A335951-OEIS公司

A335951型

按行读取三角形。Faulhaber多项式系数的分子。对于n>=0和0<=k<=n，T（n，k）。

三

1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 4, 0, 0, 1, -4, 6, 0, 0, -3, 12, -20, 16, 0, 0, 5, -20, 34, -32, 16, 0, 0, -691, 2764, -4720, 4592, -2800, 960, 0, 0, 105, -420, 718, -704, 448, -192, 48, 0, 0, -10851, 43404, -74220, 72912, -46880, 21120, -6720, 1280

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,10

有很多版本的福克哈伯三角：在OEIS上搜索他的名字。

Faulhaber的主张（1631年）是：s_{2*m-1}=1^（2*m-1）+2^（2%m-1）+…+n^（2*m-1）=F_m（（n^2+2）/2）。雅各比于1834年给出了第一个证明。

有关Faulhaber编号，请参见A354042型和A354043型.

参考文献

约翰·福尔哈伯（Johann Faulhaber），《学院代数》（Academia Algebra）。达林宁死了奇迹般的发明者苏登·霍克斯滕·考森·韦特斯继续和赢家沃登。约翰·乌尔里希·舍尼格斯（Johann Ulrich Schönigs），奥格斯堡，1631年。

链接

n=0..54时的n、a（n）表。

C.G.J.Jacobi，正统公式总和（De usu legalio formulas summaoriae Maclaurinianae），J.Reine Angew。数学。，12 (1834), 263-272.

Donald E.Knuth，约翰·福尔哈伯和权力总和，arXiv:math/9207222[math.CA]，1992年；数学。公司。61（1993），第203、277-294号。

彼得·卢施尼，说明n=1..7的Faulhaber多项式.

配方奶粉

设F_n（x）是用（sqrt（8*x+1）-1）/2代替b_n（x）中的x后的多项式，其中b_n。

F_n（1）=1表示所有n>=0。

T（n，k）=分子（[x^k]F_n（x））。

例子

前几个多项式是：

[0] 1;

[1] x；

[2] x^2；

[3] （4*x-1）*x^2*（1/3）；

[4] （6*x^2-4*x+1）*x^2*（1/3）；

[5] （16*x^3-20*x^2+12*x-3）*x^2*（1/5）；

[6] （16*x^4-32*x^3+34*x^2-20*x+5）*x^2*（1/3）；

[7] （960*x^5-2800*x^4+4592*x^3-4720*x^2+2764*x-691）*x^2*（1/105）；

[8] （48*x^6-192*x^5+448*x^4-704*x^3+718*x^2-420*x+105）*x^2*（1/3）；

[9] （1280*x^7-6720*x^6+21120*x|5-46880*x*4+72912*x^3-74220*x^2+43404*x-10851）*x^2（1/45）；

三角形开始：

[0] 1;

[1] 0, 1;

[2] 0, 0, 1;

[3] 0, 0, -1, 4;

[4] 0, 0, 1, -4, 6;

[5] 0, 0, -3, 12, -20, 16;

[6] 0, 0, 5, -20, 34, -32, 16;

[7] 0, 0, -691, 2764, -4720, 4592, -2800, 960;

[8] 0, 0, 105, -420, 718, -704, 448, -192, 48;

[9] 0, 0, -10851, 43404, -74220, 72912, -46880, 21120, -6720, 1280;

MAPLE公司

FaulhaberPolynomial:=proc（n），如果n=0，则返回1 fi；

展开（（bernoulli（2*n，x+1）-bernoulli；

排序（simplify（展开（sub（x=（sqrt（8*x+1）-1）/2，%）），[x]，升序）结束：

Trow:=n->seq（系数（数字（Faulhaber多项式（n）），x，k），k=0..n）：

seq（打印（Trow（n）），n=0..9）；

黄体脂酮素

（Python）

从数学导入lcm

从itertools导入计数，islice

从sympy导入simplify、sqrt、bernoulli

从sympy.abc导入x

定义A335951型_T（n，k）：

z=简化（（bernoulli（2*n，（sqrt（8*x+1）+1）/2）-bernoulli/（2*n））.as_poly（）.all_coeffs（）

返回z[n-k]*lcm（*（d.q代表z中的d））

定义A335951型_gen（）：#术语生成器

收益率(A335951型_计数（0）中的n的T（n，k）范围（n+1）中的k）

A335951型_list=列表（岛屿(A335951型_生成（），20）#柴华武2022年5月16日

（SageMath）

定义A335951低（n）：

R.<x>=多项式环（QQ）

如果n==0：返回[1]

b=展开（（伯努利多项式（x+1，2*n）-

伯努利多项式（1,2*n）

s=展开（b.subs（x=（sqrt（8*x+1）-1）/2）

return分子.list（）

对于范围（10）中的n：打印（A335951行（n））#彼得·卢什尼2022年5月17日

交叉参考

囊性纤维变性。A335952型（多项式分母），A000012号（多项式系数的行和）。

Faulhaber多项式的其他表示形式包括A093556号/A093557号,1998年12月/A162299型,A220962型/A220963型.

囊性纤维变性。A354042型（Faulhaber数字），A354043型.

上下文中的序列：A245965型 A078669号 229655元*A254156号 A344386型 A046783号

相邻序列：A335948型 A335949型 A335950型*A335952型 A335953型 A335954型

关键词

签名,表,压裂

作者

彼得·卢什尼2020年7月16日

状态

经核准的