于三角形的行和A277410型.
链接
瓦茨拉夫·科特索维奇，n=1..180时的n，a（n）表
配方奶粉
例如，A（x）满足：
（1） A（x）=系列_翻转（积分1-A（x）dx）。
（2） A''（x）=1/（（1-A（A（x）））^3*（1-A。
设G（x）=积分A（x）dx，G（0）=0，则示例f.A（x
（3） A（x）=x+G（A（x））或等效地，A（x-G（x））=x。
（4） A（x）=x+Sum_{n>=1}d^（n-1）/dx^（n-1）G（x）^n/n！。
（5） A（x）=x*exp（和{n>=1}d^（n-1）/dx^（n-1）G（x）^n/（n！*x））。
a（n）=和{k=0..n-1}A277410型（n，k）。
例子
例如：A（x）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+29*x^4/4！+309*x^5/5！+4383*x^6/6！+。。。
设G（x）=积分A（x）dx，则A（x
G（x）=x^2/2！+x^3/3！+4*x^4/4！+29*x^5/5！+309*x^6/6！+4383*x^7/7！+。。。
也，
A（x）=x+G（x）+d/dx G（x，^2/2！+d^2/dx^2 G（x）^3/3！+d^3/dx^3 G（x）^4/4！+。。。
log（A（x）/x）=G（x）/x+d/dx G（x。。。
根据定义，A'（x）=1/（1-A（A（x））），其中
A（A（x））=x+2*x^2/2！+11*x^3/3！+101*x^4/4！+1313*x^5/5！+22235*x^6/6！+466356*x ^ 7/7！+11710760*x^8/8！+。。。
数学
m=20；A[_]=0；
Do[A[x_]=逆级数[积分[1-A[x]，x]+O[x]^m]，{m}]；
系数列表[A[x]，x]*范围[0，m-1]！//休息(*Jean-François Alcover公司2019年9月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a=x，G）；对于（i=1，n，G=整数形式（a+x*O（x^n））；a=serreverse（x-G））；n！*polcoeff（a，n）}
（PARI）{a（n）=局部（a=x，G）；对于（i=1，n，G=整数形式（a+x*O（x^n））；a=x+子集（G，x，a+x*O（x*n）））；n！*polcoff（a，n）}
（PARI）{Dx（n，F）=局部（D=F）；对于（i=1，n，D=导数（D））；D}
｛a（n）=局部（a=x，G）；对于（i=0，n，G=intformal（a+x*O（x^n））；a=x+sum（m=1，n，Dx（m-1，G^m/m！））；n！*polcoeff（a，n）｝
（PARI）{Dx（n，F）=局部（D=F）；对于（i=1，n，D=导数（D））；D}
{a（n）=局部（a=x，G）；对于（i=0，n，G=整数形式（a+x*O（x^n））；a=x*exp（总和（m=1，n，Dx（m-1，G^m/x/m！）+x*0（x^n）））；n！*polcoff（a，n）}
对于（n=1,25，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=局部（a=x）；对于（i=1，n，a=serreverse（intformal（1-a+x*O（x^n）））；n！*polcoeff（a，n）}
对于（n=1,25，打印1（a（n），“，”）
交叉参考
囊性纤维变性。A277410型,A067146号,A279843型,A279844型,A279845型,208570元,A280571型,A280572型,A280573型,A280574型,A280575型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉娜2012年7月22日
状态
经核准的
A277410型 G.f.A（x，y）满足：A（x-y*G（x，y），y）=x+（1-y）*G。 +10
15
1, 1, 0, 1, 3, 0, 1, 13, 15, 0, 1, 38, 165, 105, 0, 1, 94, 1033, 2310, 945, 0, 1, 213, 4953, 26229, 36330, 10395, 0, 1, 459, 20370, 213511, 674520, 640710, 135135, 0, 1, 960, 76056, 1421225, 8559675, 18127935, 12588345, 2027025, 0, 1, 1972, 266334, 8283234, 85654979, 337805535, 515903850, 273544425, 34459425, 0, 1, 4007, 892542, 44013478, 729292193, 4822487682, 13506364410, 15631793100, 6529047525, 654729075, 0 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,5
评论
更一般地说，我们有以下相关身份。
给定函数F和G，其中F（0）=0，F'（0）=1，G（0）=0，
如果F（x-y*G（x））=x+（1-y）*G（x），则
（1） F（x）=x+G（y*F（x，
（2） y*F（x）+（1-y）*x=系列_翻转（x-y*G（x）），
（3） F（x）＝x+G（x+y*G（x+y*G（x+y*G（x+…）））），
（4） F（x）=x+Sum_{n>=1}y^（n-1）*d^（n-1）/dx^（n-1）G（x）^n/n！。
当g（x）=积分f（x）dx时，该序列A（x，y）的g.f.等于上面的f（x。
链接
保罗·D·汉纳，该三角形中n=1..1081的n，a（n）的表格，第n=1..46行，呈扁平形式。
配方奶粉
给定g.f.A（x，y），定义g（x，y）=积分A（x、y）dx，然后
（1） A（x，y）=x+G（y*A（x、y）+（1-y）*x，y，
（2） y*A（x，y）+（1-y）*x=系列_反转（x-y*G（x，y）），
（3） y*x+（1-y）*B（x，y）=级数_反转（x+（1-y）*G（x，y）），其中B（A（x，y-），y）=x。
（4） A（x，y）=x+Sum_{n>=1}y^（n-1）*d^（n-1）/dx^（n-1）G（x，y）^n/n！。
在公式2和3中，对变量x进行级数反演。
例子
通用公式：A（x，y）=x+x^2/2！+（3*y+1）*x^3/3！+（15*y^2+13*y+1）*x^4/4！+（105*y^3+165*y^2+38*y+1）*x^5/5！+（945*y^4+2310*y^3+1033*y^2+94*y+1）*x^6/6！+（10395*y^5+36330*y^4+26229*y^3+4953*y^2+213*y+1）*x^7/7！+（135135*y^6+640710*y^5+674520*y^4+213511*y^3+20370*y^2+459*y+1）*x^8/8！+（2027025年7月+12588345年6月+18127935年5月+8559675年4月+1421225年3月+76056年2月+960年1月）（34459425年8月+273544425年7月+515903850年6月+337805535年5月+85654979年4月+8283234年3月+266334年2月+1972*年+1）年10月10日！+。。。
使得A（x-y*G（x，y），y）=x+（1-y）*G（x，y）
也，
A（x，y）=x+G（y*A（x、y）+（1-y）*x，y
其中G（x，y）=积分A（x，y）。
...
系数T（n，k）为x^n*y^k/n！的三角形！在g.f.A（x，y）中开始：
1;
1, 0;
1、3、0；
1, 13, 15, 0;
1, 38, 165, 105, 0;
1, 94, 1033, 2310, 945, 0;
1、213、4953、26229、36330、10395、0；
1, 459, 20370, 213511, 674520, 640710, 135135, 0;
1, 960, 76056, 1421225, 8559675, 18127935, 12588345, 2027025, 0;
1, 1972, 266334, 8283234, 85654979, 337805535, 515903850, 273544425, 34459425, 0;
1, 4007, 892542, 44013478, 729292193, 4822487682, 13506364410, 15631793100, 6529047525, 654729075, 0;
1, 8089, 2900353, 218797958, 5531376285, 57226590953, 264482764305, 555756298020, 505173143475, 170116046100, 13749310575, 0; ...
其中对角线等于A001147号（奇数双阶乘），行和产生A210949型.
...
应用。
给定F（x），这样
F（x-积分p*F（x）dx）=x+积分q*F（x）dx
然后
F（x）=和{n>=1}a（n）*x^n/n！
哪里
a（n）=和{k=0..n-1}A277410型当n>=1时，（n，k）*p^k*（p+q）^（n-k-1）。
示例。
A210949型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）。
A277403型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*2^（n-k-1）。
A279843型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*3^（n-k-1）。
A279844型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*2^k*3^（n-k-1）。
A279845型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*2^k。
208570元（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*4^（n-k-1）。
A280571型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*3^k*4^（n-k-1）。
A280572型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*5^（n-k-1）。
A280573型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*2^k*5^（n-k-1）。
A280574型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*3^k*5^（n-k-1）。
A280575型（n） =总和_｛k=0..n-1｝A277410型（n，k）*4^k*5^（n-k-1）。
...
列生成功能。
发件人保罗·D·汉娜，2016年11月5日：（开始）
科林·巴克观察到这个三角形的第1列(A277411型)似乎有o.g.f.x*（3*x-2*x^2）/（（1-x）^3*（1-2*x））。
这一观察导致了以下推测。
设F（k，x）=三角形中k列的o.g.F，
然后
F（k，x）=P（k，x）*x^（k+1）/产品{j=0..k}（1-（j+1）*x）^（2*（k-j）+1）
其中P（k，x）是x中的多项式，对于k>=0，次数为k*（k+1）。
例子：
F（0，x）=x/（1-x）；
F（1，x）=P（1，x）*x^2/（（1-x）^3*（1-2*x））；
F（2，x）=P（2，x）*x^3/（（1-x）^5*（1-2*x）^3*（1-3*x））；
F（3，x）=P（3，x）*x^4/（（1-x）^7*（1-2*x）^5*（1-3*x）*3*（1-4*x））；
...
多项式P（k，x）开始于：
P（0，x）=1；
P（1，x）=3*x-2*x^2；
P（2，x）=15*x-45*x^2-2*x^3+106*x^4-92*x^5+24*x^6；
P（3，x）=105*x-840*x ^2+504*x ^3+16321*x ^4-75880*x ^5+154483*x ^6-152077*x ^7+39208*x ^8+59000*x ^9-60336*x ^10+23328*x ^11-3456*x ^12；
P（4，x）=945*x-15645*x ^2+32445*x*^3+1255770*x ^4-15120061*x ^5+86803308*x ^6-291640845*x×^7+529758178*x ^8-50236668*x ^9-2553002523*x ^10+7695202852*x ^11-12713196156*x ^12+13351222596*x ^13-8752472980*x ^14+2871967920*x ^15+38798096*x ^16-884504448*x^17+427064832*x^18-100694016*x^19+9953280*x^20；
P（5，x）=10395*x-305235*x ^2+1299375*x ^3+77300220*x ^4-1834009998*x ^5+21447595316*x ^6-156933684108*x ^7+721294719700*x ^8-1490891586137*x ^9-5868653004882*x ^10+70213320019895*x ^11-359261247450016*x ^12+1234731543184308*x 18085613542516*x^16+2256970375232288*x^17+9498116639867573*x ^18-2548548940202128*x ^19+37162639109810884*x ^20-37419816866322296*x ^21+27200926921683600*x ^22-14055671260790656*x ^23+4698364855901568*x ^24-583485067952640*x ^25-341605980664*x ^26+23736648708096*x^27-729917440*x*x ^28+11910492979200*x ^29-859963339 2000×30；
...
其中P（k，x）中的系数x^（k*（k+1））等于A059332美元（k+1）。
（结束）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=my（A=x）；对于（i=1，n，A=x+子集（整数形式（A+x*O（x^n）），x，y*A+（1-y）*x））；n！*polcoeff（polcoff（A，n，x），k，y）}
对于（n=1，12，对于（k=0，n-1，打印1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
交叉参考
囊性纤维变性。A210949型（行总和），A067146号,A001147号（对角线），A277411型（第1列），2012年2月（对角线）。
囊性纤维变性。A279843型,A279844型,A279845型,208570元,A280571型,A280572型,A280573型,A280574型,A280575型.
关键词
非n,表
作者
保罗·D·汉娜2016年10月13日
状态
经核准的
A279844型 例如，f.满足：A（x-积分2*A（x）dx）=x+积分A（x）dx。 +10
11
1, 3, 27, 441, 10593, 338715, 13603923, 660689217, 37773985257, 2492351980659, 186888829248171, 15733456044557193, 1472423968474987185, 151932311464679521803, 17166519680224611739203, 2111435499783771418877073, 281279117575497421255121721, 40406056752677361995435879907, 6234806360224720540046684747547, 1029860015641146082486445487150681 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,2
链接
保罗·D·汉纳，n=1..150时的n，a（n）表
配方奶粉
例如，A（x）满足：
（1） A（x-积分2*A（x）dx）=x+积分A（x）dx。
（2） A（x）=x+3*G（（2*A（x）+x）/3），其中G（x）=A积分（x）dx。
（3） A（x）=-x/2+3/2*级数_翻转（x-积分2*A（x，dx））。
（4） A（（2*A（x）+x）/3）=（A'（x）-1）/（2*A'（x）+1）。
（5） A'（x-积分2*A（x）dx）=（1+A（x））/（1-2*A（x））。
a（n）=和{k=0..n-1}A277410型（n，k）*2^k*3^（n-k-1）。
例子
例如：A（x）=x+3*x^2/2！+27*x^3/3！+441*x^4/4！+10593*x^5/5！+338715*x^6/6！+13603923*x^7/7！+660689217*x^8/8！+37773985257*x^9/9！+2492351980659*x ^10/10！+186888829248171*x ^11/11！+15733456044557193*x ^12/12！+。。。
设G（x）=积分A（x）dx，则A（x-2*G（x
G（x）=x^2/2！+3*x^3/3！+27*x^4/4！+441*x^5/5！+10593*x^6/6！+338715*x^7/7！+13603923*x^8/8！+660689217*x^9/9！+37773985257*x^10/10！+。。。
此外，A（x）=x+3*G（（2*A（x）+x）/3）。
相关系列。
我们有（2*A（x）+x）/3=级数_反转（x-积分2*A
（2*A（x）+x）/3=x+2*x^2/2！+18*x^3/3！+294*x^4/4！+7062*x^5/5！+225810*x^6/6！+9069282*x^7/7！+440459478*x^8/8！+25182656838*x ^ 9/9！+1661567987106*x ^10/10！+124592552832114*x ^11/11！+10488970696371462*x^12/12！+。。。
此外，A（（2*A（x）+x）/3）=（A'（x）-1）/（2*A'（x）+1），从
A（（2*A（x）+x）/3）=x+5*x^2/2！+63*x^3/3！+1311*x^4/4！+38445*x^5/5！+1464381*x^6/6！+68939271*x ^ 7/7！+3879180855*x^8/8！+254691006453*x^9/9！+19160241768837*x ^10/10！+1628342402620383*x ^11/11！+154564849209408975*x^12/12！+。。。
数学
m=21；A[_]=0；
Do[G[x_]=积分[A[x]，x]；A[x_]=x+3G[（2A[x]+x）/3]+O[x]^m//正常，{m}]；
系数列表[A[x]，x]*范围[0，m-1]！//休息(*Jean-François Alcover公司，2019年10月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）/*A（x）=x+（p+q）*G（（p*A（x）+q*x）/（p+q））；G（x）=积分A（x）dx：*/
{a（n，p=2，q=1）=my（a=x，G）；对于（i=1，n，G=整数形式（a+x*O（x^n））；a=x+（p+q）*subst（G，x，（p*a+q*x）/（p+q））+x*O（x^n））；n！*polcoff（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n，2，1），“，”）
（PARI）/*A（x-积分p*A（x）dx）=x+积分q*A（x）dx：*/
{a（n，p=2，q=1）=my（a=[1]，F=x）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；F=x*Ser（a）；G=intformal（F）；a[#a]=-polcoeff（subst（F，x，x-p*G）-q*G，#a））；n！*a[n]}
对于（n=1,30，打印1（a（n，2，1），“，”）
（PARI）/*生成前N个术语的非正式代码：*/
{N=20；p=2；q=1；A=x；对于（i=1，N，G=int形式（A+x*O（x^N））；A=x+（p+q）*subst（G，x，（p*A+q*x）/（p+q）））；Vec（serlaplace（A））}
交叉参考
囊性纤维变性。A277410型,A210949型,A277403型,A279843型,A279845型,208570元,A280571型,A280572型,A280573型,A280574型,A280575型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉娜2016年12月30日
状态
经核准的
A280571型 例如，f.满足：A（x-积分3*A（x）dx）=x+积分A（x）dx。 +10
10
1, 4, 52, 1228, 42652, 1972324, 114581476, 8051020348, 666126945340, 63620722928308, 6907454641512244, 842227742687112604, 114192665828161184332, 17076069626235659815108, 2796969496541969481342100, 498871283058754285439126092, 96403472225110465517090352700, 20094942949266343527252229063204, 4500802213556155723422379457382916, 1079478060677848794106956676648220860 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,2
链接
n=1..20时的n，a（n）表。
配方奶粉
例如，A（x）满足：
（1） A（x-积分3*A（x）dx）=x+积分A（x。
（2） A（x）=x+4*G（（3*A（x。
（3） A（x）=-x/3+4/3*系列_翻转（x-积分3*A（x，dx））。
（4） A（（3*A（x）+x）/4）=（A'（x）-1）/（3*A'（x）+1）。
（5） A'（x-积分3*A（x）dx）=（1+A（x。
a（n）=和{k=0..n-1}A277410型（n，k）*3^k*4^（n-k-1）。
例子
例如：A（x）=x+4*x^2/2！+52*x^3/3！+1228*x^4/4！+42652*x^5/5！+1972324*x^6/6！+114581476*x^7/7！+8051020348*x^8/8！+666126945340*x ^ 9/9！+63620722928308*x^10/10！+6907454641512244*x ^11/11！+842227742687112604*x^12/12！+。。。
设G（x）=积分A（x）dx，则A（x-3*G（x
G（x）=x^2/2！+4*x^3/3！+52*x^4/4！+1228*x^5/5！+42652*x^6/6！+1972324*x^7/7！+114581476*x^8/8！+8051020348*x^9/9！+666126945340*x ^10/10！+63620722928308*x^11/11！+6907454641512244*x ^12/12！+。。。
此外，A（x）=x+4*G（（3*A（x）+x）/4）。
相关系列。
我们有（3*A（x）+x）/4=级数_反转（x-积分3*A
（3*A（x）+x）/4=x+3*x^2/2！+39*x^3/3！+921*x^4/4！+31989*x^5/5！+1479243*x ^6/6！+85936107*x^7/7！+6038265261*x ^8/8！+499595209005*x ^ 9/9！+47715542196231*x ^10/10！+5180590981134183*x ^11/11！+631670807015334453*x ^12/12！+。。。
此外，A（（3*A（x）+x）/4）=（A'（x）-1）/（3*A'（x）+1），从
A（（3*A（x）+x）/4）=x+7*x^2/2！+127*x^3/3！+3817*x^4/4！+161881*x^5/5！+8924923*x^6/6！+608517595*x ^ 7/7！+49615007497*x ^8/8！+4722073055173*x ^ 9/9！+515139762620935*x ^10/10！+63506672456719651*x^11/11！+8747178021763399909*x ^12/12！+。。。
数学
m=21；A[_]=0；
Do[A[x_]=-x/3+4/3逆级数[x-积分[3A[x]，x]+O[x]^m]，{m}]；
系数列表[A[x]，x]*范围[0，m-1]！//休息(*Jean-François Alcover公司2019年9月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）/*A（x）=x+（p+q）*G（（p*A（x）+q*x）/（p+q））；G（x）=积分A（x）dx：*/
{a（n，p=3，q=1）=my（a=x，G）；对于（i=1，n，G=整数形式（a+x*O（x^n））；a=x+（p+q）*subst（G，x，（p*a+q*x）/（p+q））+x*O（x^n））；n！*polcoff（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n，3，1），“，”）
（PARI）/*A（x-积分p*A（x）dx）=x+积分q*A（x）dx：*/
{a（n，p=3，q=1）=my（a=[1]，F=x）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；F=x*Ser（a）；G=intformal（F）；a[#a]=-polcoeff（subst（F，x，x-p*G）-q*G，#a））；n！*a[n]}
对于（n=1,30，打印1（a（n，3，1），“，”）
（PARI）/*生成前N个术语的非正式代码：*/
{N=20；p=3；q=1；A=x；对于（i=1，N，G=int形式（A+x*O（x^N））；A=x+（p+q）*subst（G，x，（p*A+q*x）/（p+q）））；Vec（serlaplace（A））}
交叉参考
囊性纤维变性。A277410型,A210949型,A277403型,A279843型,A279844型,A279845型,208570元,A280572型,A280573型,A280574型,A280575型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉娜2017年1月5日
状态
经核准的
A280572型 例如，f.满足：A（x-积分A（x）dx）=x+积分4*A（x）dx。 +10
10
1, 5, 40, 525, 10025, 253475, 8015725, 305359050, 13645726250, 701304298375, 40822454374125, 2658840618527250, 191861336190647375, 15213199343853357500, 1316408013706224687500, 123576861126283832953125, 12521371849855149886590625, 1363361618975383978443843750, 158900334287408210286438971875, 19755940413686794723417400000000, 2612146114817877629253999384562500, 366294181903982533559997504649828125 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,2
链接
n=1..22时的n，a（n）表。
配方奶粉
例如，A（x）满足：
（1） A（x-积分A（x）dx）=x+积分4*A（x）dx。
（2） A（x）=x+5*G（（A（x）+4*x）/5），其中G（x）=A积分（x）dx。
（3） A（x）=-4*x+5*系列_翻转（x-积分A（x，dx））。
（4） A（（A（x）+4*x）/5）=（A'（x）-1）/（A'。
（5） A'（x-积分A（x）dx）=（1+4*A（x。
a（n）=和{k=0..n-1}A277410型（n，k）*5^（n-k-1）。
例子
例如：A（x）=x+5*x^2/2！+40*x^3/3！+525*x^4/4！+10025*x^5/5！+253475*x^6/6！+8015725*x^7/7！+305359050*x^8/8！+13645726250*x ^ 9/9！+701304298375*x^10/10！+40822454374125*x ^11/11！+2658840618527250*x ^12/12！+。。。
设G（x）=积分A（x）dx，则A（x-G（x））=x+4*G（x
G（x）=x^2/2！+5*x^3/3！+40*x^4/4！+525*x^5/5！+10025*x^6/6！+253475*x^7/7！+8015725*x^8/8！+305359050*x^9/9！+13645726250*x ^10/10！+701304298375*x^11/11！+40822454374125*x ^12/12！+。。。
此外，A（x）=x+5*G（（A（x）+4*x）/5）。
相关系列。
我们有（A（x）+4*x）/5=级数_反转（x-积分A（x）dx），其中
（A（x）+4*x）/5=x+x^2！+8*x^3/3！+105*x^4/4！+2005*x^5/5！+50695*x^6/6！+1603145*x^7/7！+61071810*x^8/8！+2729145250*x^9/9！+140260859675*x ^10/10！+8164490874825*x ^11/11！+531768123705450*x ^12/12！+。。。
此外，A（（A（x）+4*x）/5）=（A'（x）-1）/（A'
A（（A（x）+4*x）/5）=x+6*x^2/2！+63*x^3/3！+1045*x^4/4！+24105*x^5/5！+716195*x^6/6！+26137820*x^7/7！+1134457060*x^8/8！+57203895725*x ^ 9/9！+3292221321425*x^10/10！+213282348138700*x ^11/11！+15380885339509825*x^12/12！+。。。
数学
m=23；A[_]=0；
Do[A[x_]=-4x+5逆级数[x-积分[A[x]，x]+O[x]^m]，{m}]；
系数列表[A[x]，x]*范围[0，m-1]！//休息(*Jean-François Alcover公司2019年9月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）/*A（x）=x+（p+q）*G（（p*A（x）+q*x）/（p+q））；G（x）=积分A（x）dx：*/
{a（n，p=1，q=4）=my（a=x，G）；对于（i=1，n，G=int形式（a+x*O（x^n））；a=x+（p+q）*subst（G，x，（p*a+q*x）/（p+q））+x*O（x^n））；n！*polcoff（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n，1,4），“，”）
（PARI）/*A（x-积分p*A（x）dx）=x+积分q*A（x）dx：*/
{a（n，p=1，q=4）=my（a=[1]，F=x）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；F=x*Ser（a）；G=intformal（F）；a[#a]=-polcoeff（subst（F，x，x-p*G）-q*G，#a））；n！*a[n]}
对于（n=1,30，打印1（a（n，1,4），“，”）
（PARI）/*生成前N个术语的非正式代码：*/
{N=20；p=1；q=4；A=x；对于（i=1，N，G=int形式（A+x*O（x^N））；A=x+（p+q）*subst（G，x，（p*A+q*x）/（p+q））；Vec（serlaplace（A））}
交叉参考
囊性纤维变性。A277410型,A210949型,A277403型,A279843型,A279844型,A279845型,208570元,A280571型,A280573型,A280574型,A280575型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉娜2017年1月5日
状态
经核准的
A280573型 例如，f.满足：A（x-积分2*A（x）dx）=x+积分3*A（x）dx。 +10
10
1, 5, 55, 1075, 30825, 1174725, 56153575, 3241453075, 219981653625, 17205716877125, 1527315775776375, 152004555650445875, 16793815038459239625, 2042866310966722613125, 271723598687954810434375, 39287423162026628955721875, 6143464129092882413626065625, 1034396495380447234136660853125, 186805274512176503194633726284375, 36060209533917578045193572845421875 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,2
链接
n=1..20时的n，a（n）表。
配方奶粉
例如，A（x）满足：
（1） A（x-积分2*A（x）dx）=x+积分3*A（x）dx。
（2） A（x）=x+5*G（（2*A（x）+3*x）/5），其中G（x）=A积分（x）dx。
（3） A（x）=-3*x/2+5/2*Series_Reversion（x-积分2*A（x）dx）。
（4） A（（2*A（x）+3*x）/5）=（A'（x）-1）/（2*A'（x）+3）。
（5） A'（x-积分2*A（x）dx）=（1+3*A（x））/（1-2*A（x））。
a（n）=和{k=0..n-1}A277410型（n，k）*2^k*5^（n-k-1）。
例子
例如：A（x）=x+5*x^2/2！+55*x^3/3！+1075*x^4/4！+30825*x^5/5！+1174725*x^6/6！+56153575*x^7/7！+3241453075*x ^8/8！+219981653625*x^9/9！+17205716877125*x ^10/10！+1527315775776375*x ^11/11！+152004555650445875*x ^12/12！+。。。
设G（x）=积分A（x）dx，则A（x-2*G（x
G（x）=x^2/2！+5*x^3/3！+55*x^4/4！+1075*x^5/5！+30825*x^6/6！+1174725*x^7/7！+56153575*x^8/8！+3241453075*x ^ 9/9！+219981653625*x ^10/10！+17205716877125*x ^11/11！+1527315775776375*x ^12/12！+。。。
此外，A（x）=x+5*G（（2*A（x，+3*x）/5）。
相关系列。
我们有（2*A（x）+3*x）/5=级数_反转（x-积分2*A
（2*A（x）+3*x）/5=x+2*x^2/2！+22*x^3/3！+430*x^4/4！+12330*x^5/5！+469890*x^6/6！+22461430*x^7/7！+1296581230*x^8/8！+87992661450*x^9+6882286750850*x^10+610926310310550*x^11+60801822260178350*x^12+。。。
此外，A（（2*A（x）+3*x）/5）=（A'（x）-1）/（2*A'（x）+3），从
A（（2*A（x）+3*x）/5）=x+7*x^2/2！+107*x^3/3！+2665*x^4/4！+93005*x^5/5！+4201015*x^6/6！+233920155*x^7/7！+15535390105*x^8/8！+1201670102125*x^9/9！+106329616511975*x ^10/10！+10612821894707675*x ^11/11！+1181462628283585225*x ^12/12！+。。。
数学
m=21；A[_]=0；
Do[A[x_]=-3x/2+5/2逆级数[x-Integrate[2A[x]，x]+O[x]^m]，{m}]；
系数列表[A[x]，x]*范围[0，m-1]！//休息(*Jean-François Alcover公司2019年9月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）/*A（x）=x+（p+q）*G（（p*A（x）+q*x）/（p+q））；G（x）=积分A（x）dx：*/
{a（n，p=2，q=3）=my（a=x，G）；对于（i=1，n，G=int形式（a+x*O（x^n））；a=x+（p+q）*subst（G，x，（p*a+q*x）/（p+q））+x*O（x^n））；n！*polcoff（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n，2，3），“，”）
（PARI）/*A（x-积分p*A（x）dx）=x+积分q*A（x）dx：*/
｛a（n，p=2，q=3）=my（a=[1]，F=x）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；F=x*Ser（a）；G=intformal（F）；a[#a]=-polcoeff（subst（F，x，x-p*G）-q*G，#a））；n！*a[n]｝
对于（n=1,30，打印1（a（n，2，3），“，”）
（PARI）/*生成前N个术语的非正式代码：*/
{N=20；p=2；q=3；A=x；对于（i=1，N，G=int形式（A+x*O（x^N））；A=x+（p+q）*subst（G，x，（p*A+q*x）/（p+q）））；Vec（serlaplace（A））}
交叉参考
囊性纤维变性。A277410型,A210949型,A277403型,A279843型,A279844型,A279845型,A280571型,A280572型,A280574型,A280575型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉娜2017年1月5日
状态
经核准的
A280574型 例如，f.满足：A（x-积分3*A（x）dx）=x+积分2*A（x）dx。 +10
10
1, 5, 70, 1775, 66175, 3283475, 204594175, 15411893450, 1366394303500, 139767921720875, 16243630181913625, 2118892887756520250, 307173379745256857875, 49084564051462443496250, 8586127214178418541668750, 1634509914502001105016284375, 336910750825106071274158853125, 74862327518834451026921878887500, 17862833297180486514281227128971875, 4561279298680105599840369905594562500 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,2
链接
n=1..20时的n，a（n）表。
配方奶粉
例如，A（x）满足：
（1） A（x-积分3*A（x）dx）=x+积分2*A（x）dx。
（2） A（x）=x+5*G（（3*A（x）+2*x）/5），其中G（x）=A积分（x）dx。
（3） A（x）=-2*x/3+5/3*系列_翻转（x-积分3*A（x，dx））。
（4） A（（3*A（x）+2*x）/5）=（A'（x）-1）/（3*A'（x）+2）。
（5） A'（x-积分3*A（x）dx）=（1+2*A（x））/（1-3*A。
a（n）=和{k=0..n-1}A277410型（n，k）*3^k*5^（n-k-1）。
例子
例如：A（x）=x+5*x^2/2！+70*x^3/3！+1775*x^4/4！+66175*x^5/5！+3283475*x^6/6！+204594175*x ^ 7/7！+15411893450*x^8/8！+1366394303500*x ^ 9/9！+139767921720875*x^10/10！+16243630181913625*x^11/11！+2118892887756520250*x^12/12！+。。。
设G（x）=积分A（x）dx，则A（x-3*G（x
G（x）=x^2/2！+5*x^3/3！+70*x^4/4！+1775*x^5/5！+66175*x^6/6！+3283475*x^7/7！+204594175*x ^8/8！+15411893450*x ^ 9/9！+1366394303500*x ^10/10！+139767921720875*x ^11/11！+16243630181913625*x ^12/12！+。。。
此外，A（x）=x+5*G（（3*A（x，+2*x）/5）。
相关系列。
我们有（3*A（x）+2*x）/5=级数_反转（x-积分3*A
（3*A（x）+2*x）/5=x+3*x^2！+42*x^3/3！+1065*x^4/4！+39705*x^5/5！+1970085*x^6/6！+122756505*x^7/7！+9247136070*x ^8/8！+819836582100*x ^ 9/9！+83860753032525*x ^10/10！+9746178109148175*x ^11/11！+1271335732653912150*x ^12/12！+。。。
此外，A（（3*A（x）+2*x）/5）=（A'（x）-1）/（3*A'（x）+2），它从
A（（3*A（x）+2*x）/5）=x+8*x^2/2！+157*x ^3/3！+5075*x^4/4！+230905*x^5/5！+13636085*x^6/6！+994743280*x ^ 7/7！+86697077570*x^8/8！+8813260716925*x ^ 9/9！+1026216275720525*x^10/10！+134948279040712300*x^11/11！+19814992125974741525*x^12/12！+。。。
数学
m=21；A[_]=0；
Do[A[x_]=-2x/3+5/3逆级数[x-积分[3A[x]，x]+O[x]^m]，{m}]；
系数列表[A[x]，x]*范围[0，m-1]！//休息(*Jean-François Alcover公司2019年9月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）/*A（x）=x+（p+q）*G（（p*A（x）+q*x）/（p+q））；G（x）=积分A（x）dx：*/
{a（n，p=3，q=2）=my（a=x，G）；对于（i=1，n，G=整数形式（a+x*O（x^n））；a=x+（p+q）*subst（G，x，（p*a+q*x）/（p+q））+x*O（x^n））；n！*polcoff（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n，3，2），“，”）
（PARI）/*A（x-积分p*A（x）dx）=x+积分q*A（x）dx：*/
{a（n，p=3，q=2）=my（a=[1]，F=x）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；F=x*Ser（a）；G=intformal（F）；a[#a]=-polcoeff（subst（F，x，x-p*G）-q*G，#a））；n！*a[n]}
对于（n=1,30，打印1（a（n，3，2），“，”）
（PARI）/*生成前N个术语的非正式代码：*/
{N=20；p=3；q=2；A=x；对于（i=1，N，G=int形式（A+x*O（x^N））；A=x+（p+q）*subst（G，x，（p*A+q*x）/（p+q）））；Vec（serlaplace（A））}
交叉参考
囊性纤维变性。A277410型,A210949型,A277403型,A279843型,A279844型,A279845型,A280571型,A280572型,A280573型,A280575型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉娜2017年1月5日
状态
经核准的
A280575型 例如，f.满足：A（x-积分4*A（x）dx）=x+积分A（x）dx。 +10
10
1, 5, 85, 2625, 119225, 7209725, 547774525, 50342086425, 5448583486625, 680816992367125, 96720369562897125, 15433474653279056625, 2738894920523846767625, 536165521694896664958125, 114986014404299081313978125, 26857525461337375682549015625, 6797751676147997291181732240625, 1856223312322488721077123869053125, 544728880837527263669006279810003125, 171209466763535665605709125529165390625 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,2
链接
n=1..20时的n，a（n）表。
配方奶粉
例如，A（x）满足：
（1） A（x-积分4*A（x）dx）=x+积分A（x。
（2） A（x）=x+5*G（（4*A（x）+x）/5），其中G（x）=A积分（x）dx。
（3） A（x）=-x/4+5/4*级数_翻转（x-积分4*A（x）dx）。
（4） A（（4*A（x）+x）/5）=（A'（x）-1）/（4*A'（x）+1）。
（5） A'（x-积分4*A（x）dx）=（1+A（x。
a（n）=和{k=0..n-1}A277410型（n，k）*4^k*5^（n-k-1）。
例子
例如：A（x）=x+5*x^2/2！+85*x^3/3！+2625*x^4/4！+119225*x^5/5！+7209725*x^6/6！+547774525*x^7/7！+50342086425*x^8/8！+5448583486625*x ^ 9/9！+680816992367125*x ^10/10！+96720369562897125*x ^11/11！+154334746532790056625*x^12/12！+。。。
设G（x）=积分A（x）dx，则A（x-4*G（x
G（x）=x^2/2！+5*x^3/3！+85*x^4/4！+2625*x^5/5！+119225*x^6/6！+7209725*x^7/7！+547774525*x^8/8！+50342086425*x^9/9！+5448583486625*x ^10/10！+680816992367125*x ^11/11！+96720369562897125*x ^12/12！+。。。
此外，A（x）=x+5*G（（4*A（x）+x）/5）。
相关系列。
我们有（4*A（x）+x）/5=级数_反转（x-积分4*A
（4*A（x）+x）/5=x+4*x^2/2！+68*x^3/3！+2100×^4/4！+95380*x^5/5！+5767780*x^6/6！+438219620*x^7/7！+40273669140*x ^8/8！+4358866789300*x ^ 9/9！+544653593893700*x ^10/10！+77376295650317700*x ^11/11！+12346779722623245300*x ^12/12！+。。。
此外，A（（4*A（x）+x）/5）=（A'（x）-1）/（4*A'（x）+1），从
A（（4*A（x）+x）/5）=x+9*x^2/2！+213*x^3/3！+8365*x^4/4！+463905*x^5/5！+33459905*x^6/6！+2985550445*x^7/7！+318647659765*x ^8/8！+39707695580825*x^9/9！+5672802966674825*x ^10/10！+916011286267596325*x ^11/11！+1652838955066560925*x ^12/12！+。。。
数学
m=21；A[_]=0；
Do[A[x_]=-x/4+5/4逆级数[x-Integrate[4A[x]，x]+O[x]^m]，{m}]；
系数列表[A[x]，x]*范围[0，m-1]！//休息(*Jean-François Alcover公司2019年9月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）/*A（x）=x+（p+q）*G（（p*A（x）+q*x）/（p+q））；G（x）=积分A（x）dx：*/
{a（n，p=4，q=1）=my（a=x，G）；对于（i=1，n，G=int形式（a+x*O（x^n））；a=x+（p+q）*subst（G，x，（p*a+q*x）/（p+q））+x*O（x^n））；n！*polcoff（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n，4，1），“，”）
（PARI）/*A（x-积分p*A（x）dx）=x+积分q*A（x）dx：*/
｛a（n，p=4，q=1）=my（a=[1]，F=x）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；F=x*Ser（a）；G=intformal（F）；a[#a]=-polcoeff（subst（F，x，x-p*G）-q*G，#a））；n！*a[n]｝
对于（n=1,30，打印1（a（n，4，1），“，”）
（PARI）/*生成前N个术语的非正式代码：*/
{N=20；p=4；q=1；A=x；对于（i=1，N，G=int形式（A+x*O（x^N））；A=x+（p+q）*subst（G，x，（p*A+q*x）/（p+q）））；Vec（serlaplace（A））}
交叉参考
囊性纤维变性。A277410型,A210949型,A277403型,A279843型,A279844型,A279845型,A280571型,A280572型,A280573型,A280574型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉娜2017年1月5日
状态
经核准的
208570元 例如，f.满足：A（x-积分A（x）dx）=x+积分3*A（x）dx。 +10
6
1, 4, 28, 332, 5748, 131940, 3791692, 131375324, 5343640212, 250142552212, 13271217848604, 788346022938556, 51916178572447140, 3759254932421361284, 297243198474965188732, 25513664852425377663756, 2365246919693613357168916, 235776253411115081902083556, 25174157913006507920211300588, 2869108641038261410331666767772 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
偏移
1,2
链接
n=1..20时的n，a（n）表。
配方奶粉
例如，A（x）满足：
（1） A（x-积分A（x）dx）=x+积分3*A（x）dx。
（2） A（x）=x+4*G（（A（x）+3*x）/4），其中G（x）=积分A（x）dx。
（3） A（x）=-3*x+4*系列_翻转（x-积分A（x，dx））。
（4） A（（A（x）+3*x）/4）=（A'（x）-1）/（A'。
（5） A'（x-积分A（x）dx）=（1+3*A（x。
a（n）=和{k=0..n}A277410型（n，k）*4^（n-k-1）。
例子
例如：A（x）=x+4*x^2/2！+28*x^3/3！+332*x^4/4！+5748*x^5/5！+131940*x^6/6！+3791692*x^7/7！+131375324*x ^8/8！+5343640212*x ^ 9/9！+250142552212*x ^10/10！+13271217848604*x ^11/11！+788346022938556*x ^12/12！+。。。
设G（x）=积分A（x）dx，则A（x-G（x））=x+3*G（x
G（x）=x^2/2！+4*x^3/3！+28*x^4/4！+332*x^5/5！+5748*x^6/6！+131940*x^7/7！+3791692*x^8/8！+131375324*x ^ 9/9！+5343640212*x^10/10！+250142552212*x ^11/11！+13271217848604*x ^12/12！+。。。
此外，A（x）=x+4*G（（A（x）+3*x）/4）。
相关系列。
我们有（A（x）+3*x）/4=级数_反转（x-积分A（x）dx），其中
（A（x）+3*x）/4=x+x^2/2！+7*x^3/3！+83*x^4/4！+1437*x^5/5！+32985*x^6/6！+947923*x ^ 7/7！+32843831*x^8/8！+1335910053*x ^ 9/9！+62535638053*x ^ 10/10！+3317804462151*x ^11/11！+197086505734639*x ^12/12！+。。。
此外，A（（A（x）+3*x）/4）=（A'（x）-1）/（A'
A（（A（x）+3*x）/4）=x+5*x^2/2！+47*x^3/3！+707*x^4/4！+14825*x^5/5！+401033*x^6/6！+13340739*x^7/7！+528281555*x^8/8！+24323141773*x^9/9！+1279128727141*x ^10/10！+75770789421947*x ^11/11！+4999463984999615*x^12+。。。
数学
m=21；A[_]=0；
Do[A[x_]=-3x+4逆级数[x-积分[A[x]，x]+O[x]^m]，{m}]；
系数列表[A[x]，x]*范围[0，m-1]！//休息(*Jean-François Alcover公司2019年9月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）/*A（x）=x+（p+q）*G（（p*A（x）+q*x）/（p+q））；G（x）=积分A（x）dx：*/
{a（n，p=1，q=3）=my（a=x，G）；对于（i=1，n，G=int形式（a+x*O（x^n））；a=x+（p+q）*subst（G，x，（p*a+q*x）/（p+q））+x*O（x^n））；n！*polcoff（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n，1,3），“，”）
（PARI）/*A（x-积分p*A（x）dx）=x+积分q*A（x）dx：*/
{a（n，p=1，q=3）=my（a=[1]，F=x）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；F=x*Ser（a）；G=intformal（F）；a[#a]=-polcoeff（subst（F，x，x-p*G）-q*G，#a））；n！*a[n]}
对于（n=1,30，打印1（a（n，1,3），“，”）
（PARI）/*生成前N个术语的非正式代码：*/
{N=20；p=1；q=3；A=x；对于（i=1，N，G=int形式（A+x*O（x^N））；A=x+（p+q）*subst（G，x，（p*A+q*x）/（p+q）））；Vec（serlaplace（A））}
交叉参考
囊性纤维变性。A277410型,A210949型,A277403型,A279843型,A279844型,A279845型,A280571型,A280572型,A280573型,A280574型,A280575型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉娜2017年1月5日
状态
经核准的
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