A277295-OEIS公司

A277295号

G.f.A（x，y）满足：A（x-y*A（x、y）^2，y）=x+（1-y）*A。

1, 1, 0, 2, 2, 0, 5, 14, 5, 0, 14, 74, 76, 14, 0, 42, 352, 698, 378, 42, 0, 132, 1588, 5088, 5404, 1808, 132, 0, 429, 6946, 32461, 56410, 37546, 8484, 429, 0, 1430, 29786, 189940, 486550, 535410, 244220, 39446, 1430, 0, 4862, 126008, 1046190, 3690410, 6036632, 4597402, 1522466, 182732, 4862, 0, 16796, 527900, 5511440, 25518020, 57890956, 66031704, 36873036, 9227504, 846248, 16796, 0, 58786, 2195580, 28061890, 164565240, 493085566, 784844330, 661152388, 281873618, 54885974, 3926338, 58786, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,4

更一般地说，我们有以下相关身份。

给定函数F和G，其中F（0）=0，F'（0）=1，G（0）=0，

如果F（x-y*G（x））=x+（1-y）*G（x），则

（1） F（x）=x+G（y*F（x，

（2） y*F（x）+（1-y）*x=系列_翻转（x-y*G（x）），

（3） F（x）=x+G（x+y*G（x+y*G）（x+y*G（x+…））），

（4） F（x）=x+Sum_{n>=1}y^（n-1）*d^（n-1）/dx^（n-1）G（x）^n/n！。

当g（x）=f（x）^2时，该序列A（x，y）的g.f.等于上面的f（x。

链接

保罗·D·汉纳，该三角形的n、a（n）（n=1..1275）、n=1..50行的表格，呈扁平形式。

配方奶粉

G.f.A（x，y）还满足：

（1） A（x，y）=x+A。

（2） y*A（x，y）+（1-y）*x=系列_反转（x-y*A。

（3） y*x+（1-y）*B（x，y）=系列版本（x+（1-y）*A（x，y）^2），其中B（A（x，y），y）=x。

（4） A（x，y）=x+Sum_{n>=1}y^（n-1）*d^（n-1）/dx^（n-1）A（x，y）^（2*n）/n！。

在公式2和3中，对变量x进行级数反演。

T（n+1,0）=T（n+1，n-1）=二项式（2*n，n）/（n+1）=A000108号（n）对于n>=1。

T（n+1，1）=4^n-（3*n+1）*二项式（2*n，n）/（n+1）=A138156号（n-1）对于n>=1。

例子

通用公式：A（x，y）=x+x ^ 2+（2*y+2）*x ^ 3+（5*y^2+14*y+5）*x^4+（14*y^3+76*y^2+74*y+14）*x^5+（42*y^4+378*y^3+698*y^2+352*y+42）*x*6+（132*y^5+1808*y^4+5404*y^3+5088*y|2+1588*y+132）*y^7+（429*y^ 6+8484*y^5+37546*y^4+56410*y^3+32461*y^2+6946*y+429）*x^8+（1430*y^7+39446*y^6+244220*y^5+535410*y^4+486550*y^3+189940*y^2+29786*y+1430）*x^9+（4862*y^8+182732*y^7+1522466*y^6+4597402*y^5+6036632*y^4+3690410*y^3+1046190*y^2+126008*y+4862）*x^10+。。。

这样的话

A（x-y*A（x，y）^2，y）=x+（1-y）*A（x-y）^2。

也，

A（x，y）=x+A。

...

g.f.A（x，y）中x^n*y^k的系数T（n，k）的三角形开始于：

1, 0;

2, 2, 0;

5, 14, 5, 0;

14, 74, 76, 14, 0;

42, 352, 698, 378, 42, 0;

132, 1588, 5088, 5404, 1808, 132, 0;

429, 6946, 32461, 56410, 37546, 8484, 429, 0;

1430, 29786, 189940, 486550, 535410, 244220, 39446, 1430, 0;

4862, 126008, 1046190, 3690410, 6036632, 4597402, 1522466, 182732, 4862, 0;

16796, 527900, 5511440, 25518020, 57890956, 66031704, 36873036, 9227504, 846248, 16796, 0;

58786, 2195580, 28061890, 164565240, 493085566, 784844330, 661152388, 281873618, 54885974, 3926338, 58786, 0; ...