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搜索： a177447-编号：a177446
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A133316号 G.f.：1/（1-x）=和{n>=0}a（n）*x^n/（1+x）^（n^2）。 +10
7
1, 1, 2, 8, 54, 544, 7508, 133704, 2943194, 77589536, 2391477804, 84582890704, 3382005372970, 151034046369696, 7458091839548356, 403808650013237224, 23801728042233670770, 1517930142778063770304, 104179592763803229618620 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
链接
n=0..18时的n、a（n）表。
公式
a（n）=1-和{j=0..n-1}a（j）*（-1）^（n-j）*C（j^2+n-j-1，n-j）对于n>0，a（0）=1。
例子
1/（1-x）=1+x/（1+x）+2*x^2/（1+x）^4+8*x^3/（1+x）^9+54*x^4/（1++x）^16+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，polcoeff（-（1-x）*和（m=0，n-1，a（m）*x^m/（1+x+x*O（x^n））^（m^2）），n））}
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，1-和（j=0，n-1，a（j）*（-1）^（n-j）*二项式（j^2+n-j-1，n-j））}
交叉参考
参见。A141761号，A177447号，2015年2月41日，A215242型，A215243型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2010年12月24日
状态
经核准的
A177450型 通用公式：和{n>=0}a（n）*x^n/（1+x）^（n^2+n）=1+x。 +10
6
1, 1, 2, 9, 70, 805, 12480, 245847, 5909338, 168310515, 5556486450, 209003251240, 8835266400450, 415094928861530, 21473740362658640, 1213683089969940075, 74446121738526773490, 4927385997649620215895, 350145746700442604768346 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
链接
阿洛伊斯·海因茨，n，a（n）表，n=0..356
公式
通用公式：和{n>=0}a（n）*x^n*（1-x）^（n^2）=1/（1-x。
G.f.：求和{n>=0}a（n）*x^n*C（-x）^（n^2+2n）=1/C（-xA000108号.
a（n）=由n>0的前n个以零开始的平方数组成的分区的子分区数；例如，a（4）=子（[0,1,4,9]）=70。请参见A115728号子分区的定义。
例子
1+x=1+1*x/（1+x）^2+2*x^2/（1+x）^6+9*x^3/（1++x）^12+70*x^4/（1+x）^20+805*x^5/（1+/x）^30+。。。
1/（1-x）=1+1*x*（1-x。。。
还形成三角形行中的最后一项，其中第n+1行等于第n行的部分和，最后一项重复2（n+1）次，从第0行的“1”开始，如下所示：
1;
1, 1;
1, 2, 2, 2, 2;
1, 3, 5, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 9;
1, 4, 9, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70;
1, 5, 14, 30, 55, 89, 132, 184, 245, 315, 385, 455, 525, 595, 665, 735, 805, 805, 805, 805, 805, 805, 805, 805, 805, 805;
...
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，-加上（a（j）
*（-1）^（n-j）*二项式（1+j^2，n-j），j=0..n-1）
结束时间：
seq（a（n），n=0..19）#阿洛伊斯·海因茨2022年7月8日
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（F=1/（1+x+x*O（x^n）））；polceoff（1+x-sum（k=0，n-1，a（k）*x^k*F^（k*（k+1））），n）}
交叉参考
参见。A107877号，A177447号，177484英镑，A177449号，A209440型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳，2010年5月9日
状态
经核准的
A215241型 三角形的无符号矩阵逆A214398型，作为行读取的三角形n>=1。 +10
5
1, 1, 1, 3, 4, 1, 18, 26, 9, 1, 172, 256, 99, 16, 1, 2313, 3489, 1416, 264, 25, 1, 40626, 61696, 25650, 5120, 575, 36, 1, 887326, 1352518, 569772, 117980, 14450, 1098, 49, 1, 23282964, 35566368, 15099042, 3193728, 410850, 34608, 1911, 64, 1, 715540140, 1094499820, 466865280, 100049120, 13259705, 1186857, 73696, 3104, 81, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
链接
保罗·D·汉纳，n=1..1081时的n、a（n）表
公式
通用公式：x*y/（1-x*y）=和{n>=1}和{k=1..n}T（n，k）*x^n*y^k/（1+x）^（n^2）。
第k列的G.f.：1=Sum_{n>=k}T（n，k）*x^（n-k）/（1+x）^（n^2）。
第1列表格A177447号.
行总和窗体A133316号.
例子
三角形开始：
1;
1, 1;
3, 4, 1;
18, 26, 9, 1;
172, 256, 99, 16, 1;
2313, 3489, 1416, 264, 25, 1;
40626, 61696, 25650, 5120, 575, 36, 1;
887326, 1352518, 569772, 117980, 14450, 1098, 49, 1;
23282964, 35566368, 15099042, 3193728, 410850, 34608, 1911, 64, 1;
...
矩阵逆是三角形的有符号形式A214398型:
1;
-1, 1;
1, -4, 1;
-1, 10, -9, 1;
1, -20, 45, -16, 1;
-1, 35, -165, 136, -25, 1;
1, -56, 495, -816, 325, -36, 1;
-1, 84, -1287, 3876, -2925, 666, -49, 1; ...
其中k列的g.f.为1/（1+x）^（k^2），k>=1。
柱的G.F.说明：
k=1:1=1/（1+x）+1*x/（1+x）^4+3*x^2/（1++x）^9+18*x^3/（1+x）^16+172*x^4/（1+1 x）^25+2313*x^5/（1+/x）^36+40626*x^6/（1+6x）^49+。。。
k=2:1=1/（1+x）^4+4*x/（1+x）^9+26*x^2/（1++x）^16+256*x^3/（1+x）^25+3489*x^4/。。。
k=3:1=1/（1+x）^9+9*x/（1+x）^16+99*x^2/（1++x）^25+1416*x^3/（1+x）^36+25650*x^4/（1+/x）^49+。。。
k=4:1=1/（1+x）^16+16*x/（1+x）^25+264*x^2/（1++x）^36+5120*x^3/（1+x）^49+。。。
数学
T[n_，k_]：=模块[｛M｝，M=表[二项式[c^2+r-c-1，r-c]，｛r，1，n｝，｛c，1，n｝]；（-1）^（n-k）逆[M][[n，k]]]；
表[T[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2023年9月5日，PARI计划后*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=局部（M=矩阵（n，n，r，c，二项式（c^2+r-c-1，r-c））；（-1）^（n-k）*（M^-1）[n，k]}
对于（n=1，12，对于（k=1，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
交叉参考
参见。A177447号（第1列），A215242型（第2列），A215243型（第3列）；A133316号（行总和）。
参见。A214398型（无符号矩阵求逆）。
关键词
非n，表
作者
保罗·D·汉纳2012年8月6日
状态
经核准的
A215242型 一般公式：1=和{n>=0}a（n）*x^n/（1+x）^（（n+2）^2）。 +10
4
1, 4, 26, 256, 3489, 61696, 1352518, 35566368, 1094499820, 38670814348, 1545160614694, 68970980789472, 3404652821768232, 184295822142051600, 10861040169788302030, 692560292664515634112, 47527552597795293035916, 3493783983256399634130360, 273974326317024551368217200 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
评论
三角形第2列A215241型.
链接
n=0..18时的n、a（n）表。
例子
通用公式：1=1/（1+x）^4+4*x/（1++x）^9+26*x^2/（1+x）^16+256*x^3/（1++x）^25+3489*x^4/（1+x）^36+61696*x*^5/（1+/x）^49+。。。
还形成三角形行中的最后项，其中第n+1行等于第n行的部分和，最后项重复2*n+1次，从第1行中的“[1,1,1,1]”开始，如下所示：
1, 1, 1, 1;
1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4;
1, 3, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26;
1、4、10、20、34、52、74、100、126、152、178、204、230、256、256、256、256、256、256、256、256、256、256、256、256、256、256、256；
1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 421, 573, 751, 955, 1185, 1441, 1697, 1953, 2209, 2465, 2721, 2977, 3233, 3489, 3489, 3489, 3489, 3489, 3489, 3489, 3489, 3489; ...
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，polceoff（1-和（k=0，n-1，a（k）*x^k/（1+x+x*O（x^n））^（（k+2）^2）），n））}
对于（n=0，21，打印1（a（n）“，”）
交叉参考
参见。2015年2月41日，A177447号，A215243型，A133316号.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2012年8月6日
状态
经核准的
A215243型 一般公式：1=和{n>=0}a（n）*x^n/（1+x）^（（n+3）^2）。 +10
4
1, 9, 99, 1416, 25650, 569772, 15099042, 466865280, 16545757617, 662459717350, 29611195466373, 1463138718427008, 79255793863426950, 4673128560507694980, 298096897542679853190, 20462949699720864598464, 1504570012129788012314910, 118004419030927157257862025 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
评论
三角形第3列A215241型.
链接
n=0..17时的n、a（n）表。
例子
通用公式：1=1/（1+x）^9+9*x/（1++x）^16+99*x^2/（1+x）^25+1416*x^3/（1++x）^36+25650*x^4/（1+x）^49+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，polceoff（1-和（k=0，n-1，a（k）*x^k/（1+x+x*O（x^n））^（（k+3）^2）），n））}
对于（n=0，21，打印1（a（n）“，”）
交叉参考
参见。A215241型，A177447号，A215242型，A133316号.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2012年8月6日
状态
经核准的
A177448号 通用公式：和{n>=0}a（n）*x^n/（1+x）^（2*n^2）=1+x。 +10
三
1, 1, 2, 13, 166, 3324, 92718, 3354712, 150206430, 8050991676, 504049958320, 36172232930282, 2931474921768206, 265078092222575572, 26480336590135734816, 2898139377307388441520, 345055687960080723910286 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
链接
n=0..16时的n、a（n）表。
公式
a（n）=当n>0且a（0）=1时，分区[0,1,6,15,28，…，2（n-1）^2-（n-1。请参见A115728号子分区的定义。
例子
1+x=1+1*x/（1+x）^2+2*x^2/（1+x）^8+13*x^3/（1++x）^18+166*x^4/（1+x）^32+3324*x^5/（1+1 x）^50+92718*x^6/（1+/x）^72+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（F=1/（1+x+x*O（x^n）））；polceoff（1+x-sum（k=0，n-1，a（k）*x^k*F^（2*k^2）），n）}
交叉参考
参见。A177447号，A177449号，A177450型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2010年5月9日
状态
经核准的
177449英镑 通用公式：和{n>=0}a（n）*x^n/（1+x）^（3*n^2）=1+x。 +10
三
1, 1, 3, 30, 586, 17865, 756285, 41440056, 2805638310, 227131872654, 21459076173105, 2322336372705030, 283667666439112350, 38643426990067599005, 5813534115429573742587, 957883907138024944675200 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
链接
n，a（n）的表，n=0..15。
公式
a（n）=当n>0且a（0）=1时，分区[0,2,10,24,44，…，3（n-1）^2-（n-1。请参见A115728号子分区的定义。
例子
1+x=1+1*x/（1+x）^3+3*x^2/（1+x）^12+30*x^3/（1++x）^27+586*x^4/（1+x）^48+17865*x^5/（1+1 x）^75+756285*x^6/（1+/x）^108+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（F=1/（1+x+x*O（x^n）））；polceoff（1+x-sum（k=0，n-1，a（k）*x^k*F^（3*k^2）），n）}
交叉参考
参见。A177447号，A177448号，A177450型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2010年5月9日
状态
经核准的
A229711号 通用公式：和{n>=0}a（n）*x^n/（1+x）^（n^3）=x。 +10
1
1, 1, 7, 154, 7329, 621054, 83287785, 16339143828, 4433073578739, 1595084475573057, 736780843688600494, 425703341782263982836, 301237142332910524156150, 256518292539312393631293756, 259004327874862610288497260501, 306183323229810278424153632807196 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
链接
n=1..16时的n，a（n）表。
例子
通用公式：x=1*x/（1+x）+1*x^2/（1+x）^8+7*x^3/。。。
替代生成方法。
还形成三角形行中的最后项，其中第n+1行等于第n行的部分和，最后项重复3*n*（n-1）+1次，从第1行中的“1”开始，如下所示：
1;
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7;
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154, 154; ...
矩阵生成方法。
给定三角形T（n，k）=二项式（k^3+n-k-1，n-k），使得k列的g.f.等于1/（1-x）^（k^3），对于k>=1，其开始：
1;
1, 1;
1, 8, 1;
1, 36, 27, 1;
1, 120, 378, 64, 1;
1, 330, 3654, 2080, 125, 1;
1, 792, 27405, 45760, 7875, 216, 1;
1716、169911、766480、333375、23436、343、1。。。
然后该序列构成矩阵逆矩阵的第1列（忽略符号）：
1;
-1, 1;
7, -8, 1;
-154, 180, -27, 1;
7329、-8616、1350、-64、1；
-621054, 731502, -116244, 5920, -125, 1;
83287785, -98171784, 15685569, -820480, 19125, -216, 1;
-16339143828, 19265191212, -3085386984, 163253040, -3963750, 50652, -343, 1; ...
黄体脂酮素
（PARI）/*生成功能：*/
{a（n）=局部（F=1/（1+x+x*O（x^n）））；polceoff（x和（k=1，n-1，a（k）*x^k*F^（k^3）），n）}
对于（n=1,20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）/*求和方法：*/
{A=[1，1]；对于（i=1，20，A=concat（A，-Vec（总和（n=0，#A-1，A[n+1]*x^n/（1+x+x*O（x^#A））^（n^3）））[#A+1]）；对于（n=1，#A-，print1（A[n+1]，“，”）}
（PARI）/*矩阵法：*/
{a（n）=局部（M=矩阵（n，n，r，c，if（r>=c，二项式（c^3+r-c-1，r-c）））；-（-1）^n*（M^-1）[n，1]}
对于（n=1,20，打印1（a（n），“，”）
交叉参考
参见。A177447号.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2013年9月27日
状态
经核准的
A229806型 通用公式：和{n>=1}a（n）*x^n/（1+n*x）^（n^2）=x。 +10
0
1, 1, 7, 150, 6924, 569726, 74358042, 14229990742, 3774315375580, 1330122245198910, 602741550311798067, 342138788139339603446, 238146938124253555981224, 199695655908033678248780110, 198741234873020798204357773510, 231773141251670398730627959107510 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,3
评论
比较恒等式：和{n>=1}n^（n-2）*x^n/（1+n*x）^n=x。
链接
n=1..16时的n，a（n）表。
例子
通用公式：x=1*x/（1+x）+1*x^2/（1+2*x）^4+7*x^3/（1+3*x）。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=polcoeff（x和（k=1，n-1，a（k）*x^k/（1+k*x+x*O（x^n））^（k^2）），n）}
对于（n=1,20，打印1（a（n），“，”）
交叉参考
参见。A177447号，A082157号.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2013年10月2日
状态
经核准的
第页1

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