搜索： a176113-编号：a176113
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A227971号
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| （i，j）-项（i，j=0，…，（p_n-1）/2）为勒让德符号（i+j）/p_n）的（p_n+1）/2X（p_n+1/2矩阵的行列式，其中p_n是第n个素数。 |
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+10
8
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-1, 2, 8, 32, 96, -1024, 512, 2048, 40960, 32768, 1572864, -33554432, 2097152, 8388608, 234881024, 536870912, 20937965568, 8589934592, 34359738368, -73392401154048, 549755813888, 2199023255552, -8796093022208000, -1577385769486516224, 11258999068426240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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2,2
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评论
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猜想：如果p_n==1（mod 4），那么a（n）==（（p_n-1）/2）！（模块pn）。如果p_n==3（mod 4），则a（n）==（2/p_n）（mod p_n。
孙志伟也作了如下一般性推测：
设p是任意奇数素数。对于每个整数d，设R（d，p）是（p+1）/2-by-（p+1/2）/2矩阵的行列式，其（i，j）-项（i，j=0，…，（p-1）/2）是勒让德符号（（i+d*j）/p）。当p==3（mod 4）时，当（d/p）=1时，我们得到R（d，p）==（2/p）（mod p），当（d/p）=-1时，得到R（d，p）==1（mod p）。在p==1（mod 4）的情况下，对于任何整数c，我们都有R（c^2*d，p）==（c/p）*R（d，p。
作者可以证明，对于任何不可被p整除的奇素数p和整数d，以（i，j）-项（i，j=1，…，p-1）为勒让德符号（i+dj）/p）的（p-1）-by-（p-1）矩阵的行列式具有精确值（-d/p）*p^{（p-3）/2}。
2013年8月19日，孙志伟发现了a（n）的公式。也就是说，他做出了以下猜想：如果p_n==1（mod 4）和e（p_n）^{h（p_n）}=（a_n+b_n*sqrt（p_n））/2，其中a_n和b_n整数具有相同的奇偶性（其中e（p_n）和h（p_n）分别是二次域Q（sqrt（p_n））的基本单位和类数），那么a（n）=-（2/p_n）*2^{（p_n-3）/2}*a_n。如果p_n>3和p_n==3（mod 4），则a（n）=2^{（pn-1）/2}。
2013年8月19日，孙志伟用恒等式D（c，D，n）=（-D）^{n*（n+1）/2}*（n，。。。，n.对于任何素数p==1（mod 4），他证明了R（d，p）==（d*（d/p））^{（p-1）/4}*（（p-1）/2）！（修订版）。还要注意的是，Sun在2013年8月9日发现的a（n）的公式实际上相当于Chapman关于行列式|（（i+j-1）/p）|_{i，j=1，…，（p+1）/2}的评估结果。
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链接
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L.Carlitz，一些分圆矩阵《阿里斯学报》。5(1959), 293-308.
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例子
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a（2）=-1，因为行列式|（（i+j）/3）{i=0,1；j=0,1}等于-1。
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数学
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a[n_]：=Det[表[JacobiSymbol[i+j，素数[n]]，{i，0，（素数[n]-1）/2}，{j，0，[素数[n-1）/2}]]；表[a[n]，{n，2，30}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=my（p=质数（n））；matdet（矩阵（（p+1）/2，（p+1/2）/2，i，j，i--；j——；克罗内克（i+j，p））\\米歇尔·马库斯2021年8月25日
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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A228252号
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| 对于所有i，j=0，…，（i，j）-项等于（i-2j）^n的（n+1）X（n+1”）矩阵的行列式，。。。，n.（名词）。 |
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1
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1, 2, 64, 82944, 8153726976, 97844723712000000, 210357201231685877760000000, 111759427954264225978066246041600000000, 19353724511515955943723861007628909886308352000000000, 1393093075882582456065167957036969287436705021776979747143680000000000, 51765823014530203817669442380756522498563227474168874049894256476160000000000000000000000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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注意，a（n）=D（n，n，-2,0），其中D（k，n，x，y）表示（n+1）x（n+1，。。。，n.根据中的评论A176113号已知D（n，n，x，y）=（-x）^{n*（n+1）/2}*（n！）^{n+1}。还要注意，对于所有k=0，…，D（k，n，x，y）=0，。。。，n-1，这可以用行列式的定义和二项式定理来证明。
对于这种模式的任何矩阵M，M（i，j）=M（i-2，j-1）-伊恩·福克斯2018年2月26日
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参考文献
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J.M.Monier，Algèbre et gémeterie，Dunod，1996年。
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链接
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C.Kratethaler，高级行列式微积分：一个补语，线性代数应用。411 (2005), 68-166; arXiv:math/0503507[math.CO]，2017年。
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配方奶粉
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a（n）=2^（n*（n+1）/2）*（n！）^（n+1），如注释所示-伊恩·福克斯，2018年4月15日
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例子
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对应于a（n）的矩阵的西北角：
0 ^n（-2）^n（-4）^n
1（-1）^n（-3）^n
2个0（-2）个（-4）个（-6）个
3^n 1（-1）^n（-3）^n（-5）^n
4^n 2^n 0（-2）^n（-4）^n
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数学
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a[n_]：=Det[表[如果[n==0，1，（i-2j）^n]，{i，0，n}，{j，0，n}]]
表[a[n]，{n，0，10}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=矩阵（矩阵（n+1，n+1，i，j，（i-2*j+1）^n）\\伊恩·福克斯2018年2月16日
（PARI）a（n）=2^（n*（n+1）/2）*（n！）^（n+1）\\（更快，使用更少的内存）伊恩·福克斯，2018年4月15日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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