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| A329585型 |
| 按行读取的不规则三角形：同余x^2-1==0（mod m）或（包含）x^2+1==0（modm）的代表解，对于m>=1。 |
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4
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0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 3, 5, 7, 1, 8, 1, 3, 7, 9, 1, 10, 1, 5, 7, 11, 1, 5, 8, 12, 1, 13, 1, 4, 11, 14, 1, 7, 9, 15, 1, 4, 13, 16, 1, 17, 1, 18, 1, 9, 11, 19
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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对于m>=1，这两个同余是复同余z^2==+1（modm）的特殊解。在本表中，收集了z=a+b*i，a*b=0的所有代表性解，即实解或纯虚解。对于第一和第二个同余，可以将解分别记录为（a，0）和（0，b）。只有当m=1时，a=b，即0。表中收集了具有非茴香a*b的其他复杂溶液zA329587型.
在示例部分中，给出了非负代表性解。解x后跟一个条形表示它求解同余x^2==-1（mod m）。关于行中间对称的解对对应于模m的+x（解的前半部分）和-x（后半部分）。对于m=2，两个同余变得相同，其中一个解x=1=-1（模2）。然而，它们被记录为1（=（1，0））和1|（=（0，1）），对应于两个解z=1和z=i。但是，对于复合模解的计数，素数2被视为有1个解。
例如，n=5:1，2|，3|，4给出对1和4==-1（mod 5）解第一个同余（平凡的两个解），2和3=-2（mod 6）给出对解第二个同余。
中给出的解的数量S（m）A329586型如下：S（1）=1，S（2）=2（特殊），S（m）=2^{r2（e2）+r1+r3}+delta{r2，1和2，如果偶数素数2的幂e2分别为0（奇数m的情况）或1、2和>=3，并且δ是Kronecker符号。这两个术语指的是第一个和第二个同余。S（m）总是2的非负幂。这个公式可以从关于复合模同余的标准定理（例如，Apostol，定理5.28，pp，118-119）开始，并使用其中给出的素数幂的提升定理作为定理5.30，p.121来证明。对于奇数素数(A002144号和A002145号)只需要定理的（a）部分，就可以将素数模的每个解从一次幂提升到下一次更高的幂。对于偶数素数2，需要（b）部分的两个替代项。这导致两个p=2解+1（==-1（mod 2））被视为（1，0）和（0，1），结果是：m=2的2个解（特殊情况），m=2^2的2个解决方案（由于定理的情况（b_2），（1，O）和（0,1）的双重提升不能提升到m=4），以及2^e2的4个解决方案，其中e2>=3。
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，施普林格-弗拉格出版社，1986年
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链接
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配方奶粉
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长度m行A329586型（m） ：x^2==+1（mod m）或x^2==-1（mod m）的组合代表解，逐渐排序。使用模m的最小非负剩余系统：[0，1，…，m-1]。对于特殊的m=1和m=2情况，请参阅注释部分。
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例子
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不规则三角形T（m，k）开始于：（数字后面的一条线表示x^2==-1（mod m）的解）
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1: 0 1
2:11|2
3: 1 2 2
4: 1 3 2
5: 1 2| 3| 4 2 + 2 = 4
6: 1 5 2
7: 1 6 2
8：1 3 5 7 4
9: 1 8 2
10: 1 3| 7| 9 2 + 2 = 4
11:1 10 2
12: 1 5 7 11 4
13: 1 5| 8| 12 2 + 2 = 4
14: 1 13 2
15: 1 4 11 14 4
16: 1 7 9 15 4
17: 1 4| 13| 16 2 + 2 = 4
18: 1 17 2
19: 1 18 2
20: 1 9 11 19 4
...
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解决方案数量：
m=2，2个解（z=1，z=i）（特殊情况）。
m=6=2*3:r1=0，e2=1，r2（e2）=0，r3=1，因此2^1+0=2个解。
m=13==1（模4）：r1=1，e2=0=r2（e2），r3=0，因此2^{0+1+0}+1*1*2^1=2+2=4解。
m=20=2^2*5:e2=2，r2（e2）=1，r1=1，r3=0，因此只有2^{1+1+0}+0*1*2^1=2^2=4个x^2==+1（mod 20）的解。
m=120=2^3*3*5:e2=3，r2（e2）=2，r3=1，r1=1，因此2^{2+1+1}+0*0*2^1=2^4=16个x^2==+1（mod 120）的解。
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有8种解决方案的第一个实例是
m=24:1 5 7 11 13 17 19 23。
第一个例子是8个解决方案涉及两个同余
m=65:1 8 | 14 18 | 47 | 51 57 | 64。
具有16个解决方案的第一个实例是
m=120:1、11、19、29、31、41、49、59、61、71、79、89、91、101、109、119。
对于包含16个同余解的偶数m，第一个例子是
m=2*5*13*17=2210:1 47 | 339 441 463 | 781 837 | 863 | 1347 | 1373 | 1429 1747 | 1769 1871 2163 | 2209。
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,标签
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作者
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状态
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经核准的
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